本征值方程 能量积分 4B (k)=y(k,r)FV+rb(k,r)dr Bch和的线性蛆合构成的晶体波函敷尝试 解代入 Schroedinger方程 ∑e""y∫g"(r-R)g"(r-R)dr HY(k, r)=E(k)'p(k,r) =Neo(r)Ho(r-R)dr w(k,r)左乘放 Bloch和,并积分 e"jg"(r)Hg°(r-R)dr ∑c"kjv"k.rlv2+r(ry°(k,r)r= ∑e"∫o"(r)"(r-R) 种p∥45.2413che國体学 体理学 ·交选积分 本征值方程现为 sg (k)=]y(k, r)y"(k, r )dr ∑Pm(k)-E(k)5m(k)]“(k)=0 ISekR-Roo(r-R)o(r-R)dr 这是关于波函敷组合系数C的线性方程组,有 非平凡解的条件是其系数行列式为零 1 (r)q“(r-R)dr ∫"(r)p"(r-R)dr 21ES2平2·Es22·ES2…2nE5m=0 ∑e"jφ"(r)o"(r-R)dr detAt( k)-E(k)sag(k)=0 ∑ ·这是遁常的紧束缚近似,前面只是s电子特例 45.2412gche回体制学 趣452413 binche体嚼理学 分裂的原子能级过渡成能带 讨论 ·N个相同孤立 ·带宽取决于JJ积分取决于波函教交叠的多少 原子的分裂能 取决波函敷交叠?波函数分布形状? 级,N重简并 设问:内层电子分布区城大还是小?组成最体 ·原子靠近形成 后能带宽还是窄?同原子展相互作用大还是 晶体,简并能 级相互作用 ·分析成立条件是微扰作用远小于能级差,能带 分裂形成能带 宽度可以大致反映原子态之间相互作用的强弱 能带图上,不 ·否则类似分子能级,先杂化,再考虑相互作 同的N个k的 能级形成能带 外层电子分布区城大还是小?组成晶体后,能 带宽还是窄?相互作用呢? 平面波宽还是窄? 种45.2413yche是学 42432j 体理学5 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 25 本征值方程 • 将Bloch和的线性组合构成的晶体波函数尝试 解代入Schroedinger方程 ( , ) ( ) ( , ) ˆHΨ k r = E k Ψ k r 左乘该Bloch和，并积分 [ ] ∑ ∫ ∑ ∫ = − ∇ + = α α β α α α β α ψ ψ ψ ψ k k k r k r r k k r r k r r E C d C V d ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) * 2 * (k , r ) * β ψ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 26 • 能量积分 = [− ∇ + ] = ∫ (k ) (k r ) (k r ) r * , V , d β 2 α H βα ψ ψ ∑ ∫ = − − ⋅ − R ,R ' * k ( R R ') H (r R ) r ˆ e (r R') d N i β α ϕ ϕ 1 ∑ ∫ = − ⋅ R ,R ' * k R H (r R ) r ˆ e (r ) d N i β α ϕ ϕ 1 ∑ ∫ = − ⋅ R R * k H (r R ) r ˆ e (r ) d i β α ϕ ϕ ∑ ∫ = − ⋅ R R * k H (r R ) r ˆ e (r ) d i β α ϕ ϕ (R ) R k R ∑ ⋅ = βα e J i http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 27 • 交迭积分 ∫ (k ) = (k r ) (k r ) r * , , d β α S βα ψ ψ ∑ ∫ = − − ⋅ − R ,R ' * k ( R R ') e (r R') (r R )dr N i β α ϕ ϕ 1 ∑ ∫ = − ⋅ R ,R ' R * k e (r ) (r R )dr N i β α ϕ ϕ 1 ∑ ∫ = − ⋅ R R * k e (r ) (r R )dr i β α ϕ ϕ ∑ ∫ = − ⋅ R R * k e (r ) (r R )dr i β α ϕ ϕ ∑ ⋅ = R k R (R ) βα e S i http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 28 • 本征值方程现为 ∑ [ ( ) − ( ) ( )] ( ) = 0 β β Hαβ k E k Sαβ k C k • 这是关于波函数组合系数C的线性方程组，有 非平凡解的条件是其系数行列式为零 0 - - - ... - ... - - - ... - - - - ... - 1 n1 2 n2 3 n3 nn 21 21 22 22 23 23 2 2n 11 11 12 12 13 13 1 1n = H S H S H S H S H S H S H S H S H S H S H S H S E E E E E E E E E E E E n n n nn n n det (k ) − (k ) (k ) = 0 Hαβ E Sαβ • 这是通常的紧束缚近似，前面只是s电子特例 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 29 分裂的原子能级过渡成能带 • N个相同孤立 原子的分裂能 级，N重简并 • 原子靠近形成 晶体，简并能 级相互作用， 分裂形成能带 • 能带图上，不 同的N个k的 能级形成能带 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 30 讨论 • 带宽取决于J，J积分取决于波函数交叠的多少 • 取决波函数交叠？波函数分布形状？ • 设问：内层电子分布区域大还是小？组成晶体 后能带宽还是窄？同原子层相互作用大还是 小？ • 分析成立条件是微扰作用远小于能级差，能带 宽度可以大致反映原子态之间相互作用的强弱 • 否则类似分子能级，先杂化，再考虑相互作 用——能带交迭 • 外层电子分布区域大还是小？组成晶体后，能 带宽还是窄？相互作用呢？ • 平面波宽还是窄？