求n=f(2)的数学期望与方差 解由于服从-11上的均匀分布,所以其概率密度为 0,其他 因此 En=El(5]=f(x)o(x)dx ;nxdx=(xmx)-∫ n2) 以及 E(n2)=BL/()=厂2(x)(xx =(nx)a=xmx312-21hnx=(m2)2+m2+1 因此 Dn=E(n)-(Em)2=(n2) 四.几种常见分布的数学期望和方差。 (一)0-1分布 设随机变量ξ服从0-1分布,且概率函数为 P(5=k)=p(1-p)-,k=0, 由定义 E=0×(1-p)+1xp=P 且由定理11.5.1知 E(52)=032×(1-p)+12xp=p。 于是 0=E()-(E5)=P-p2=p(1-P 这说明,若ξ服从参数p的01分布,则E=p,DF=p(1-p)。 (二)二项分布 设随机变量服从参数为n,p的二项分布,即~B(n,p)。 首先说明服从二项分布的随机变量ξ可以看作是n个相互独立的0-1分布 的随机变量的和。事实上,设在某个试验中事件A发生或着不发生,且A发生的 概率为p,将这个实验独立地重复n次,构成一个n重 Bernoulli试验。随机变量 就可以看作这个n重 Berno试验中事件A出现的次数,因此它服从二项分布 B(np)。设随机变量5(i=1,2…n)为 ss1第次试验A发生 0,第次试验A不发生 则服从参数p的0-1分布,且5,52…,5相互独立。因此5=∑5,即是n 个相互独立的0-1分布的随机变量的和。求   f () 的数学期望与方差。 解 由于  服从        2 1 , 2 1 上的均匀分布，所以其概率密度为          0, . , 2 1 2 1 1, ( ) 其他 x  x 因此   (1 ln 2). 2 1 ln ln 1 [ ( )] ( ) ( ) 2 1 2 1 0 2 1 0 0              xdx x x dx E E f  f x  x dx 以及 (ln 2) ln 2 1. 2 1 (ln ) [ (ln ) ] 2 ln ( ) [ ( )] ( ) ( ) 2 0 2 1 0 2 0 2 2 2 2 2 1 2 1              x dx x x xdx E  E f  f x  x dx 因此 4 3 ln 2 2 1 (ln 2) 4 1 ( ) ( ) 2 2 2 D  E   E    。 四．几种常见分布的数学期望和方差。 （一）0-1 分布 设随机变量  服从 0-1 分布，且概率函数为 k k P k p p     1 ( ) (1 ) ， k  0, 1。 由定义 E  0(1 p) 1 p  p 。 且由定理 11.5.1 知 E    p   p  p 2 2 2 ( ) 0 (1 ) 1 。 于是 ( ) ( ) (1 ) 2 2 2 D  E   E  p  p  p  p 。 这说明，若  服从参数 p 的 0-1 分布，则 E  p ， D  p(1 p)。 （二）二项分布 设随机变量  服从参数为 n, p 的二项分布，即  ~ B(n, p) 。 首先说明服从二项分布的随机变量  可以看作是 n 个相互独立的 0 1 分布 的随机变量的和。事实上，设在某个试验中事件 A 发生或着不发生，且 A 发生的 概率为 p ，将这个实验独立地重复 n 次，构成一个 n 重 Bernoulli 试验。随机变量  就可以看作这个 n 重 Bernoulli 试验中事件 A 出现的次数，因此它服从二项分布 B(n, p) 。设随机变量 i  （ i 1,2,  ,n ）为     0, , 1, , 第 次试验 不发生 第 次试验 发生 i A i A  i 则 i  服从参数 p 的 0 1 分布，且    n , , , 1 2  相互独立。因此   n i i 1   ，即  是 n 个相互独立的 0 1 分布的随机变量的和