定理2设fx2、fy2、f2不全为零，则Fx1、Fy1、Fz1也不全为零，且有 F!+F1+F,=F2+f2+f2+f2 1 证由（7)，有 8x2+y2分X1 Fx=f oy:+fax 022 Fyxfy (9) 8y: 8y1 ay F,1=fx2· 8x2+fya 07.1 0+…81 821 祚意到(6)，有 Fx fx2 Fy=AT()!fy2 (10) AFa f22 不难证明，|A(p)川=1，A(p:)为满秩的三阶正交方阵。当fx、fy2、fz2不全为零 时，方程组(9)有非零解，据克莱姆规则，x1、下y1、Fz1必不全为零，否则与(9)有 非零解相矛盾。同时，由矩阵乘法规则，注意到A(P:)·AT(p:)=E,有 Fx1 F2+F+F=(Fx1,Fy1,F21)Fy= F21 fx:T fx2 ifx2 =AT()fy:AT()i fy2=(f2,fy2,f22)A()AT()fy:= f22! f22 fx2 fx2 =(fx2,fy:,fx2)E fy:=(fx2,fy2.f22)fy2=fi2+fi2+fi2 f21 (证完) 共轭曲面的接触线、界限曲线和综合曲率等，都要计算曲面族函数对”：的一至三阶偏 导数【2)。下面，我们来推导曲面族函数的n阶导数的矩阵表示。 由(7)可得 ax2 8p1 =i80+i80+i01=i80 8p1 02.1 0p1|, 注意到(5)，有 80定理 设 、 ， 、 不 全为零 ， 则 、 ， 、 也 不 全为零 ， 且有 里 要 里 奥 宾 要 二 证 由 ， 有 、 ‘一 会 ‘一 豁 ‘ 一 昌岌 ’ ‘一会 ‘一会 ‘ 会 角 · 器 ’ ‘ · 器介 ‘ · 会 了‘ 、 电 字仁意 到 ， 有 ， ‘ 、 甲 ， 不 难证 明 ， 甲 卜 ， 甲 为满秩 的 三阶正 交 方阵 。 当 、 ， 、 不全 为零 时 ， 方程组 有非零解 ， 据 克莱姆规则 ， 、 ， ，、 ， 必 不全为零 ， 否 则 与 有 非零解相矛盾 。 同时 ， 由矩 阵乘法规 则 ， 注意 到 印 丁 印 ， 有 ， 二 要 里 ， ， ，， ， 了 甲 ， ， ， ， 甲 印 ， ， 艺 吞二下尸了盆‘口 、声， 甲 了人 ‘一 「 ‘ · “ “ · ，， ‘ ， ，， ‘ · ， ’ ‘ · ， “ · ，， ‘ ， ，· ‘ · ，， ‘ ， ， 二 ‘里 ， ‘ ， 一 证 完 共扼 曲面 的接触线 、 界限 曲线和综 合 曲率等 ， 都要 计算 曲面 族 函数对 甲 的一 至 三阶偏 导 数 。 下面 ， 我们 来推 导 曲面族 函 数 的 阶 导数的 矩 阵表示 。 由 可得 日 日甲 如枷 ， ‘一 箭 ‘一瓮 ‘ 瓮 “ 一 ‘ 之 ， …、 甲 注 意 到 ， 有