上的风险态度与Y无关)更一般的定义见P147,定义8.10 3效用独立蕴含偏好独立 (x,a)(x3,a)对某个a )> e<1,(x)<,x×,B)由n,对任何β成立 (x, B) 4引理 X是效用独立于Y的,当且仅当,对固定的yo uxy)=ay)u(x,y)+β(y)v(xy)∈XxY 其中α(y)>0,a(y)β(y)的确定与y有关 同理,Y是效用独立于X的,当且仅当对固定的x (x, y =y(y)u(xo, y)+8(y)V(x,y)EXxY 其中(x>0,yx)8(x)的确定与x。有关 5X、Y相互效用独立 定理∶X和Y是相互效用独立的,则:若选(xo,y)使uxo,y 必有叫(xy)=u(x,y)+u(x02y)+ku(x,you(xo2y) 即XY相互效用独立且u(x0,y)=0时,u(xy)具加性 6加性条件 在上述假设下,再附加:对某个x1,x2∈X,y1,y2∈Y 5(x1,y1)0.5,(x2,y2)~<0.5(x1,y2),0.5、(x2,y1)> 且(x1,y0)飞(x2,y0),(x0,y2)(x,y) Ay u(x, y)=u(x, yo) u( xo,y) 7.加性独立也可以用另一种方式来表示 属性X、Y是加性独立的,若对所有xx∈X,y,y'∈Y 0.5(X,y)0.5、(x2,y2)~<0.5(X,y2);0.5、(x2y)> 8定理 设叫(xy)是XxY上的效用函数且X、Y是加性独立的则若选(x0,y)uxo,y)=0 F u(x,y=u(x, yo)+u( xo y) 加性独立也是效用函数为加性的必要条件。加性独立条件很难满足 拟加性效用函数的例 某人拟度假,他根据两个属性来确定休安排假的优劣 x:每天的日照时数 y:每天的费用 在与决策分析人讨论后确定了 a.他的偏好是相互效用独立的 b.x的边际效用是线性的,日照愈长愈好 c.y的边际效用也是线性的,费用愈小愈好 d.他认为下面的无差异成立:(10,16)~(8,12)4 上的风险态度与 Y 无关). 更一般的定义见 P147，定义 8.10 3.效用独立蕴含偏好独立 (x,) (x’,) 对某个α  <1, (x,)> <1, (x’,)>  <1, (x,)> <1, (x’, )> 由 UI，对任何β 成立  (x,) (x’, ) 4.引理： X 是效用独立于 Y 的，当且仅当，对固定的 y 0 u(x,y)= (y) u(x, y 0 ) + (y) (x,y)XY 其中α (y)>0, α (y),β (y)的确定与 y 0 有关。 同理，Y 是效用独立于 X 的，当且仅当对固定的 x 0 u(x,y)=  (y) u( x 0 , y) + (y) (x,y)XY 其中(x)>0, (x),δ (x)的确定与 x 0 有关。 5. X、Y 相互效用独立 定理：X 和 Y 是相互效用独立的，则：若选( x 0 , y 0 )使 u( x 0 , y 0 )=0 必有 u(x,y)= u(x, y 0 )+ u( x 0 ,y)+k u(x, y 0 )u( x 0 ,y) 即 X Y 相互效用独立且 u( x 0 , y 0 )=0 时，u(x,y)具拟加性. 6.加性条件： 在上述假设下，再附加：对某个 x1 , x 2 X, y1 , y 2 Y, <0.5,( x1 , y1 ); 0.5,( x 2 , y 2 )> <0.5,( x1 , y 2 ); 0.5,( x 2 , y1 )> 且 ( x1 , y 0 ) ( x 2 , y 0 ), ( x 0 , y 2 ) ( x 0 , y1 ) 则 u(x,y)= u(x, y 0 )+ u( x 0 ,y) 7. 加性独立也可以用另一种方式来表示: 属性 X、Y 是加性独立的，若对所有 x,x’X, y,y’Y <0.5,(x, y); 0.5,( x’,y’)> <0.5,(x, y’); 0.5,( x’,y)> 8.定理 设 u(x,y)是 XY 上的效用函数,且 X、Y 是加性独立的,则若选( x 0 , y 0 )使 u( x 0 , y 0 )=0 有 u(x,y)= u(x, y 0 )+ u( x 0 ,y) 加性独立也是效用函数为加性的必要条件。加性独立条件很难满足。 三. 拟加性效用函数的例 某人拟度假，他根据两个属性来确定休安排假的优劣 x:每天的日照时数 y:每天的费用 在与决策分析人讨论后确定了: a. 他的偏好是相互效用独立的; b. x 的边际效用是线性的，日照愈长愈好; c. y 的边际效用也是线性的，费用愈小愈好; d. 他认为下面的无差异成立：(10,16)～(8,12) (15,16)～(12,8)