·964· 北京科技大学学报 第34卷 表6安全系数对边坡稳定性隶属度及其对比 Table 6 Comparison of the membership of safety coefficient to slope stability m I N V W 用 0.6-0.790.8-0.991-1.09 1.11.191.2-1.291.3-1.391.4-1.591.6-1.89.1.9-2.09 us (F) 0 0.077 0.28 0.235 0.423 0.818 0.875 0.9 F网 0-0.880.88-0.991-1.091.11.191.21.291.3-1.391.4-1.59 >1.6 ug 0 0-0.0570.067-0.1960.213-0.3920.413-0.6080.629-0.8040.821~1 F▣ 0-1.21.2-1.291.3-1.391.4-1.591.6-1.63 >1.63 ulig 0 0-0.2090.2340.4420.465-0.9070.93-1 1 Dubois等0介绍了用条件概率求得的隶属度 129,可验证P（Arm I A）·P（A）/P（Am）= 与贝叶斯公理的关联公式，可用来验证本文算法的 u1(Fm),如m=V时可得(11/60)×(60/129)/ 计算结果.按本文理论可得：先验概率P(A)= IWmI/八U1,后验概率P（AmIA）=IZ:∩WmI/ (26129)=0.423=(F),且P(4）= 1Z1,得表7.由己知可得P(A)=1ZI/八U1=60/ (Fm）P(Am）=60/129. 表7事件Apm和条件事件AmIA1的概率 Table 7 Probability of event Agm and conditional event AlAs m 《 p V T 年 P(AFm） 6/129 13/129 25/129 17/129 26/129 11/129 16/129 10/129 5/129 P(Ap IAs) 0/60 1/60 7/60 4/60 11/60 9160 14/60 9/60 5/60 显然，用本文的方法也可求得u知(F).在工 二类是外延对象为某一属性的值，而内涵属性为另 程实践中，边坡工程除了本文样本中稳定与破坏两 一属性（用目标信息系统计算），如边坡工程中的安 个状态外，还可能划分为基本稳定和临界状态等. 全系数对稳定性的隶属度，安全系数和稳定性为两 用本文的算法也是可以计算相应的隶属度的，关键 个不同属性.用本文提出的新算法对上述两个实例 在于样本数量以及相应边坡状态的准确描述. 的两类隶属度进行了计算，前者与已有研究结果作 对比验证，后者与函数选择、经典统计方法及贝叶斯 3结论 公理作对比验证，可知其计算结果是可靠的，表明算 根据模糊概念“内涵明确，外延不明确”的特 法可行. 点，定义隶属度为不同外延对内涵的从属程度；在知 当然，同所有的统计方法一样，本文的方法对统 识发现理论的信息系统中，知识概念的外延用对象 计数据是敏感的，需要充足准确的样本才能得到符 表示，内涵用属性表示：己有研究结果表明隶属度可 合实际的隶属度结果 用条件概率空间中的条件概率计算.本文根据以上 三点，构建了用集值统计求解隶属度的新算法：对模 参考文献 糊事件的原始统计数据构成了信息系统，用粗糙集 理论对其求属性商集，将其转化为一个集值信息系 [Medasani S,Kim J,Krishnapuram R.An overview of membership 统。该集值信息系统包含模糊统计的四个要素，也 function generation techniques for patter recognition.Int Appro Reason,1998,19(3/4):391 满足组成一个条件概率空间的三个条件，在此条件 [] Gao Q S.Defects and overcoming of Zadeh's fuzzy set theory:C"- 概率空间中符合两个连续性条件的条件概率即为要 fuzzy set theory.J Univ Sci Technol Beijing,2005,27(5):513 求解的隶属度. (高庆狮.Zadch模糊集合理论的缺陷及其改进：C一模糊集 广义的信息系统分为两类：无决策属性的信息 合理论.北京科技大学学报，2005,27(5)：513) 系统和有决策属性的目标信息系统.按本文理论， Bl Medaglia A L,Fang S C,Nuttle H L W,et al.An efficient and flexible mechanism for constructing membership functions.Eur J 隶属度也可分为两类：第一类是外延对象为内涵属 0 per Res,2002,139(1):84 性本身的值（用信息系统计算），如不同的年龄数值 [4]Shen J,Cavade A,Chang S I,et al.Generation of fuzzy member- 对青年人的隶属度，年龄即为描述青年人的数值：第 ship function by expectation maximization and K-means algorithms.北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 表 6 安全系数对边坡稳定性隶属度及其对比 Table 6 Comparison of the membership of safety coefficient to slope stability m Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Fm 0. 6 ～ 0. 79 0. 8 ～ 0. 99 1 ～ 1. 09 1. 1 ～ 1. 19 1. 2 ～ 1. 29 1. 3 ～ 1. 39 1. 4 ～ 1. 59 1. 6 ～ 1. 89 1. 9 ～ 2. 09 μS1 ( Fm ) 0 0. 077 0. 28 0. 235 0. 423 0. 818 0. 875 0. 9 1 F［19］ 0 ～ 0. 88 0. 88 ～ 0. 99 1 ～ 1. 09 1. 1 ～ 1. 19 1. 2 ～ 1. 29 1. 3 ～ 1. 39 1. 4 ～ 1. 59 ＞ 1. 6 — μ ［19］ 0 0 ～ 0. 057 0. 067 ～ 0. 196 0. 213 ～ 0. 392 0. 413 ～ 0. 608 0. 629 ～ 0. 804 0. 821 ～ 1 1 — F［15］ 0 ～ 1. 2 1. 2 ～ 1. 29 1. 3 ～ 1. 39 1. 4 ～ 1. 59 1. 6 ～ 1. 63 ＞ 1. 63 — — — μ ［15］ 0 0 ～ 0. 209 0. 234 ～ 0. 442 0. 465 ～ 0. 907 0. 93 ～ 1 1 — — — Dubois 等［20］介绍了用条件概率求得的隶属度 与贝叶斯公理的关联公式，可用来验证本文算法的 计算结果． 按本文理论可得: 先验概率 P( AFm ) = | Wm | / |U|，后验 概 率 P ( AFm | AS1 ) = | Z1 ∩ Wm | / | Z1 |，得表 7． 由已知可得 P( AS1 ) = | Z1 | / |U| = 60 / 129，可 验 证 P ( AFm | AS1 ) ·P ( AS1 ) /P ( AFm ) = μS1 ( Fm ) ，如 m = V 时 可 得 ( 11 /60 ) × ( 60 /129 ) / ( 26 /129) = 0. 423 = μS1 ( FⅤ ) ，且 P( AS1 ) = ∑ Ⅸ m = Ⅰ μS1 ( Fm ) P( AFm ) = 60 /129． 表 7 事件 AFm和条件事件 AFm | AS1的概率 Table 7 Probability of event AFm and conditional event AFm | AS1 m Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ P( AFm ) 6 /129 13 /129 25 /129 17 /129 26 /129 11 /129 16 /129 10 /129 5 /129 P( AFm | AS1 ) 0 /60 1 /60 7 /60 4 /60 11 /60 9 /60 14 /60 9 /60 5 /60 显然，用本文的方法也可求得 μS0 ( Fm ) ． 在工 程实践中，边坡工程除了本文样本中稳定与破坏两 个状态外，还可能划分为基本稳定和临界状态等． 用本文的算法也是可以计算相应的隶属度的，关键 在于样本数量以及相应边坡状态的准确描述． 3 结论 根据模糊概念“内涵明确，外延不明确”的特 点，定义隶属度为不同外延对内涵的从属程度; 在知 识发现理论的信息系统中，知识概念的外延用对象 表示，内涵用属性表示; 已有研究结果表明隶属度可 用条件概率空间中的条件概率计算． 本文根据以上 三点，构建了用集值统计求解隶属度的新算法: 对模 糊事件的原始统计数据构成了信息系统，用粗糙集 理论对其求属性商集，将其转化为一个集值信息系 统． 该集值信息系统包含模糊统计的四个要素，也 满足组成一个条件概率空间的三个条件，在此条件 概率空间中符合两个连续性条件的条件概率即为要 求解的隶属度． 广义的信息系统分为两类: 无决策属性的信息 系统和有决策属性的目标信息系统． 按本文理论， 隶属度也可分为两类: 第一类是外延对象为内涵属 性本身的值( 用信息系统计算) ，如不同的年龄数值 对青年人的隶属度，年龄即为描述青年人的数值; 第 二类是外延对象为某一属性的值，而内涵属性为另 一属性( 用目标信息系统计算) ，如边坡工程中的安 全系数对稳定性的隶属度，安全系数和稳定性为两 个不同属性． 用本文提出的新算法对上述两个实例 的两类隶属度进行了计算，前者与已有研究结果作 对比验证，后者与函数选择、经典统计方法及贝叶斯 公理作对比验证，可知其计算结果是可靠的，表明算 法可行． 当然，同所有的统计方法一样，本文的方法对统 计数据是敏感的，需要充足准确的样本才能得到符 合实际的隶属度结果． 参 考 文 献 ［1］ Medasani S，Kim J，Krishnapuram R． An overview of membership function generation techniques for pattern recognition． Int J Approx Reason，1998，19( 3 /4) : 391 ［2］ Gao Q S． Defects and overcoming of Zadeh's fuzzy set theory: C* - fuzzy set theory． J Univ Sci Technol Beijing，2005，27( 5) : 513 ( 高庆狮． Zadeh 模糊集合理论的缺陷及其改进: C* --模糊集 合理论． 北京科技大学学报，2005，27( 5) : 513) ［3］ Medaglia A L，Fang S C，Nuttle H L W，et al． An efficient and flexible mechanism for constructing membership functions． Eur J Oper Res，2002，139( 1) : 84 ［4］ Shen J，Cavade A，Chang S I，et al． Generation of fuzzy member￾ship function by expectation maximization and K-means algorithms． ·964·