第8期 方宏伟等：基于粗糙商集的模糊隶属度集值统计算法 ·963· Fx=F3UF4,Wx=WaUW4,其余各值不变，但 V、M,可统一标识为F和Wm,其中m=I~X. F,、F、F6、F,及其对应商集编号依次变为Ⅲ、N、 表5边坡样本集值信息系统 Table 5 Set-valued information system of slope sample 0 So Fo 0 {x4x41} F e {x40x68,10x1} F {x} {x1x9-69x120} F3 e {38,x2,x10的，x116,122,x124,x125,x126} FA {x36xw114x15,x19x12x1s} {6,g22901x62x6xg828,x0410m1mx1四} Fs {x85x112x17x1is} {x3.21,x28x2x35x63X50x3X84,xg7,xg1,xg7,x101} Fo {x48x9x52x5gx34x5x38061x100x1} {15,无1617x18,x190x7x36x1x5x0x82x96x05] F7 {x10,x4,51x59,x74x8x90x99,12} {x5,x103】 Fs {x4x2x13x7,x56x57x6x07,x9x10m,x13} (re} f {r6x1} (xa} Fw {xg,x14,x106} 0 Fu {x11x5,6x94} 0 F2 {x23,x94} {x} Fu (x269 0 Fv {x24,x45,x64} 0 2.2计算隶属度 1Z,nWmI/1WmI+|Z。∩Wm|/八WmI=1(ZUZ。)∩ 该集值信息系统求解隶属度包含模糊统计的四 W1/八1WI=1,两者相等.以上各式中11表示集合 个要素：(1)论域U。={F},m=I~X;(2)U。中 的基. 一个固定元素Fm:(3)U。上一个模糊概念S1,对S Fm对S1的隶属度为u(Fm)=P(AIAm),此 的不确定性统计，形成U。上一个可变的集合W∩ 集值信息系统构成的条件概率空间中的条件概率满 Z,其中的每个元素都是S,外延的一次近似表示， 足连续条件概率的要求 反应了外延对象F对内涵属性S,的从属：(4)制 证明： 约W∩Z,中元素变化的条件为影响边坡稳定性的 (1)Z1∩W,=0,即A∩AF1=☑，则P(AI 各类因素 AF1）=0: 该集值信息系统对应一个条件概率空间(2，T, (2)Wx≤Z1,P(As I AFK）=1 Z:n Wx I/ P(A4IAm)）(k=1,0).其中：样本空间2=U(初 IWx I =1. 始目标信息系统的论域)：事件域T=E(U),为U 2.3结果验证 的幂集，可知T为一个σ域：P(AlA)为条件 文献ū5]用一般统计方法，文献9]用函数选 概率，A4=Z.和Am=Wn为T中的事件. 择方法对文献6]中的样本数据作研究，得到了隶 证明： 属函数.为了便于与本文的隶属度计算结果相对 (1)非负性，P(AIAm）=P(A∩Am)/ 比，对其取区间值，见表6.由样本可知：当F=Fv P(Aem）=|Z.nWnI/八WnI≥0； 时，仍有40%的边坡样本稳定，因此文献5]的计 (2)正规性，P(2IAm)=P(2nAm)/P(Aa)= 算结果偏小；当F为Fm、Fm和F时，本文计算结果 1 unw I./八Wm1=1: 与文献9]相比偏大，当F,时仍有边坡样本破坏， (3)σ可加性，A∩A∞=Z∩Z1=0,且Z1U 故从样本的角度来说本文的计算结果更符合实际： Z乙=U,则P(AxlA)=P(nA)/P(Ar)= 当F为Fw、Fv和Fu时，本文计算结果在文献9] 的区间值内.因此，总体上来说本文算法的结果是 1,而P(AsIAr)=P(AlA.)+P(AA）= 可靠的第 8 期 方宏伟等: 基于粗糙商集的模糊隶属度集值统计算法 FⅨ = F13 ∪F14，WⅨ = W13 ∪W14，其余各值不变，但 F4、F5、F6、F7 及其对应商集编号依次变为Ⅲ、Ⅳ、 Ⅴ、Ⅵ，可统一标识为 Fm和 Wm，其中 m = Ⅰ ～ Ⅸ． 表 5 边坡样本集值信息系统 Table 5 Set-valued information system of slope sample U S1 S0 F0 & { x34，x41 } F1 & { x40，x63，x110，x121 } F2 { x67 } { x1，x39. x69. x120 } F3 & { x38，x72，x109，x116，x122，x124，x125，x126 } F4 { x86，x89，x114，x115，x119，x123，x128 } { x2，x6，x9，x22，x29，x30，x31，x33，x62，x66，x83，x88，x92，x98，x104，x107，x108，x129 } F5 { x85，x112，x117，x118 } { x3，x21，x28，x32，x35，x46，x50，x73，x84，x87，x91，x97，x101 } F6 { x48，x49，x52，x53，x54，x55，x58，x60，x61，x100，x111 } { x7，x15，x16，x17，x18，x19，x20，x27，x36，x71，x75，x80，x82，x96，x105 } F7 { x10，x44，x51，x59，x74，x78，x90，x99，x127 } { x5，x103 } F8 { x4，x12，x13，x47，x56，x57，x68，x70，x77，x79，x102，x113 } { x42 } F9 { x76，x81 } { x43 } F10 { x8，x14，x106 } & F11 { x11，x25，x65，x94 } & F12 { x23，x94 } { x37 } F13 { x26，x95 } & F14 { x24，x45，x64 } & 2. 2 计算隶属度 该集值信息系统求解隶属度包含模糊统计的四 个要素: ( 1) 论域 U0 = { Fm } ，m = Ⅰ ～ Ⅸ; ( 2) U0 中 一个固定元素 Fm ; ( 3) U0 上一个模糊概念 S1，对 S1 的不确定性统计，形成 U0 上一个可变的集合 Wm∩ Z1，其中的每个元素都是 S1 外延的一次近似表示， 反应了外延对象 Fm对内涵属性 S1 的从属; ( 4) 制 约 Wm∩Z1 中元素变化的条件为影响边坡稳定性的 各类因素． 该集值信息系统对应一个条件概率空间( Ω，Γ， P( ASk | AFm ) ) ( k = 1，0) ． 其中: 样本空间 Ω = U ( 初 始目标信息系统的论域) ; 事件域 Γ = Ε( U) ，为 U 的幂集，可知 Γ 为一个 σ 域［14］; P( ASk | AFm ) 为条件 概率，ASk = Zk和 AFm = Wm为 Γ 中的事件． 证明: ( 1) 非 负 性，P ( ASk | AFm ) = P ( ASk ∩ AFm ) / P( AFm ) = | Zk∩Wm | / | Wm |≥0; ( 2) 正规性，P( Ω| AFm ) = P( Ω∩AFm ) /P( AFm ) = |U∩Wm | / | Wm | = 1; ( 3) σ 可加性，AS1∩AS0 = Z0∩Z1 = &，且 Z1∪ Z0 = U，则 P ( ∪ 1 k = 0 ASk | AFm ) = P( Ω∩AFm ) /P( AFm ) = 1，而 ∑ 1 k = 0 P( ASk | AFm ) = P( AS1 | AFm ) + P( AS0 | AFm ) = | Z1∩Wm | / | Wm | + | Z0∩Wm | / | Wm | = | ( Z1∪Z0 ) ∩ Wm | / | Wm | = 1，两者相等． 以上各式中|·| 表示集合 的基． Fm对 S1 的隶属度为 μS1 ( Fm ) = P( ASk | AFm ) ，此 集值信息系统构成的条件概率空间中的条件概率满 足连续条件概率的要求． 证明: ( 1) Z1∩WⅠ = &，即 AS1∩AFⅠ = &，则 P( AS1 | AFⅠ) = 0; ( 2) WⅨ  Z1，P ( AS1 | AFⅨ ) = | Z1 ∩ WⅨ | / | WⅨ | = 1． 2. 3 结果验证 文献［15］用一般统计方法，文献［19］用函数选 择方法对文献［16］中的样本数据作研究，得到了隶 属函数． 为了便于与本文的隶属度计算结果相对 比，对其取区间值，见表 6． 由样本可知: 当 F = FⅤ 时，仍有 40% 的边坡样本稳定，因此文献［15］的计 算结果偏小; 当 F 为 FⅡ、FⅢ和 FⅥ时，本文计算结果 与文献［19］相比偏大，当 FⅧ 时仍有边坡样本破坏， 故从样本的角度来说本文的计算结果更符合实际; 当 F 为 FⅣ、FⅤ和 FⅦ时，本文计算结果在文献［19］ 的区间值内． 因此，总体上来说本文算法的结果是 可靠的． ·963·