基于粗糙商集的模糊隶属度集值统计算法

D0L:10.13374.issn1001-053x.2012.08.001 第34卷第8期 北京科技大学学报 Vol.34 No.8 2012年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug.2012 基于粗糙商集的模糊隶属度集值统计算法 方宏伟2》李长洪1,2四 纪洪广1,2) 方玲玲) 1)北京科技大学金属矿山高效开采与安全教有部重点实验室，北京1000832)北京科技大学土木与环境工程学院，北京100083 3)苏州大学计算机科学与技术学院，苏州215006 区通信作者，E-mail:lch@usth.cdu.cn 摘要模糊隶属度无统一算法，定义存在分歧.根据模糊概念“内涵明确，外延不明确”的特点，定义隶属度为不同外延对内 涵的从属程度.在信息系统中，概念的外延用对象表示，内涵由属性表示，由此提出了求解隶属度的新算法：由原始统计数据 组成初始信息系统，用粗糙集理论求得其商集并构建集值信息系统：该集值信息系统对应的条件概率空间中的条件概率即为 隶属度.广义上信息系统可分为信息系统（无决策属性）和目标信息系统（有决策属性）两类.隶属度也可分为两类：第一类外 延对象为内涵属性本身值，如年龄对青年人的隶属度（信息系统）：第二类外延对象为不同于内涵属性的另一属性值，如边坡 工程安全系数对稳定状态的隶属度（目标信息系统）.计算以上两个实例，前者与己有结论作对比验证，后者与函数选择、经 典统计方法及贝叶斯公理作对比验证，可知结果可靠，算法可行. 关键词模糊集理论；隶属函数；粗糙集：信息系统：条件概率 分类号0159 Set-valued statistical algorithm for fuzzy membership based on the rough quotient set FANG Hong-wei.2》,LI Chang+-hong2回，JI Hong3-guang2，FANG Ling-mg 1)Key Laboratory of the Ministry of Education of China for High-Efficient Mining and Safety of Metal Mines,University of Science of Technology Beijing, Beijing 100083,China 2)School of Civil and Environmental Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 3)School of Computer Science and Technology,Soochow University,Suzhou 215006,China Corresponding author,E-mail:lch@ustb.edu.cn ABSTRACT There is no uniform algorithm for fuzzy membership,and the definitions differ.According to the characteristic of the fuzzy concept "the meaning is clear and the extension is ambiguous",the membership is defined as the subordinate degree of different extensions to the connotation.In information systems,the extension of the theory of knowledge discovery is expressed by the object, and the meaning is expressed by its attributes.Based on the research results,a new algorithm for calculating the membership was proposed:the initial information systems are composed of original statistical data,and the set-valued information system is constructed by the quotient set which uses the rough set theory:in the set-valued information system,the conditional probability in the correspond- ing conditional probability space is the membership.In general,the information systems are divided into information systems without decision attributes and target information systems with decision-making attributes.The membership is also divided into two categories: firstly,the content of the extension object is the value of the property itself,such as young people to the age (information system); secondly,the extension object is different from the content attribute value of another property,such as engineering safety factor to stability (target information system).These two instances were calculated,the former is compared with the existing research results and the latter is verified by the function selection,classical statistical method and Bayesian formula;it is shown that the algorithm is feasible and the results are reliable. KEY WORDS fuzzy set theory:membership functions:rough sets:information systems:conditional probability 模糊隶属度（或隶属函数）是模糊数学应用与实践的基石，其确定（或建立）存在两个问题0：(1) 收稿日期：2011-一10-一10 基金项目：北京市重点学科共建项目：国家重点基础研究发展计划资助项目(2010CB731501,2010CB731506)

第 34 卷 第 8 期 2012 年 8 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 34 No． 8 Aug． 2012 基于粗糙商集的模糊隶属度集值统计算法 方宏伟1，2) 李长洪1，2) ! 纪洪广1，2) 方玲玲3) 1) 北京科技大学金属矿山高效开采与安全教育部重点实验室，北京 100083 2) 北京科技大学土木与环境工程学院，北京 100083 3) 苏州大学计算机科学与技术学院，苏州 215006 !通信作者，E-mail: lch@ ustb． edu． cn 摘 要 模糊隶属度无统一算法，定义存在分歧． 根据模糊概念“内涵明确，外延不明确”的特点，定义隶属度为不同外延对内 涵的从属程度． 在信息系统中，概念的外延用对象表示，内涵由属性表示，由此提出了求解隶属度的新算法: 由原始统计数据 组成初始信息系统，用粗糙集理论求得其商集并构建集值信息系统; 该集值信息系统对应的条件概率空间中的条件概率即为 隶属度． 广义上信息系统可分为信息系统( 无决策属性) 和目标信息系统( 有决策属性) 两类． 隶属度也可分为两类: 第一类外 延对象为内涵属性本身值，如年龄对青年人的隶属度( 信息系统) ; 第二类外延对象为不同于内涵属性的另一属性值，如边坡 工程安全系数对稳定状态的隶属度( 目标信息系统) ． 计算以上两个实例，前者与已有结论作对比验证，后者与函数选择、经 典统计方法及贝叶斯公理作对比验证，可知结果可靠，算法可行． 关键词 模糊集理论; 隶属函数; 粗糙集; 信息系统; 条件概率 分类号 O159 Set-valued statistical algorithm for fuzzy membership based on the rough quotient set FANG Hong-wei 1，2) ，LI Chang-hong1，2) ! ，JI Hong-guang1，2) ，FANG Ling-ling3) 1) Key Laboratory of the Ministry of Education of China for High-Efficient Mining and Safety of Metal Mines，University of Science of Technology Beijing， Beijing 100083，China 2) School of Civil and Environmental Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 3) School of Computer Science and Technology，Soochow University，Suzhou 215006，China !Corresponding author，E-mail: lch@ ustb． edu． cn ABSTRACT There is no uniform algorithm for fuzzy membership，and the definitions differ． According to the characteristic of the fuzzy concept“the meaning is clear and the extension is ambiguous”，the membership is defined as the subordinate degree of different extensions to the connotation． In information systems，the extension of the theory of knowledge discovery is expressed by the object， and the meaning is expressed by its attributes． Based on the research results，a new algorithm for calculating the membership was proposed: the initial information systems are composed of original statistical data，and the set-valued information system is constructed by the quotient set which uses the rough set theory; in the set-valued information system，the conditional probability in the correspond￾ing conditional probability space is the membership． In general，the information systems are divided into information systems without decision attributes and target information systems with decision-making attributes． The membership is also divided into two categories: firstly，the content of the extension object is the value of the property itself，such as young people to the age ( information system) ; secondly，the extension object is different from the content attribute value of another property，such as engineering safety factor to stability ( target information system) ． These two instances were calculated，the former is compared with the existing research results and the latter is verified by the function selection，classical statistical method and Bayesian formula; it is shown that the algorithm is feasible and the results are reliable． KEY WORDS fuzzy set theory; membership functions; rough sets; information systems; conditional probability 收稿日期: 2011--10--10 基金项目: 北京市重点学科共建项目; 国家重点基础研究发展计划资助项目( 2010CB731501，2010CB731506) 模糊隶属度( 或隶属函数) 是模糊数学应用与 实践的基石，其确定( 或建立) 存在两个问题［1］: ( 1) DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2012.08.001

·960· 北京科技大学学报 第34卷 无具体的指导方针和规则：(2)对隶属度概念的定 (2)集值信息系统构成条件概率空间的三个条件 义和解释存在分歧.高庆狮回深入研究了Zadeh模 (事件域为σ域)：(3)连续条件概率的两个 糊集合理论的缺陷，并提出C一模糊集合理论 条件图 Medaglia等指出隶属函数无统一的确定方法，但 信息系统分为两类，一类是无决策属性的信息 总体可分为数据驱动估计和函数主观选择两大类， 系统，另一类是有决策属性的目标信息系统.尽管 并研究了Bezier曲线确定隶属函数的方法.Shen 模糊性产生的原因有多种四，但如定义隶属度为不 等田也指出隶属函数是模糊数学应用最重要的步 同外延对象对内涵属性的从属程度，则隶属度也可 骤，不同问题应选用不同的隶属函数确定方法，并提 分为两类：第一类是外延对象为内涵属性本身的值 出了聚类方法.对应用统计数据确定隶属度的方 (用信息系统计算)，如年龄对青年人的隶属度：第 法，中国学者称为模糊统计（应区别于模糊数学与 二类是外延对象为不同于内涵属性的其他属性的值 经典统计学相结合的模糊统计方法的)，如汪培 (用目标信息系统计算)，如边坡工程中安全系数对 庄提出了包含模糊统计的集值统计方法，并探讨 稳定性的隶属度.本文通过对以上两个实例隶属度 了与概率统计的对偶关系.Tamaki等)认为隶属函 的求解来说明该算法的具体过程，并与己有的研究 数应基于模糊事件的观测数据给出，并分析了隶属 成果作对比来验证算法结果的可靠性，且第二类隶 函数与条件概率的关系.Coletti等对应用条件概 属度还可以用贝叶斯公式验算 率求解隶属度的方法进行了理论分析和实例探讨， 1 第一类隶属度集值统计算法 但没有给出具体计算过程和详细结果.由此可见， 目前的隶属度的求解尚无统一的观点和方法 1.1初始信息系统 模糊概念的特点是“内涵明确，外延不明确”， 青年人为模糊概念，一般用年龄大小来描述，即 隶属度可定义为不同外延对内涵的从属程度.在知 外延对象为内涵属性本身的实数值，以张南纶)在 识发现理论中，关系数据统计表对应的信息系统由 武汉建材学院的统计数据为样本求解年龄对青年人 属性和对象组成，内涵可用属性表示，外延可用对象 的隶属度. 表示回.本文在以上的研究成果基础上，提出用集 首先，由实验数据可得初始信息系统(U,C,V, 值信息系统求解隶属度的新算法，即对原始统计数 ),表1为部分数据.其中：U为论域，即对象的集 据构成的初始信息系统，以粗糙集理论@求得的商 合，为每次的实验数值{x,},i=1~129(共129次实 集为工具将其转变为集值信息系统，而这个由商集 验)：C为属性，即年龄数值n,据实验数值的论域取 构成的集值信息系统对应一个条件概率空间，用其 13,37]之间的25个实正数，j=0~24:V为属性值 中的条件概率即可求得隶属度.用这种方法计算隶 域，取{Y,Y。},Y表示青年人，Y表示非青年人f为 属度需满足以下三点：(1)模糊统计的四个要素因： 信息函数 表1初始信息系统（部分） Table 1 Initial information system (part) 0 n0=13 n1=14 3=15 n11=24 n12=25 n13=26 n2=35 n3-36 n24=37 x1=18,25 Yo Yo Yo Yi Yi Yo Yo Yo Yo 2=17,30] Yo Yo Yo Y Y Yo 40 Y。 x64=5,25] Yo Yo Y Y y Yo Yo Yo Yo x6s=18,30] o Yo % Y 上 Y Yo Yo 128=18,29] Y % Yo Yo x19=08,28] Y Yo 用粗糙集理论求初始信息系统的商集，可用 X7,…,X6Xg器，…，X129}. Rosetta软件计算，见图L.粗糙商集标记为 1.2集值信息系统 U/m={Q.1,Qo}（j=0~24),其中Q1表示U对 由商集可构成一个集值信息系统(U。,C。,V。, n按属性值Y,划分的商集，Q.o表示U对n,按属性 值Y。划分的商集，可得Q1UQo=U.例如： f6),部分数据见表2.其中：论域U。={n},j=0 U/mo={Qo.1,Qo.o},其中Qo.1=☑，Qo.o=U;U/n1= 24;属性C。={Y1,Y}:属性值域V。={Q1,Q.o} {Q.1Q1.0},其中Q.1={x6xg7},Q1.0={x1…,x5, (=0~24):信息函数f6

北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 无具体的指导方针和规则; ( 2) 对隶属度概念的定 义和解释存在分歧． 高庆狮［2］深入研究了 Zadeh 模 糊集合理论的缺陷，并提出 C* --模 糊 集 合 理 论． Medaglia 等［3］指出隶属函数无统一的确定方法，但 总体可分为数据驱动估计和函数主观选择两大类， 并研究了 Bézier 曲线确定隶属函数的方法． Shen 等［4］也指出隶属函数是模糊数学应用最重要的步 骤，不同问题应选用不同的隶属函数确定方法，并提 出了聚类方法． 对应用统计数据确定隶属度的方 法，中国学者称为模糊统计( 应区别于模糊数学与 经典统计学相结合的模糊统计方法［5］) ，如 汪 培 庄［6］提出了包含模糊统计的集值统计方法，并探讨 了与概率统计的对偶关系． Tamaki 等［7］认为隶属函 数应基于模糊事件的观测数据给出，并分析了隶属 函数与条件概率的关系． Coletti 等［8］对应用条件概 率求解隶属度的方法进行了理论分析和实例探讨， 但没有给出具体计算过程和详细结果． 由此可见， 目前的隶属度的求解尚无统一的观点和方法． 模糊概念的特点是“内涵明确，外延不明确”， 隶属度可定义为不同外延对内涵的从属程度． 在知 识发现理论中，关系数据统计表对应的信息系统由 属性和对象组成，内涵可用属性表示，外延可用对象 表示［9］． 本文在以上的研究成果基础上，提出用集 值信息系统求解隶属度的新算法，即对原始统计数 据构成的初始信息系统，以粗糙集理论［10］求得的商 集为工具将其转变为集值信息系统，而这个由商集 构成的集值信息系统对应一个条件概率空间，用其 中的条件概率即可求得隶属度． 用这种方法计算隶 属度需满足以下三点: ( 1) 模糊统计的四个要素［6］; ( 2) 集值信息系统构成条件概率空间的三个条件 ( 事件 域 为 σ 域) ［11］; ( 3 ) 连续条件概率的两个 条件［8］． 信息系统分为两类，一类是无决策属性的信息 系统，另一类是有决策属性的目标信息系统． 尽管 模糊性产生的原因有多种［12］，但如定义隶属度为不 同外延对象对内涵属性的从属程度，则隶属度也可 分为两类: 第一类是外延对象为内涵属性本身的值 ( 用信息系统计算) ，如年龄对青年人的隶属度; 第 二类是外延对象为不同于内涵属性的其他属性的值 ( 用目标信息系统计算) ，如边坡工程中安全系数对 稳定性的隶属度． 本文通过对以上两个实例隶属度 的求解来说明该算法的具体过程，并与已有的研究 成果作对比来验证算法结果的可靠性，且第二类隶 属度还可以用贝叶斯公式验算． 1 第一类隶属度集值统计算法 1. 1 初始信息系统 青年人为模糊概念，一般用年龄大小来描述，即 外延对象为内涵属性本身的实数值，以张南纶［13］在 武汉建材学院的统计数据为样本求解年龄对青年人 的隶属度． 首先，由实验数据可得初始信息系统( U，C，V， f) ，表 1 为部分数据． 其中: U 为论域，即对象的集 合，为每次的实验数值{ xi} ，i = 1 ～ 129 ( 共 129 次实 验) ; C 为属性，即年龄数值 nj ，据实验数值的论域取 ［13，37］之间的 25 个实正数，j = 0 ～ 24; V 为属性值 域，取{ Y1，Y0 } ，Y1表示青年人，Y0表示非青年人; f 为 信息函数． 表 1 初始信息系统( 部分) Table 1 Initial information system ( part) U n0 = 13 n1 = 14 n2 = 15 n11 = 24 n12 = 25 n13 = 26 n22 = 35 n23 = 36 n24 = 37 x1 =［18，25］ Y0 Y0 Y0 Y1 Y1 Y0 Y0 Y0 Y0 x2 =［17，30］ Y0 Y0 Y0 Y1 Y1 Y1 Y0 Y0 Y0 x64 =［15，25］ Y0 Y0 Y1 Y1 Y1 Y0 Y0 Y0 Y0 x65 =［18，30］ Y0 Y0 Y0 Y1 Y1 Y1 Y0 Y0 Y0 x128 =［18，29］ Y0 Y0 Y0 Y1 Y1 Y1 Y0 Y0 Y0 x129 =［18，28］ Y0 Y0 Y0 Y1 Y1 Y1 Y0 Y0 Y0 用粗糙集理论求初始信息系统的商集，可用 Rosetta 软 件［10］ 计 算，见 图 1． 粗糙商集标记为 U/nj = { Qj，1，Qj，0 } ( j = 0 ～ 24) ，其中 Qj，1表示 U 对 nj按属性值 Y1 划分的商集，Qj，0表示 U 对 nj按属性 值 Y0 划 分 的 商 集，可 得 Qj，1 ∪ Qj，0 = U． 例 如: U/n0 = { Q0，1，Q0，0 } ，其中 Q0，1 = &，Q0，0 = U; U/n1 = { Q1，1，Q1，0 } ，其中 Q1，1 = { x6，x87 } ，Q1，0 = { x1，…，x5， x7，…，x86，x88，…，x129 } ． 1. 2 集值信息系统 由商集可构成一个集值信息系统( U0，C0，V0， f0 ) ，部分数据见表 2． 其中: 论域 U0 = { nj} ，j = 0 ～ 24; 属性 C0 = { Y1，Y0 } ; 属性值域 V0 = { Qj，1，Qj，0 } ( j = 0 ～ 24) ; 信息函数 f0 ． ·960·

第8期 方宏伟等：基于粗糙商集的模糊隶属度集值统计算法 ·961· Rosetta-young a8 -日× 图1 Rosetta计算青年人统计数据商集界面 Fig.I Statistics interface of the quotient set of young people by Rosetta calculation 表2青年人统计数据集值信息系统（部分） (3)o可加性，An∩Ao=0,且己知Q.1U Table 2 Setvalued information system of young people statistics data (part) Qo=U,则P（AlAg）=P(2nA)/P(Ag)= k=( Vo y Yo n0=13 Qo.1 Qo.o 1,而PilA,)=P(AlM,)+(AA,.）= n1=14 QL 0.0 1Q11/八U川+IQ.o1/八U1=1,两者相等.以上各式 n2=25 Q2.1 Q2.0 中|·|表示集合的势. m13=26 Q3.1 Q130 由此可定义n,对Y1的隶属度un(n)=P(AnI 2=36 Q25,1 Q23,0 A),即集值信息系统对应的条件概率空间中的条 n24=37 Q24,1 Q24.0 件概率为该集值信息系统下外延对象，对内涵属性 本身Y的隶属度，且满足连续条件概率的条件 首先验证用此集值信息系统计算隶属度包含模 证明： 糊统计的四个要素.(1)论域U。:{n},j=0~24; (1)UnQ=,P(An I A)=I0.nUl/ (2)U,中一个固定元素m,:(3)U。上一个模糊概念 1U1=0,当j=0,24; 内涵Y,对Y的不确定性统计，形成U。上一个可 (2)UCQ,P(An IA)=IQnU/U=1, 变的集合Q1,其中的每个元素都是对Y,外延的一 当i=7~11. 次近似表示，体现了外延对象几对内涵属性Y,的从 1.3结果与验证 属；(4)制约Q:中元素变化的条件，这里主要为被 隶属度计算结果见表3，并与文献3]求得的 统计人员的心理因素 结果作对比，可见两者基本一致.实际上，本文的方 该集值信息系统构成一个条件概率空间(2，厂， 法就是用数学工具（信息系统、粗糙商集、集值信息 P(Aa)(k=1,0).其中：样本空间D=U(初始 系统和条件概率空间)将文献3]求隶属度的思维 信息系统的论域)：事件域T=E(U),为U的幂集， 方法进行理论深化 可知T为一个σ域；P(4lA)为条件概率，Am= 2第二类隶属度集值统计算法 U和A=Qk分别为T中的事件，这里Q.k中j的选 择对应于事件A中的 以上求得的是内涵属性本身的值作为外延对象 证明： 的隶属度.如前所述，还有一种是某一属性的值作 (1)非负性，P(AIAn）=P(A∩A)/P(A)= 为另一属性外延对象的隶属度，如边坡工程中由极 1Q.knU川/1U川=1Q.41/1U川≥0： 限平衡法计算得到的边坡安全系数F对边坡状态S (2)正规性，P(2lA)=P(2nAn)/P(A)= 的隶属度即为此类型.从理论上来说，应该是F>1 IUnUl/IUl =1: 时为稳定状态S,F=1为极限平衡状态，F<1为破

第 8 期 方宏伟等: 基于粗糙商集的模糊隶属度集值统计算法 图 1 Rosetta 计算青年人统计数据商集界面 Fig． 1 Statistics interface of the quotient set of young people by Rosetta calculation 表 2 青年人统计数据集值信息系统( 部分) Table 2 Set-valued information system of young people statistics data ( part) U0 Y1 Y0 n0 = 13 Q0，1 Q0，0 n1 = 14 Q1，1 Q1，0 n12 = 25 Q12，1 Q12，0 n13 = 26 Q13，1 Q13，0 n23 = 36 Q23，1 Q23，0 n24 = 37 Q24，1 Q24，0 首先验证用此集值信息系统计算隶属度包含模 糊统计的四个要素． ( 1) 论域 U0 : { nj} ，j = 0 ～ 24; ( 2) U0 中一个固定元素 nj ; ( 3) U0 上一个模糊概念 内涵 Y1，对 Y1 的不确定性统计，形成 U0 上一个可 变的集合 Qj，1，其中的每个元素都是对 Y1 外延的一 次近似表示，体现了外延对象 nj对内涵属性 Y1 的从 属; ( 4) 制约 Qj，1中元素变化的条件，这里主要为被 统计人员的心理因素． 该集值信息系统构成一个条件概率空间( Ω，Γ， P( AYk | Anj ) ) ( k = 1，0) ． 其中: 样本空间 Ω = U( 初始 信息系统的论域) ; 事件域 Γ = Ε( U) ，为 U 的幂集， 可知 Γ 为一个 σ 域［14］; P( AYk |Anj ) 为条件概率，Anj = U 和 AYk = Qj，k分别为 Γ 中的事件，这里 Qj，k中 j 的选 择对应于事件 Anj中的 j． 证明: ( 1) 非负性，P( AYk |Anj) = P( AYk∩Anj) /P( Anj) = |Qj，k∩U| / |U| = |Qj，k | / |U|≥0; ( 2) 正规性，P( Ω| Anj) = P( Ω∩Anj) /P( Anj) = |U∩U| / |U| = 1; ( 3) σ 可 加 性，AY1 ∩ AY0 = &，且 已 知 Qj，1 ∪ Qj，0 = U，则 P ( ∪ 1 k = 0 AYk | Anj ) = P( Ω∩Anj) /P( Anj) = 1，而 ∑ 1 k = 0 P ( AYk | Anj) = P( AY1 | Anj) + P( AY0 | Anj) = |Qj，1 | / |U | + | Qj，0 | / | U | = 1，两者相等． 以上各式 中|·|表示集合的势． 由此可定义 nj对 Y1 的隶属度 μY1 ( nj) = P( AY1 | Anj ) ，即集值信息系统对应的条件概率空间中的条 件概率为该集值信息系统下外延对象 nj对内涵属性 本身 Y1 的隶属度，且满足连续条件概率的条件． 证明: ( 1) U∩Qj，1 = &，P ( AY1 | Anj ) = | Qj，1 ∩U | / |U| = 0，当 j = 0，24; ( 2) UQj，1，P( AY1 | Anj ) = | Qj，1∩U | / | U | = 1， 当 j = 7 ～ 11． 1. 3 结果与验证 隶属度计算结果见表 3，并与文献［13］求得的 结果作对比，可见两者基本一致． 实际上，本文的方 法就是用数学工具( 信息系统、粗糙商集、集值信息 系统和条件概率空间) 将文献［13］求隶属度的思维 方法进行理论深化． 2 第二类隶属度集值统计算法 以上求得的是内涵属性本身的值作为外延对象 的隶属度． 如前所述，还有一种是某一属性的值作 为另一属性外延对象的隶属度，如边坡工程中由极 限平衡法计算得到的边坡安全系数 F 对边坡状态 S 的隶属度即为此类型． 从理论上来说，应该是 F ＞ 1 时为稳定状态 S1，F = 1 为极限平衡状态，F ＜ 1 为破 ·961·

·962· 北京科技大学学报 第34卷 表3年龄对青年人的隶属度计算结果 Table3 Membership computational result of the youth to age 0 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 年龄 13 14 15 6 17 18 19 20 21 22 23 24 文献02] 0 0.02 0.21 0.4 0.52 0.96 0.97 1 1 1 1 本文 0 0.020.210.40.520.960.97 1 1 1 1 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 年龄 26 27 28 29 30 31 3边 33 34 好 36 文献02]0.99 0.8 0.780.77 0.62 0.60.210.21 0.210.21 0.21 0.01 本文 0.99 0.8 0.78 0.77 0.62 0.6 0.21 0.21 0.2 0.2 0.20.01 坏状态S。,但实践中会出现F>1边坡破坏而F<1 集.由此可得一个集值信息系统(Uo,Co,Vo,f),部 边坡稳定的情况，表明通过F评判边坡的稳定性存 分数据见表5.论域U。:{F},j=0~14:属性C。: 在模糊性) {S1,S}:属性值域V。:{WnZ,W∩Z}(=0~ 2.1初始目标信息系统和集值信息系统 24):信息函数f6·用原条件属性F的值F作为内涵 将文献16-18]中129个边坡工程样本分别编 属性S,的外延对象，求F,对S,的隶属度 号为1~82、83~108、109~129，得初始目标信息系 表4初始目标信息系统（部分） 统(U,CUD,V,f).其中：论域U,即边坡样本的集 Table 4 Initial target information system (part) 合{x;},i=1~129;条件属性C=F,根据数据范围 S 0.6,2.09]按差值为0.1离散为15个区间F,(= x F2 雪 0~14),决策属性D=S;属性值域V={F,S,S} 常 Fs So (=0~14):信息函数f部分数据见表4. K83 Fa So 同上，用Rosetta软件求该目标信息系统的属性 X108 雪 X109 F 商集，见图2.可得U/F={W}(=0~14),U/S= x128 雪 {Z,Z},其中W,为F对应的商集，如F。对应W。= x129 {x4,x41},Z为S,对应的商集，Z。为S。对应的商 图购ec -冈 Dg时o 回8▣ ■5 回x w 图2 Rosetta计算边坡样本商集界面 Fig.2 Interface of the quotient set of slope samples by Rosetta calculation 理论与实践均证实F值越小边坡的稳定性越 依据上述规则采取合并F,及其对应商集W的办法 差，F值越大边坡的稳定性越高，而该集值信息系统 克服问题，即：F,=F。UF,对应W,=W。UW; 出现了如W2∩Z,≠⑦和W3∩Z1=②以及W1∩ F=F2UF3,WI=W2UW3:FM=FsUF,W= Z。=⑦和W2∩Z。≠⑦的情况，说明本文样本不足. WsUW:F F1oUFn UF12,W =WioUWn UW2:

北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 表 3 年龄对青年人的隶属度计算结果 Table 3 Membership computational result of the youth to age j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 年龄 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 文献［12］ 0 0. 02 0. 21 0. 4 0. 52 0. 96 0. 97 1 1 1 1 1 本文 0 0. 02 0. 21 0. 4 0. 52 0. 96 0. 97 1 1 1 1 1 j 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 年龄 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 文献［12］ 0. 99 0. 8 0. 78 0. 77 0. 62 0. 6 0. 21 0. 21 0. 21 0. 21 0. 21 0. 01 本文 0. 99 0. 8 0. 78 0. 77 0. 62 0. 6 0. 21 0. 21 0. 2 0. 2 0. 2 0. 01 坏状态 S0，但实践中会出现 F ＞ 1 边坡破坏而 F ＜ 1 边坡稳定的情况，表明通过 F 评判边坡的稳定性存 在模糊性［15］． 2. 1 初始目标信息系统和集值信息系统 将文献［16--18］中 129 个边坡工程样本分别编 号为 1 ～ 82、83 ～ 108、109 ～ 129，得初始目标信息系 统( U，C∪D，V，f) ． 其中: 论域 U，即边坡样本的集 合{ xi} ，i = 1 ～ 129; 条件属性 C = F，根据数据范围 ［0. 6，2. 09］按差值为 0. 1 离散为 15 个区间Fj ( j = 0 ～ 14) ，决策属性 D = S; 属性值域 V = { Fj ，S1，S0 } ( j = 0 ～ 14) ; 信息函数 f． 部分数据见表 4． 同上，用 Rosetta 软件求该目标信息系统的属性 商集，见图 2． 可得 U/F = { Wj} ( j = 0 ～ 14) ，U/S = { Z1，Z0 } ，其中 Wj为 Fj对应的商集，如 F0 对应 W0 = { x34，x41 } ，Z1 为 S1 对应的商集，Z0 为 S0 对应的商 集． 由此可得一个集值信息系统( U0，C0，V0，f0 ) ，部 分数据见表 5． 论域 U0 : { Fj} ，j = 0 ～ 14; 属性 C0 : { S1，S0 } ; 属性值域 V0 : { Wj∩Z1，Wj∩Z0 } ( j = 0 ～ 24) ; 信息函数 f0 ． 用原条件属性 F 的值 Fj作为内涵 属性 S1 的外延对象，求 Fj对 S1 的隶属度． 表 4 初始目标信息系统( 部分) Table 4 Initial target information system ( part) U F S x1 F2 S0 x82 F6 S0 x83 F4 S0 x108 F4 S0 x109 F3 S0 x128 F4 S1 x129 F4 S0 图 2 Rosetta 计算边坡样本商集界面 Fig． 2 Interface of the quotient set of slope samples by Rosetta calculation 理论与实践均证实 F 值越小边坡的稳定性越 差，F 值越大边坡的稳定性越高，而该集值信息系统 出现了如 W2 ∩Z1 ≠&和 W3 ∩Z1 = &以及 W11 ∩ Z0 = &和 W12∩Z0≠&的情况，说明本文样本不足． 依据上述规则采取合并 Fj及其对应商集 Wj的办法 克服问题，即: FⅠ = F0 ∪F1，对应 WⅠ = W0 ∪W1 ; FⅡ = F2 ∪F3，WⅡ = W2 ∪W3 ; FⅦ = F8 ∪F9，WⅦ = W8∪W9 ; FⅧ = F10∪F11∪F12，WⅧ = W10∪W11∪W12 ; ·962·

第8期 方宏伟等：基于粗糙商集的模糊隶属度集值统计算法 ·963· Fx=F3UF4,Wx=WaUW4,其余各值不变，但 V、M,可统一标识为F和Wm,其中m=I~X. F,、F、F6、F,及其对应商集编号依次变为Ⅲ、N、 表5边坡样本集值信息系统 Table 5 Set-valued information system of slope sample 0 So Fo 0 {x4x41} F e {x40x68,10x1} F {x} {x1x9-69x120} F3 e {38,x2,x10的，x116,122,x124,x125,x126} FA {x36xw114x15,x19x12x1s} {6,g22901x62x6xg828,x0410m1mx1四} Fs {x85x112x17x1is} {x3.21,x28x2x35x63X50x3X84,xg7,xg1,xg7,x101} Fo {x48x9x52x5gx34x5x38061x100x1} {15,无1617x18,x190x7x36x1x5x0x82x96x05] F7 {x10,x4,51x59,x74x8x90x99,12} {x5,x103】 Fs {x4x2x13x7,x56x57x6x07,x9x10m,x13} (re} f {r6x1} (xa} Fw {xg,x14,x106} 0 Fu {x11x5,6x94} 0 F2 {x23,x94} {x} Fu (x269 0 Fv {x24,x45,x64} 0 2.2计算隶属度 1Z,nWmI/1WmI+|Z。∩Wm|/八WmI=1(ZUZ。)∩ 该集值信息系统求解隶属度包含模糊统计的四 W1/八1WI=1,两者相等.以上各式中11表示集合 个要素：(1)论域U。={F},m=I~X;(2)U。中 的基. 一个固定元素Fm:(3)U。上一个模糊概念S1,对S Fm对S1的隶属度为u(Fm)=P(AIAm),此 的不确定性统计，形成U。上一个可变的集合W∩ 集值信息系统构成的条件概率空间中的条件概率满 Z,其中的每个元素都是S,外延的一次近似表示， 足连续条件概率的要求 反应了外延对象F对内涵属性S,的从属：(4)制 证明： 约W∩Z,中元素变化的条件为影响边坡稳定性的 (1)Z1∩W,=0,即A∩AF1=☑，则P(AI 各类因素 AF1）=0: 该集值信息系统对应一个条件概率空间(2，T, (2)Wx≤Z1,P(As I AFK）=1 Z:n Wx I/ P(A4IAm)）(k=1,0).其中：样本空间2=U(初 IWx I =1. 始目标信息系统的论域)：事件域T=E(U),为U 2.3结果验证 的幂集，可知T为一个σ域：P(AlA)为条件 文献ū5]用一般统计方法，文献9]用函数选 概率，A4=Z.和Am=Wn为T中的事件. 择方法对文献6]中的样本数据作研究，得到了隶 证明： 属函数.为了便于与本文的隶属度计算结果相对 (1)非负性，P(AIAm）=P(A∩Am)/ 比，对其取区间值，见表6.由样本可知：当F=Fv P(Aem）=|Z.nWnI/八WnI≥0； 时，仍有40%的边坡样本稳定，因此文献5]的计 (2)正规性，P(2IAm)=P(2nAm)/P(Aa)= 算结果偏小；当F为Fm、Fm和F时，本文计算结果 1 unw I./八Wm1=1: 与文献9]相比偏大，当F,时仍有边坡样本破坏， (3)σ可加性，A∩A∞=Z∩Z1=0,且Z1U 故从样本的角度来说本文的计算结果更符合实际： Z乙=U,则P(AxlA)=P(nA)/P(Ar)= 当F为Fw、Fv和Fu时，本文计算结果在文献9] 的区间值内.因此，总体上来说本文算法的结果是 1,而P(AsIAr)=P(AlA.)+P(AA）= 可靠的

第 8 期 方宏伟等: 基于粗糙商集的模糊隶属度集值统计算法 FⅨ = F13 ∪F14，WⅨ = W13 ∪W14，其余各值不变，但 F4、F5、F6、F7 及其对应商集编号依次变为Ⅲ、Ⅳ、 Ⅴ、Ⅵ，可统一标识为 Fm和 Wm，其中 m = Ⅰ ～ Ⅸ． 表 5 边坡样本集值信息系统 Table 5 Set-valued information system of slope sample U S1 S0 F0 & { x34，x41 } F1 & { x40，x63，x110，x121 } F2 { x67 } { x1，x39. x69. x120 } F3 & { x38，x72，x109，x116，x122，x124，x125，x126 } F4 { x86，x89，x114，x115，x119，x123，x128 } { x2，x6，x9，x22，x29，x30，x31，x33，x62，x66，x83，x88，x92，x98，x104，x107，x108，x129 } F5 { x85，x112，x117，x118 } { x3，x21，x28，x32，x35，x46，x50，x73，x84，x87，x91，x97，x101 } F6 { x48，x49，x52，x53，x54，x55，x58，x60，x61，x100，x111 } { x7，x15，x16，x17，x18，x19，x20，x27，x36，x71，x75，x80，x82，x96，x105 } F7 { x10，x44，x51，x59，x74，x78，x90，x99，x127 } { x5，x103 } F8 { x4，x12，x13，x47，x56，x57，x68，x70，x77，x79，x102，x113 } { x42 } F9 { x76，x81 } { x43 } F10 { x8，x14，x106 } & F11 { x11，x25，x65，x94 } & F12 { x23，x94 } { x37 } F13 { x26，x95 } & F14 { x24，x45，x64 } & 2. 2 计算隶属度 该集值信息系统求解隶属度包含模糊统计的四 个要素: ( 1) 论域 U0 = { Fm } ，m = Ⅰ ～ Ⅸ; ( 2) U0 中 一个固定元素 Fm ; ( 3) U0 上一个模糊概念 S1，对 S1 的不确定性统计，形成 U0 上一个可变的集合 Wm∩ Z1，其中的每个元素都是 S1 外延的一次近似表示， 反应了外延对象 Fm对内涵属性 S1 的从属; ( 4) 制 约 Wm∩Z1 中元素变化的条件为影响边坡稳定性的 各类因素． 该集值信息系统对应一个条件概率空间( Ω，Γ， P( ASk | AFm ) ) ( k = 1，0) ． 其中: 样本空间 Ω = U ( 初 始目标信息系统的论域) ; 事件域 Γ = Ε( U) ，为 U 的幂集，可知 Γ 为一个 σ 域［14］; P( ASk | AFm ) 为条件 概率，ASk = Zk和 AFm = Wm为 Γ 中的事件． 证明: ( 1) 非 负 性，P ( ASk | AFm ) = P ( ASk ∩ AFm ) / P( AFm ) = | Zk∩Wm | / | Wm |≥0; ( 2) 正规性，P( Ω| AFm ) = P( Ω∩AFm ) /P( AFm ) = |U∩Wm | / | Wm | = 1; ( 3) σ 可加性，AS1∩AS0 = Z0∩Z1 = &，且 Z1∪ Z0 = U，则 P ( ∪ 1 k = 0 ASk | AFm ) = P( Ω∩AFm ) /P( AFm ) = 1，而 ∑ 1 k = 0 P( ASk | AFm ) = P( AS1 | AFm ) + P( AS0 | AFm ) = | Z1∩Wm | / | Wm | + | Z0∩Wm | / | Wm | = | ( Z1∪Z0 ) ∩ Wm | / | Wm | = 1，两者相等． 以上各式中|·| 表示集合 的基． Fm对 S1 的隶属度为 μS1 ( Fm ) = P( ASk | AFm ) ，此 集值信息系统构成的条件概率空间中的条件概率满 足连续条件概率的要求． 证明: ( 1) Z1∩WⅠ = &，即 AS1∩AFⅠ = &，则 P( AS1 | AFⅠ) = 0; ( 2) WⅨ  Z1，P ( AS1 | AFⅨ ) = | Z1 ∩ WⅨ | / | WⅨ | = 1． 2. 3 结果验证 文献［15］用一般统计方法，文献［19］用函数选 择方法对文献［16］中的样本数据作研究，得到了隶 属函数． 为了便于与本文的隶属度计算结果相对 比，对其取区间值，见表 6． 由样本可知: 当 F = FⅤ 时，仍有 40% 的边坡样本稳定，因此文献［15］的计 算结果偏小; 当 F 为 FⅡ、FⅢ和 FⅥ时，本文计算结果 与文献［19］相比偏大，当 FⅧ 时仍有边坡样本破坏， 故从样本的角度来说本文的计算结果更符合实际; 当 F 为 FⅣ、FⅤ和 FⅦ时，本文计算结果在文献［19］ 的区间值内． 因此，总体上来说本文算法的结果是 可靠的． ·963·

·964· 北京科技大学学报 第34卷 表6安全系数对边坡稳定性隶属度及其对比 Table 6 Comparison of the membership of safety coefficient to slope stability m I N V W 用 0.6-0.790.8-0.991-1.09 1.11.191.2-1.291.3-1.391.4-1.591.6-1.89.1.9-2.09 us (F) 0 0.077 0.28 0.235 0.423 0.818 0.875 0.9 F网 0-0.880.88-0.991-1.091.11.191.21.291.3-1.391.4-1.59 >1.6 ug 0 0-0.0570.067-0.1960.213-0.3920.413-0.6080.629-0.8040.821~1 F▣ 0-1.21.2-1.291.3-1.391.4-1.591.6-1.63 >1.63 ulig 0 0-0.2090.2340.4420.465-0.9070.93-1 1 Dubois等0介绍了用条件概率求得的隶属度 129,可验证P（Arm I A）·P（A）/P（Am）= 与贝叶斯公理的关联公式，可用来验证本文算法的 u1(Fm),如m=V时可得(11/60)×(60/129)/ 计算结果.按本文理论可得：先验概率P(A)= IWmI/八U1,后验概率P（AmIA）=IZ:∩WmI/ (26129)=0.423=(F),且P(4）= 1Z1,得表7.由己知可得P(A)=1ZI/八U1=60/ (Fm）P(Am）=60/129. 表7事件Apm和条件事件AmIA1的概率 Table 7 Probability of event Agm and conditional event AlAs m 《 p V T 年 P(AFm） 6/129 13/129 25/129 17/129 26/129 11/129 16/129 10/129 5/129 P(Ap IAs) 0/60 1/60 7/60 4/60 11/60 9160 14/60 9/60 5/60 显然，用本文的方法也可求得u知(F).在工 二类是外延对象为某一属性的值，而内涵属性为另 程实践中，边坡工程除了本文样本中稳定与破坏两 一属性（用目标信息系统计算），如边坡工程中的安 个状态外，还可能划分为基本稳定和临界状态等. 全系数对稳定性的隶属度，安全系数和稳定性为两 用本文的算法也是可以计算相应的隶属度的，关键 个不同属性.用本文提出的新算法对上述两个实例 在于样本数量以及相应边坡状态的准确描述. 的两类隶属度进行了计算，前者与已有研究结果作 对比验证，后者与函数选择、经典统计方法及贝叶斯 3结论 公理作对比验证，可知其计算结果是可靠的，表明算 根据模糊概念“内涵明确，外延不明确”的特 法可行. 点，定义隶属度为不同外延对内涵的从属程度；在知 当然，同所有的统计方法一样，本文的方法对统 识发现理论的信息系统中，知识概念的外延用对象 计数据是敏感的，需要充足准确的样本才能得到符 表示，内涵用属性表示：己有研究结果表明隶属度可 合实际的隶属度结果 用条件概率空间中的条件概率计算.本文根据以上 三点，构建了用集值统计求解隶属度的新算法：对模 参考文献 糊事件的原始统计数据构成了信息系统，用粗糙集 理论对其求属性商集，将其转化为一个集值信息系 [Medasani S,Kim J,Krishnapuram R.An overview of membership 统。该集值信息系统包含模糊统计的四个要素，也 function generation techniques for patter recognition.Int Appro Reason,1998,19(3/4):391 满足组成一个条件概率空间的三个条件，在此条件 [] Gao Q S.Defects and overcoming of Zadeh's fuzzy set theory:C"- 概率空间中符合两个连续性条件的条件概率即为要 fuzzy set theory.J Univ Sci Technol Beijing,2005,27(5):513 求解的隶属度. (高庆狮.Zadch模糊集合理论的缺陷及其改进：C一模糊集 广义的信息系统分为两类：无决策属性的信息 合理论.北京科技大学学报，2005,27(5)：513) 系统和有决策属性的目标信息系统.按本文理论， Bl Medaglia A L,Fang S C,Nuttle H L W,et al.An efficient and flexible mechanism for constructing membership functions.Eur J 隶属度也可分为两类：第一类是外延对象为内涵属 0 per Res,2002,139(1):84 性本身的值（用信息系统计算），如不同的年龄数值 [4]Shen J,Cavade A,Chang S I,et al.Generation of fuzzy member- 对青年人的隶属度，年龄即为描述青年人的数值：第 ship function by expectation maximization and K-means algorithms

北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 表 6 安全系数对边坡稳定性隶属度及其对比 Table 6 Comparison of the membership of safety coefficient to slope stability m Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Fm 0. 6 ～ 0. 79 0. 8 ～ 0. 99 1 ～ 1. 09 1. 1 ～ 1. 19 1. 2 ～ 1. 29 1. 3 ～ 1. 39 1. 4 ～ 1. 59 1. 6 ～ 1. 89 1. 9 ～ 2. 09 μS1 ( Fm ) 0 0. 077 0. 28 0. 235 0. 423 0. 818 0. 875 0. 9 1 F［19］ 0 ～ 0. 88 0. 88 ～ 0. 99 1 ～ 1. 09 1. 1 ～ 1. 19 1. 2 ～ 1. 29 1. 3 ～ 1. 39 1. 4 ～ 1. 59 ＞ 1. 6 — μ ［19］ 0 0 ～ 0. 057 0. 067 ～ 0. 196 0. 213 ～ 0. 392 0. 413 ～ 0. 608 0. 629 ～ 0. 804 0. 821 ～ 1 1 — F［15］ 0 ～ 1. 2 1. 2 ～ 1. 29 1. 3 ～ 1. 39 1. 4 ～ 1. 59 1. 6 ～ 1. 63 ＞ 1. 63 — — — μ ［15］ 0 0 ～ 0. 209 0. 234 ～ 0. 442 0. 465 ～ 0. 907 0. 93 ～ 1 1 — — — Dubois 等［20］介绍了用条件概率求得的隶属度 与贝叶斯公理的关联公式，可用来验证本文算法的 计算结果． 按本文理论可得: 先验概率 P( AFm ) = | Wm | / |U|，后验 概 率 P ( AFm | AS1 ) = | Z1 ∩ Wm | / | Z1 |，得表 7． 由已知可得 P( AS1 ) = | Z1 | / |U| = 60 / 129，可 验 证 P ( AFm | AS1 ) ·P ( AS1 ) /P ( AFm ) = μS1 ( Fm ) ，如 m = V 时 可 得 ( 11 /60 ) × ( 60 /129 ) / ( 26 /129) = 0. 423 = μS1 ( FⅤ ) ，且 P( AS1 ) = ∑ Ⅸ m = Ⅰ μS1 ( Fm ) P( AFm ) = 60 /129． 表 7 事件 AFm和条件事件 AFm | AS1的概率 Table 7 Probability of event AFm and conditional event AFm | AS1 m Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ P( AFm ) 6 /129 13 /129 25 /129 17 /129 26 /129 11 /129 16 /129 10 /129 5 /129 P( AFm | AS1 ) 0 /60 1 /60 7 /60 4 /60 11 /60 9 /60 14 /60 9 /60 5 /60 显然，用本文的方法也可求得 μS0 ( Fm ) ． 在工 程实践中，边坡工程除了本文样本中稳定与破坏两 个状态外，还可能划分为基本稳定和临界状态等． 用本文的算法也是可以计算相应的隶属度的，关键 在于样本数量以及相应边坡状态的准确描述． 3 结论 根据模糊概念“内涵明确，外延不明确”的特 点，定义隶属度为不同外延对内涵的从属程度; 在知 识发现理论的信息系统中，知识概念的外延用对象 表示，内涵用属性表示; 已有研究结果表明隶属度可 用条件概率空间中的条件概率计算． 本文根据以上 三点，构建了用集值统计求解隶属度的新算法: 对模 糊事件的原始统计数据构成了信息系统，用粗糙集 理论对其求属性商集，将其转化为一个集值信息系 统． 该集值信息系统包含模糊统计的四个要素，也 满足组成一个条件概率空间的三个条件，在此条件 概率空间中符合两个连续性条件的条件概率即为要 求解的隶属度． 广义的信息系统分为两类: 无决策属性的信息 系统和有决策属性的目标信息系统． 按本文理论， 隶属度也可分为两类: 第一类是外延对象为内涵属 性本身的值( 用信息系统计算) ，如不同的年龄数值 对青年人的隶属度，年龄即为描述青年人的数值; 第 二类是外延对象为某一属性的值，而内涵属性为另 一属性( 用目标信息系统计算) ，如边坡工程中的安 全系数对稳定性的隶属度，安全系数和稳定性为两 个不同属性． 用本文提出的新算法对上述两个实例 的两类隶属度进行了计算，前者与已有研究结果作 对比验证，后者与函数选择、经典统计方法及贝叶斯 公理作对比验证，可知其计算结果是可靠的，表明算 法可行． 当然，同所有的统计方法一样，本文的方法对统 计数据是敏感的，需要充足准确的样本才能得到符 合实际的隶属度结果． 参 考 文 献 ［1］ Medasani S，Kim J，Krishnapuram R． An overview of membership function generation techniques for pattern recognition． Int J Approx Reason，1998，19( 3 /4) : 391 ［2］ Gao Q S． Defects and overcoming of Zadeh's fuzzy set theory: C* - fuzzy set theory． J Univ Sci Technol Beijing，2005，27( 5) : 513 ( 高庆狮． Zadeh 模糊集合理论的缺陷及其改进: C* --模糊集 合理论． 北京科技大学学报，2005，27( 5) : 513) ［3］ Medaglia A L，Fang S C，Nuttle H L W，et al． An efficient and flexible mechanism for constructing membership functions． Eur J Oper Res，2002，139( 1) : 84 ［4］ Shen J，Cavade A，Chang S I，et al． Generation of fuzzy member￾ship function by expectation maximization and K-means algorithms． ·964·

第8期 方宏伟等：基于粗糙商集的模糊隶属度集值统计算法 ·965· Far East J Math Sci,2007,25(1)1 [14]Li X P.Probability Theory Foundation.3rd Ed.Beijing:Higher [Taheri S M.Trends in fuzzy statistics.Aust J Stat,2003,32(3): Education Press,2010 239 (李贤平.概率论基础.3版.北京：高等教有出版社，2010) 6]Wang PZ.Fuzy Sets and Projectable Random Sets.Beijing:Bei- [15]Xu WY,Jiang Z M,Shi A C.Slope stability analysis using fuzz- jing Normal University Press,1985 y sets theory.Chin J Geotech Eng,2003,25(4)409 (汪培庄.模糊集与随机集落影.北京：北京师范大学出版 (徐卫亚，蒋中明，石安池.基于模糊集理论的边坡稳定性 社，1985) 分析.岩土工程学报，2003,25(4)：409) ]Tamaki F,Kanagawa A,Ohta H.Identification of membership 16]Feng X T.Intelligent Rock Mechanics Introduction.Beijing:Sci- functions based on fuzzy observation data.Fuzzy Sets Syst,1998, ence Press,2000 93(3):311 (冯夏庭.智能岩石力学导论.北京：科学出版社，2000) Coletti C.Scozzafava R.Conditional probability,fuzzy sets,and [17]Wang H B,Xu R C.Application of BP artificial neural networks possibility:a unifying view.Fuzsy Sets Syst,2004,144(1):227 on stability evaluation of Yu dong he landslide.I Yangtze Rirer Zhang WX,Liang Y,Wu WZ.Information System and Knowl- Sci Res Inst,2002,19(4):62 edge Discovery.Beijing:Science Press,2003 (汪华斌，徐瑞春.BP神经网络在鱼洞河滑坡稳定性评价中 (张文修，梁怡，吴伟志.信息系统与知识发现.北京：科学 的应用.长江科学院院报，2002,19(4)：62) 出版社，2003) [18]Chen L Q,Peng Z B,Chen W,et al.Artificial neural network [0]Chmn A.Discernibility and Rough Sets in Medicine:Tools and Ap- simulation on prediction of clay slope stability based on fuzzy con- plications [Dissertation].Trondheim:Norwegian University of troller.J Cent South Unir Sci Technol,2009,40 (5):1381 Science and Technology,1999 (陈乐求，彭振斌，陈伟，等.基于模糊控制的人工神经网络 [11]Guan Z M.Annotations about conditional probability.Yunnan 模拟在土质边坡安全预测中的应用.中南大学学报：自然科 Inst Technol,1989(1):77 学版，2009,40(5)：1381) (官子美.关于条件概率的几点注记.云南工学院学报， 19]Xu H.Fuzzy Reliability Analysis of Slope Stable Capacity Based 1989(1):77) on Fuzzy Sets [Dissertation].Hangzhou:Zhejiang University, [12]Bellakov G.Fuzzy Sets and membership functions based on prob- 2006 abilities.Inf Sci,1996,91(1/2):95 (徐辉.基于模糊集理论的边坡稳定模糊随机可靠度分析 [13]Zhang N L.The membership and probability characteristics of [学位论文].杭州：浙江大学，2006) random appearances ()Wuhan Inst Build Mater,1981,3 20]Dubois D,Prade H.Fuzzy sets and probability:misunderstand- (3):9 ings,bridges and gaps /Proceedings of the Second IEEE Confer- (张南纶.随机现象的从属特性及概率特性（Ⅲ）.武汉建材 ence on Fuzzy Systems.San Francisco,1993:1059 学院学报，1981,3(3)：9)

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