空间RSS'R机构运动分析的影响系数法

[D0I:10.13374/i.issm1001-053x.2002.04.017 第24卷第4期 北京科技大学学报 Vol.24 No.4 2002年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug.2002 空间RSS'R机构运动分析的影响系数法 邱丽芳于晓红韩建友夏正冈 北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要给出了空间RSSR机构速度和加速度分析的另一种方法一影响系数法，可以验证用 求导法所得结果的正确性.对空间机构或机器人机构的执行构件进行实时控制时选择影响系 数法，能提高在线控制速度. 关键词空间RSSR机构；影响系数法；位置分析：速度分析；加速度分析 分类号TH112 机构位置分析通常采用矢量法、矩阵法等， 系的选择如图1所示. 速度和加速度分析可采用对变量或矩阵直接对 时间求导的方法"，也可采用影响系数法不必求 导直接写出速度和加速度方程回.直接求导法对 不同的机构其表达式是不同的，其相对变量的 速度和加速度方程不能直接写出较为规范的形 20 式.而影响系数法的速度和加速度方程一般都 很规范，可以直接构造出来.但由于影响系数法 较为抽象，对于具体机构构造方程方法并不相 图1RSSR机构 同（如开链机构、闭链机构、多环空间机构）.本 Fig.1 RSS'R linkage 文给出含有S'运动副的闭环机构的影响系数构 根据图1所示坐标系，写出BC2点的坐标： 造方法、该方法可验证用求导法所得结果的正 01 [ki] h cos0 确性，设计者也可以通过分析比较哪种方法更 0+[C]0 =hisine (1) 方便有效地进行选择.对空间机构或机器人机 So 0 So 构的执行构件进行实时控制时选择合适的计算 这里， 分析方案，以提高在线控制速度 cos0 -sine,0] [Col]=sine cose0. 1坐标系的选择与机构的位置分析 0 0 1 位置分析采用文献[1]提供的方法，坐标系 Tho hs [ho+h3cos0o -hcosasosin0o+S3sina30 的选择有所不同（如图1所示）.在确定构件2的 =0+[C,]0 0 -h3sina3osineo+scosa 运动时不是通过球铰B,而是通过球销副C来确 Zc g (2) 定的，因此概念上更为简单明了，公式表达也较 式中 为简单坐标系的选择方法如下：选择x,轴与 cos sineo 0 1 BC线重合，指销中心线与z,轴重合，其开槽平面 [Cg]= -sineocosaso cos0ocosa3o sinas0 (3) 法线同时垂直于x轴和z轴.构件2相对构件3 sineosina3o -cos0 sindo cos3」 有两个转动，一个是绕开槽平面法线的转角P, 根据机构运动时连杆长度不变的条件可 这里取平行于z轴的z轴作为变量p的起始线； 得： 另一个是绕z轴的转角日.其他结构参数和坐标 (Xc-x8)+(yc-ya)+(zc-z8)=hi (4) 收稿日期2000-02-12 邱丽芳女，36岁，副教授，硕士 经整理得输人输出方程：

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 】 小 叭， 空 间 ’ 机构运动分析的影响系数法 邱 丽 芳 于 晓红 韩建友 夏正 冈 北京科技大学 机械工程学院 ， 北京 摘 要 给出 了空 间 ， 机构速度和 加速度分析的另一种方法— 影 响系数法 ， 可 以验证用 求导法所得结果 的正确性 对空 间机构或机器人机构 的执行构件进行实时控制 时选择影 响系 数法 ， 能提高在线控制速度 关键词 空 间 ’ 机构 影响系数法 位置分析 速度分析 加速度分析 分类号 系 的选择如 图 所示 图 ， 机构 · ， 根据 图 所示 坐标系 ， 写 出 点 的坐标 卜 · ， 一 …” 一 ” 」“ 一 ” ’ ‘ 口 」 。 这里 ， 叫泪 ‘ 、走， 田川月川划 ‘ 曰︵ 比 ， 心︸ 月、︸ 六 九 机构位置分析通 常采用矢量法 、 矩 阵法等 ， 速度和加速度分析可采用对变量或矩 阵直接对 时间求导 的方法 ， 也可 采用影 响系数法不 必求 导直接写 出速度 和加速度方程 直接求导法对 不 同的机构其表达式是不 同的 ， 其相对变量 的 速度和加速度 方程不能直接写 出较为规范 的形 式 而影 响系数法 的速度 和 加 速度方程 一般都 很规范 ， 可 以直接构造 出来 但 由于影 响系数法 较为抽象 ， 对于具体机构构造方程方法并不相 同 如开链机构 、 闭链机构 、 多环 空 间机构 本 文给 出含有 ‘运 动副 的 闭环机构 的影 响系数构 造方法 该方法 可验证用求导 法所得结果 的正 确 性 ， 设计者也可 以 通 过 分析 比较哪 种 方法更 方便有效地进行选择 对空 间机构或 机器人机 构的执行构件进行实时控制时选择合适 的计算 分析方案 ， 以 提高在线 控制速度 一拐 岛 。 〕 伪 。 一 。 凡凡 坐标系的选择与机构 的位置分析 位置分析采用 文献 【 提供 的方法 ， 坐标 系 的选择有所 不 同 如图 所 示 在确定构 件 的 运动时不 是通 过球铰 ， 而 是通过球销 副 来确 定的 ， 因此概念上更为简单明了 ， 公式表达也较 为简单 ‘ 坐标 系的选择方法 如下 选择 轴与 线重合 ， 指销 中心 线与几轴重合 ， 其开槽平面 法线 同时垂直 于与轴和局 轴 构 件 相对构件 有两 个转动 ， 一 个是绕 开槽平面 法 线 的转 角毋 ， 这里取平行 于局 轴 的’ 轴作为 变 量势的起始线 另一个是绕几 轴 的转角 其他 结构参数和 坐 标 收稿 日期 刁 一 邱丽芳 女 ， 岁 ， 副教授 ， 硕士 〔 一 凡 一 … 匡 一 … 。 一 式 中 ， 」 一 。 ，。 ，。 。 一 氏 伪 。 。 根 据 机 构 运 动 时 连 杆 长 度 不 变 的 条件可 得 一 为 饥一夕口 汗 一几 二 麟 经整 理得输入输 出方程 DOI ：10．13374／j ．issn1001—053x．2002．04．017

·450· 北京科技大学学报 2002年第4期 Asine0+Bcos0+C=0 (5) Chih2s,sucosaxe 2h hy 式中，A=cosaxsin8,-Sosina/h,B=h,/h1-cos8, hocose+ssinazosine 为了确定构件2相对构件3的2个转角p和日，首先写出方向余弦矩阵[C]: coso 0 sing][cose -sine 0] cospcose -cosesine sing [C]= 010 sine cose 0= sine cose 0 (6) sino 0 coso 0 01 -singcose singsine coso 再写出另一个方向余弦矩阵[C],其元素在计算方向余弦时要用到. cose cose-sine sinecosao cose,sine+sine cosecosaso sineisina3o [C]=[Co][Cg]= -sine,cos0o-cose:sin0ocosa3o -sine sine+cos0,coseocosa30 coseisinaxo T sine sina3o -coseosina30 COSaso 这里 机构，把B点的球面副假想由3个单自由度转动 cose,sine 0] 副组成，其转动轴线的单位向量分别为S1,Sm和 [Co]= -sine,coso,0 S,轴销副C由2个转动副组成，其转动轴线的 0 0 1/ 单位向量分别为S和Sa,就得到了由一阶影响 将机构的向量封闭形AD'DCBAA"'分别向z 系数矩阵表达的速度方程： 轴和y轴投影，得： S1… S7 S;cos(z3,z)+hzcos(x2,2)-hcos(x23)- Sx(P-R)…S×(P-R,)6 ()1=0 (15) SoC0s(z0,z')=0, 式中，S,=z,S2=S,S,=Sm,S=Sm,S=Sc, hocos(xoV:)+hacos(x2y3)-hcos(xiy3)- S6=S2S,=,P为A点的位置向量，Rn(n=1,,7) Socos(zoV3)=0. 为各坐标系原点的坐标.因为B点的速度和加速 即 度已知，且构件2的运动可以通过C点的运动求 hacos(x3,z)=-S3+hicos(xL,z3)+Socos(zo,z) (8) 出，所以可把该机构从B点拆开变成开式链以简 hacos(x2V)=hicos(xIV3)+so(zoy3)-hocos(xoy3)(9) 化方程(15)，有 由式(3)，(6)和(7)，有 V=[G]() (16) cos(x,z)=sineisina30,cos(zo,z)=cosa0, 式中，p=(a,p,T,[G]=[S,x(P。-R)S2×(Pa-Rc) cos(x2,z3)=-singcos0,cos(x2,y3)=sine, Sa×(P。-R]为一阶影响系数矩阵.矩阵中各向 cos(x1V)=cos0,cos0+sineicosecosa0, 量为： cos(zo,y3)=cosesinaso,cos(xoV)=sineo [01 cose.sinp 把这些方向余弦代人式(8)和(9)，得： Sa=[C2]0= -sine cosasin+sina3ocoso hasingcos0=s3-hisine sina3o-Socosa3o (10) [1 sinesinassino+cosasocoso hasine=h(cose,sin0o+sinecos0ocosa30)- To] sine hosino-Socoseosinas (11) S2=[Cg]1= cos0ocosa30 D=s,-hisine sinao-socosax, [o] -coseosina3o. E=h (coseisine+sine,cos0ocosa3o)- 因 0 hosin0.-socoseosina. S,=[Co]0=sinaso,Pa=[h:cos0,hsine,so], 则有 1 cosaso hsinocos=D (12) 0 -hisin00 [ho hasine=E (13) Va=[Co1]h10=hicos00 Rp=S3sind30 由式(13)得 Lo 0 0=arcsin(E/h2) (14) [ho+h3cos0 将式(14)代入式(12)，即可求得p. Rc= -hcosasoSin0o+s sina3o hsinasosineo+S3cosa30 2速度分析 把以上各量代入式(16)就得到： 根据文献[2]介绍的方法，对此单闭环空间 中=[G](') (17)

一 北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 式 中 ， 、 一 夕 ， 了 一 ， 材一 圣 十方孟斌 卜 山 。 ， 、 凡 为 了确定构件 相对构件 的 个转角 和 ， 首先写 出方 向余弦矩 阵【改啊 切 侧护」 势 中 一 叩 价 一 一 一 职 沪 势 再写 出另 一个方 向余弦矩 阵【口 ，其元素在计算方 向余弦 时要 用 到 〔 ，，卜 【 。」【 ，卜 一 ， 。 一 ， 一 ， 。 。 ， ，。 一 。 一 。 。 ， 。 这里 。 ， 一 机构 ， 把及点的球面副假想 由 个单 自由度转动 副组成 ， 其转动轴线的单位向量分别为凡 ，品和 战 ， 轴销 副 由 个转动 副组 成 ， 其转动轴线 的 单位 向量分别为 和 ， 就得到 了 由一 阶影 响 系数矩 阵表达 的速度方程 ， 将机构 的 向量 封闭形 ， 习 月汾别 向’ 轴和” 轴投影 ， 得 声飞 声飞一 声，一 声， ， 少 以 少 一 以 少 一 。 少 即 声 、 一 声飞 声飞 少 ， ， 少 。低扔 一 。扔 由式 ， 和 ， 有 声飞 ， 低声 飞 ， 声飞 一 沪 ， 加 二 氏 扔 ，。 ， 少 。 。 ， 。少 把这 些 方 向余弦代人式 和 ， 得 ，一 。 一 ，。 ， 一 一 。 设 一 ， 。 一 ， 。 一 一 。 则有 沪 二 由式 得 伪 将式 代入 式 ， 即可 求得 件 一 ， 昌 昌 一 仲 义 式 中 ，凡 ， 及 ， 凡 二 战 ， 况 品 ， 况 况 凡 ，瑟 几 ， 为 点 的位置 向量火 。 ， 为各坐标系原点的坐标 因为 点 的速度和加速 度 已知 ， 且构件 的运动可 以通过 点的运动求 出 ， 所 以可把该机构从 点拆开变成开式链 以简 化方程 ， 有 二 」仲 式 中 ， 功一 低 ，色扔 ， 〔俨卜 ， 一 刃凡 、 一 ‘ 一 为一 阶影 响系数矩 阵 矩 阵中各 向 量为 ， 〔 又 「 」 价 一 仍 价 势 势 。 一 。 瑟 【蛛 仪 ， · 【人 一 “ ，一“ ‘ 州日日卜，月卫， 侧川比阳困网日而网网曰川叫 风 一 黔 仪 速度分析 根据 文献「 介绍 的方法 ， 对此单闭环 空 间 」 ， 一…漱 把 以上 各量代人式 就得 到 少 〕 一 ’ 心

VoL24 No.4 邱丽芳等：空间RSSR机构运动分析的影响系数法 451· 当Φ确定后就可求出构件2的角速度在固 构件2在固定坐标系中的投影： 定坐标系中的投影(w0)o为： (eoo=(S,xSc00+S,xSc,升Sa×ScpH (@2)o=ScI0+Sc20+S-0o (18) [G](0.,0,0) (21) 由于各向量在计算矩阵[G]时都已求出，因 式中，[G]=[S,Sa Sal. 此确定角速度在固定坐标系中的投影就非常简 数值示例计算结果表明，用该方法计算所 单 得结果与求导方法所得结果完全相同. 3加速度分析 4结论 由文献[2]介绍的方法，可直接写出 本文采用影响系数法对RSSR机构的速度 Ag=中[H]b+[G]市 (19) 和加速度进行了分析，可以看出，影响系数法具 =[G]-'(A。-中[H]) (20) 有表达形式规范紧凑的优点，因此便于上机计 式中， 算.另外因不需要求导计算，也可避免求导产生 0 的误差.当然这只是对运动分析而言，影响系数 An=A3+A3=[CoI h81 矩阵的奇异性还可判断机构的奇异位形等，这 0 0 对任何机构都是适用的.而对开链多自由度机 -h:cos0 0-hisin0,0 械手而言，在进行速度控制时，要按照机械手末 hisin0 8+h cos0,0 端绝对运动的变化规律，来对各运动副中相对 0 运动变化规律进行计算，此时，采用影响系数法 Hnm=Sm×[Sn×(P-Rn)](m≤n≤； 能直接写出影响系数矩阵就显得大为方便.此 Hnn=S×[×(P-R)】(n≤ms). 外，求导和影响系数两种方法可对计算结果互 于是有： 为验证. TS×[S×(P-R)]S,×[Szx(Pa-Rc)] 参考文献 [H]=S,×[Sa×(P。-Rc]Sa×[Sa×(P。-Rc)] 1张启先.空间机构的分析与综合（上）M).北京：机械 S,×[Sax(Pa-Rc)]Sax[Sa×(Pa-Rc)] 工业出版杜，1984 2黄真.空间机构学M.北京：机械工业出版社，1991 S,×[Se×(Pg-Re)]1 3韩建友.关于空间机构的运动分析[U.东北重型机械 Sa×[Scx(Pa-Rc] 学院学报，1995,19(2)：108 Sc×[Sg×(Pg-Rc)] 4夏正冈.机构运动分析方法比较研究D]:[顾士学位 当，莎和0由式(20)求出后就可由下式求出 论文]北京：北京科技大学，2001 The Influence Coefficent Method of Kinematic Analysis for the Spacial RSS'R Linkage OIU Lifang,YU Xiaohong,HAN Jianyou,XIA Zhenggang Mechanical Engineering School,UST Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT A analysis methed to velocity and acceleration for the spacial RSS'R linkage is presented, which name it an influence coefficent method.The method can be used to justify the results obtained from dif- ferential method and it can also be used directly for the analysis.While the driven component of the spacial linkage or robot mechanism being controlled,its online controlling velocity can be improved with this method. KEY WORDS spacial linkage;influence coefficent method;position analysis;velocity analysis;accelera- tion analysis

匕 邱 丽芳等 空 间天 天机构运动分析 的影响系数法 当少确定后就可 求 出构件 的角速度在 固 定坐标系 中的投影 。 。 为 。 。 。 决 巾 瓦 由于各向量在计算矩阵【 〕时都已求出 ， 因 此确定角速度在 固定坐标系 中的投影就非常简 单 构件 在 固定坐标系 中的投影 。 二 ， 瓦必， ，瓦决品 冲扔 宁 氏 ，必 ，扔 式 中 ， 【宁」〔昌 品 品 数值示例计算结果表 明 ， 用该方法计算所 得结果与求导 方法所得结果完全相 同 加速度分析 由文献 介绍 的方法 ， 可 直接写 出 户【 刀」户 必 必 【夕」 一 ， 一少 尸〕价 式 中 ， “ 一 次 一 ‘ 一 ” 沙 ” 一 毓一 汐 ，所 ，汐 石凡 ” 瓦 一 」 ‘ 动 石凡 月 况 ‘ ‘ 一凡 ‘ 动 于是有 」瑟 品 一 品 【 一 〕 品 ， 一 〕 瑟 ， 一 〕 一 ， 一 当瓦 ， 必和沙由式 求出后就可 由下 式求 出 结论 本文采用影 响 系数法对 机构 的速度 和加速度进行 了分析 ， 可 以看 出 ， 影响系数法具 有表达形式规范 紧凑的优点 ， 因此便于上机计 算 另外 因不需要求导计算 ， 也可避免求导产生 的误差 当然这只是对运动分析而言 ， 影 响系数 矩阵的奇异性还 可判 断机构 的奇异位形等 ， 这 对任何机构都是适用 的 而对开链 多 自由度机 械手而言 ， 在进行速度控制时 ， 要按照机械手末 端绝对运动 的变化规律 ， 来对各运动副 中相对 运动变化规律进行计算 ， 此时 ， 采用影 响系数法 能直接写 出影 响系数矩 阵就显得大为方便 此 外 ， 求导 和 影 响系数两种方法可对计算结果互 为验证 参考文献 张启先 空 间机构 的分析与综合 上 』北京 机械 工业 出版社 ， 黄真 空 间机构学 北京 机械工业 出版社 ， 韩建友 关于空 间机构 的运动分析闭 东北重型机械 学院学报 ， ， 夏正 冈 机构运动分析方法 比较研究 硕士学位 论文 北京 北京科技大学 ， ， 如 ， 口， 月叼 ， 石叼 及笋 ” ， ， ， ， 罗 ， 耐 ， 改