再现连杆角位移机构的稳健优化设计

D01:10.133741.isml00103x.2007.10.001 第29卷第10期 北京科技大学学报 Vol.29 No.10 2007年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0et.2007 再现连杆角位移机构的稳健优化设计 谭晓兰D韩建友2》何广平) 1)北方工业大学机电工程学院北京1000412)北京科技大学机械工程学院北京100083 摘要以连杆角位移再现平面四杆机构为例，讨论了其设计变量、噪声因素以及质量特性和目标函数的确立过程建立了 基于容差模型的角位移再现机构的稳健优化设计数学模型：给出设计结果，并与原方案进行了比较.结果表明，该方法在保证 机构运动质量稳健性的同时，可以获得更大的设计变量容差从而提高机构的可制造性。降低成本. 关键词连杆角位移：平面机构：动力精度：机构综合：稳健设计：容差设计 分类号TH1121 连杆机构由于制造简单、运动形式多样等特点 它与坐标系选取的位置无关.因此，可令A点为坐 被广泛地应用于农业、纺织、轻工等各种机械行业 标系的原点，且机架与x轴重和，即B=0,如 中，因而对其运动精度和传动质量进行分析与设计 图1(b)所示. 具有重要意义？.再现连杆角位移的平面机构设 y (a) C 计问题，就是要求连杆按给定的角位移=f(1:) (=2,3,…,s)运动.通常可精确地再现连杆5个 以下的位置，即s≤5.如果要求再现的连杆位置数 大于5，一般可采用优化设计方法到.传统的优化 设计方法没有考虑实际机构中杆长的制造误差等各 种随机因素的影响，无法保证机构运动精度的稳健 性刀.因而，研究连杆角位移再现机构的稳健设 计9问题就十分必要.本文以再现连杆角位移的四 (b) 杆机构为例，讨论该机构的稳健优化设计问题. 1 再现连杆角位移的四杆机构 试设计再现连杆角位移的铰链四杆机构 由于安装限制，要求机架尺寸为14=100土 0.024mm,给定连杆角位移见表1. 表1要求实现的连杆角位移 Table I Generating angle displacement of the coupler 图1实现连杆角位移的四杆机构 Fig.I Four-bar mechanism of generating angle displacement of the 123456789 coupler 曲柄转角.01/C)04080120160200240280320 连杆转角4/()041639668780318 从图1(b)中可知，连杆实际角位移9：可以表 示为： 如图1(a)所示，四杆机构的位置AB)C1)D 9=(N-B)-(入一B1) (1) 决定于构件的长度11、12、13、14，铰链A的位置坐 其中， 标，机架AD的位置角B,以及起始构件AB的转角 1+片-13+-2l1l4cos(01十01i) 0,共8个参数，对于再现连杆角位移的机构来说， 入=ar0os 2l21+1-2l1l4cos(01+01) 收稿日期：2006-05-15修回日期：2006-07-25 (2) 基金项目：北京市自然科学基金资助项目(No.3062009):北京市教 l1sin(01+01i) 委科技发展资助项目(NaKM200610009002) (3) 作者简介：谭晓兰(1968一).女，副教授博士 B=arctan 1-lisin(10)

再现连杆角位移机构的稳健优化设计 谭晓兰1) 韩建友2) 何广平1) 1)北方工业大学机电工程学院, 北京 100041 2)北京科技大学机械工程学院, 北京 100083 摘 要 以连杆角位移再现平面四杆机构为例, 讨论了其设计变量、噪声因素以及质量特性和目标函数的确立过程, 建立了 基于容差模型的角位移再现机构的稳健优化设计数学模型;给出设计结果, 并与原方案进行了比较 .结果表明, 该方法在保证 机构运动质量稳健性的同时, 可以获得更大的设计变量容差, 从而提高机构的可制造性, 降低成本. 关键词 连杆角位移;平面机构;动力精度;机构综合 ;稳健设计;容差设计 分类号 TH 112.1 收稿日期:2006-05-15 修回日期:2006-07-25 基金项目:北京市自然科学基金资助项目(No .3062009);北京市教 委科技发展资助项目(No.KM200610009002) 作者简介:谭晓兰(1968— ), 女, 副教授, 博士 连杆机构由于制造简单、运动形式多样等特点 被广泛地应用于农业 、纺织、轻工等各种机械行业 中,因而对其运动精度和传动质量进行分析与设计 具有重要意义[ 1-2] .再现连杆角位移的平面机构设 计问题,就是要求连杆按给定的角位移 ψ1 i =f(θ1i) (i =2 , 3 , … , s)运动 .通常可精确地再现连杆 5 个 以下的位置 ,即 s ≤5 .如果要求再现的连杆位置数 大于 5 , 一般可采用优化设计方法[ 3] .传统的优化 设计方法没有考虑实际机构中杆长的制造误差等各 种随机因素的影响 ,无法保证机构运动精度的稳健 性[ 4-7] .因而, 研究连杆角位移再现机构的稳健设 计[ 8] 问题就十分必要.本文以再现连杆角位移的四 杆机构为例,讨论该机构的稳健优化设计问题 . 1 再现连杆角位移的四杆机构 试设计再现连杆角位移的铰链四杆机构 [ 3-4] . 由于安 装 限 制, 要求 机 架 尺 寸 为 l 4 =100 ± 0.024 mm ,给定连杆角位移见表 1 . 表 1 要求实现的连杆角位移 Table 1 Generating angle displacement of the coupler i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 曲柄转角, θ1i/(°) 0 40 80 120 160 200 240 280 320 连杆转角, ψ1i/(°) 0 4 16 39 66 87 80 31 8 如图 1(a)所示 , 四杆机构的位置 AB (1)C (1)D 决定于构件的长度 l 1 、l 2 、l 3 、l4 , 铰链 A 的位置坐 标,机架 AD 的位置角 β ,以及起始构件 AB 的转角 θ1 共 8 个参数 .对于再现连杆角位移的机构来说 , 它与坐标系选取的位置无关.因此 ,可令 A 点为坐 标系的原点 , 且机 架与 x 轴 重和, 即 β =0 , 如 图 1(b)所示. 图1 实现连杆角位移的四杆机构 Fig.1 Four-bar mechanism of generating angle displacement of the coupler 从图 1(b)中可知 , 连杆实际角位移 ψ′1 i可以表 示为: ψ′1 i =(λi -βi)-(λi -β 1) (1) 其中, λi =arccos l 2 1 +l 2 2 -l 2 3 +l 2 4 -2 l 1 l 4cos(θ1 +θ1 i) 2l 2 l 2 1 +l 2 4 -2l 1 l 4cos(θ1 +θ1i) (2) βi =arctan l 1sin(θ1 +θ1i) l 4 -l 1sin(θ1 +θ1 i) (3) 第 29 卷 第 10 期 2007 年 10 月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol.29 No.10 Oct.2007 DOI :10.13374/j .issn1001 -053x.2007.10.001

。1052· 北京科技大学学报 第29卷 入1=arccos +13-1+1-2l1l4cos01 (4) y(x,z)= 合(9，-中)2 (10) 2hJ77+1-211l40os01 lisin 01 式中，w为加权系数.这里，取=1. B1=arccot 7-hsin0 (5) 显然，该质量特性具有望小特性9，可取目标 而连杆理想角位移可以表示为： 函数为： 4=f(0i),i=23,,9 (6) L(y)=E(y(x,z))+BVary(x,z))(11) 式中，B为考虑质量特性的均值与方差的数量级而 于是，连杆在各点的运动误差可以表示为： 选取的加权系数.这里，取B=1. 0(01i)=9,-,= 2.3建立约束条件 (入-月)-（入1-β1）-f(01),=23.…,9(7) 按对四杆机构的一般要求，建立曲柄存在及最 上式中，入、3、入1、B1分别由式(2)~(5)计算，01i、 小传动角要求等约束条件g:(x,z)≤0(i=1,2,, 4:分别由表1给出. 5),这里不再详述.因质量特性目标值y0=0,于 是建立质量特性均值要求 2稳健数学模型 g6(x,z)=E(y(x,z))S0 (12) 21确定设计变量及噪声因素 其中，e为足够小的正数.这里，取e=104. 由上面的分析可知，该机构设计参数有11、12、 2.4数学模型的建立 l3、14和01.但由于机架尺寸14及其容差△14己由 综上所述，建立连杆角位移再现机构变容差稳 装配条件给定，故可控参数只有l1、12、13和1.设 健设计模型为： 各构件尺寸的制造允差采用对称分布形式，分别为 x=7,72,73,01,△l1,△l2,△13)'= 士△11、士△12和士△3,01只有名义值，没有制造误 (x1,x2,x7)' 差，则可取各杆长的名义值及制造允差为设计变量， min E(y(x,z))+BVarty(x,z)) 表示为： s.t.g(x,z)+△g(x,z)≤0，i=1,2,…,5 x=(71,72,73,01,△11，△l2,△l3)'= E(y (x,z))0 (xx2,x7) (8) x≤≤xU 由于连杆尺寸4和土△14已由题中给定，且 (13) 士△14由14确定，取它们为噪声因素.根据题意，本 式中，x、x"分别为设计变量的下限和上限. 例不再考虑其他噪声因素，而将这些噪声因素的影 3设计结果与分析 响计入构件尺寸的随机变化中.则： z=14 (9) 本文采用随机模拟法进行求解.编写相应的模 该噪声因素为尺寸参数，服从正态分布列.按 型和数据文件，并利用文献[5中的算法程序进行计 “36”原则取。=3=Q008,可表示为 算.各设计变量的初值、离散增量以及上下界的选 取见表2，设计所得方案见表3.根据设计结果，将 14-N(100.0.008). 本方案与文献3]和文献[4中的设计结果在各个点 2.2确定质量特性指标及目标函数 上的运动误差分别进行计算，结果列于表4中.从 根据前面的运动分析，可取连杆在各点再现的 比较中可以看出，在误差等级基本相同的情况下，本 实际角位移与理想角位移之差的平方和，作为连杆 文的设计方案具有更大的设计变量容差，因而在保 角位移再现机构稳健设计的质量特性指标.于是 证机构运动质量及其稳健性的同时，可以提高机构 有： 的可制造性，从而降低制造成本， 表2设计变量的初值，离散增量及上下界值 Table 2 Initial value discrete increment.lower and upper limits of design variables 设计变量 x(1)/mm x2(12)/mm x3(4)/mm r4(0/) x(△l1)/mmx6(△l2)/mmx(△l3)/mm 初值 50 77 110 120 Q021 0028 0.035 离散增量 Q010 Q010 0010 Q010 0005 0005 0005 上界 60 85 120 130 050 050 050 下界 40 65 100 110 001 001 0.01

λ1 =arccos l 2 1 +l 2 2 -l 2 3 +l 2 4 -2l 1 l 4cosθ1 2 l 2 l 2 1 +l 2 4 -2 l 1 l 4cosθ1 (4) β1 =arccot l 1sin θ1 l 4 -l1sinθ1 (5) 而连杆理想角位移可以表示为 : ψ1i =f(θ1i), i =2 , 3 , …, 9 (6) 于是 ,连杆在各点的运动误差可以表示为: δi(θ1 i)=ψ′1i -ψ1i = (λi -βi)-(λ1 -β1)-f(θ1i), i =2 , 3 , … , 9 (7) 上式中, λi 、βi 、λ1 、β1 分别由式(2)～ (5)计算 , θ1i 、 ψ1i分别由表 1 给出 . 2 稳健数学模型 2.1 确定设计变量及噪声因素 由上面的分析可知, 该机构设计参数有 l 1 、l 2 、 l 3 、l 4 和 θ1 .但由于机架尺寸 l 4 及其容差 Δl 4 已由 装配条件给定 ,故可控参数只有 l 1 、l 2 、l 3 和 θ1 .设 各构件尺寸的制造允差采用对称分布形式, 分别为 ±Δl 1 、±Δl 2 和 ±Δl3 , θ1 只有名义值, 没有制造误 差,则可取各杆长的名义值及制造允差为设计变量 , 表示为: x =(l - 1 , l - 2 , l - 3 , θ1 ,Δl 1 ,Δl 2 ,Δl 3)′= (x 1 , x 2 , … , x7)′ (8) 由于连杆尺寸 l4 和 ±Δl 4 已由题中给定, 且 ±Δl 4由 l 4 确定 ,取它们为噪声因素.根据题意, 本 例不再考虑其他噪声因素, 而将这些噪声因素的影 响计入构件尺寸的随机变化中 .则: z =l 4 (9) 该噪声因素为尺寸参数 , 服从正态分布 [ 9] .按 “ 3σ” 原 则, 取 σ = Δl 4 3 = 0.008 , 可 表 示 为 l 4 ～ N(100 , 0.008 2). 2.2 确定质量特性指标及目标函数 根据前面的运动分析, 可取连杆在各点再现的 实际角位移与理想角位移之差的平方和, 作为连杆 角位移再现机构稳健设计的质量特性指标 .于是 有: y(x , z)= ∑ 9 i =2 ωi(ψ′1 i -ψ1 i) 2 (10) 式中, ωi 为加权系数 .这里, 取 ωi =1 . 显然 ,该质量特性具有望小特性[ 5] , 可取目标 函数为 : L(y)=E{y(x , z)}+βVar{y(x , z)} (11) 式中, β 为考虑质量特性的均值与方差的数量级而 选取的加权系数.这里,取 β =1 . 2.3 建立约束条件 按对四杆机构的一般要求, 建立曲柄存在及最 小传动角要求等约束条件 gi(x , z)≤0(i =1 , 2 , …, 5) [ 5] , 这里不再详述 .因质量特性目标值 y 0 =0 ,于 是建立质量特性均值要求 g6(x , z)=E{y(x , z)}-ε≤0 (12) 其中, ε为足够小的正数.这里 ,取 ε=10 -4 . 2.4 数学模型的建立 综上所述 ,建立连杆角位移再现机构变容差稳 健设计模型为: x =(l - 1 , l - 2 , l - 3 , θ1 , Δl 1 , Δl 2 , Δl 3)′= (x 1 , x 2 , …, x 7)′ min E{y(x , z )}+βVar{y(x , z)} s .t .gi(x , z)+Δgi(x , z )≤0 , i =1 , 2 , … , 5 E{y(x , z)}-ε≤0 x -L ≤x ≤x -U (13) 式中, x -L 、x - U 分别为设计变量的下限和上限 . 3 设计结果与分析 本文采用随机模拟法进行求解.编写相应的模 型和数据文件,并利用文献[ 5] 中的算法程序进行计 算 .各设计变量的初值 、离散增量以及上下界的选 取见表 2 , 设计所得方案见表 3 .根据设计结果, 将 本方案与文献[ 3] 和文献[ 4] 中的设计结果在各个点 上的运动误差分别进行计算 ,结果列于表 4 中 .从 比较中可以看出, 在误差等级基本相同的情况下 ,本 文的设计方案具有更大的设计变量容差 , 因而在保 证机构运动质量及其稳健性的同时, 可以提高机构 的可制造性 ,从而降低制造成本 . 表 2 设计变量的初值、离散增量及上下界值 Table 2 Initial value, discrete increment , lower and upper limits of design variabl es 设计变量 x1(l 1)/ mm x2(l 2)/mm x 3(l3)/ mm x 4(θ1)/(°) x5(Δl 1)/ mm x6(Δl 2)/ mm x 7(Δl 3)/mm 初值 50 77 110 120 0.021 0.028 0.035 离散增量 0.010 0.010 0.010 0.010 0.005 0.005 0.005 上界 60 85 120 130 0.50 0.50 0.50 下界 40 65 100 110 0.01 0.01 0.01 · 1052 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 29 卷

第10期 谭晓兰等：再现连杆角位移机构的稳健优化设计 。1053。 表3设计结果 Table 3 Robust and original results 设计参数 x,(1)/mm x2(12)/mm x(h)/mm x4(0)/) x,(△l,/mm x6(△l2)/mm x,(△l3)/mm 原方案1习 5021 77.71 110.01 120.91 未考虑 未考虑 未考虑 原方案24 50193 77.651 109937 120927 0021 0028 0.035 本文方案 5004 77.32 109.85 121.05 0290 0225 0125 表4角位移再现机构各位置运动误差比较 用计算机模拟方法求得上述结果. Table 4 Kinematic error comparison of angle displacement generation mechanism in some positions 参考文献 点序 转角， 运动误差/（°） I]Lee M Y,Erdman A G,Faik S.A generalized performance sen- 号，10/) 原方案1到 原方案24 本文方案 sitivity synthesis methodology for four-bar mecharisms.Mech 40 -1.0070318 -1.0149745 -10518298 Mach Theory,1999,34:1127 【匀陈建军，陈勇，崔明涛，等.基于运动精度可靠性的平面四杆 3 80 05419677 0.5357069 05049916 机构优化设计.机械科学与技术，2002.21(6)：940 4 120 -00461501 -0.0436608 -00437693 [习贺贤贵，徐振华.机构最优化设计.北京：高等教有出版社 5 160 -08424239 -0.8318119 -00807763 198477 6 200 07095546 0.7229845 07432119 「4曾经梁.连杆角位移再现机构的模糊稳健优化设计方法.机 械科学与技术2003.22(6)：974 240 -02365751-0.2323048 -02650668 【习谭晓兰.机构稳健设计一般原理与方法的研究学位论文·北 280 01381076 0.1545377 02425818 京：北京科技大学，2004：19 320 -00381692-0.6271676-05681128 【日谭晓兰，韩建友，陈立周。考虑运动副间隙影响的函数发生机 构的稳健优化设计.北京科技大学学报。200426(4)：416 4结论 【刀谭晓兰。韩建友，陈立周。基于随机模型的轨迹发生机构的稳 健设计.燕山大学学报，2004,28(4)：395 (1)本文提出的再现连杆角位移机构的稳健优 【习陈立周.稳健设计.北京：机械工业出版社2000 化设计方法与数学模型具有普遍意义，示例求解方 【身陈立周，何晓峰，翁海珊等.工程随机变量优化设计方法一 原理与应用.北京：科学出版社，1997 法可以适用于各种平面连杆机构的设计. (2)由于运动误差均为微量级，所以本文均采 Robust optimization design of angle displacement generation mechanism TAN Xiaolan.HAN Jianyou2,HE Guangping 1)Electromecharical Ergineering School North China University of Technology.Beijing 100041.China 2)Mechanical Engineering School University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083 China ABSTRACT As an angle displacement generation mechanism for example the process of choosing design vari- ables,noise factors and quality targets was given.A mathematical model of robust design for angle displacement generation based on the tolerance was established.The result of design was given and compared with that of the original projects.It is shown that the robustness of movement precision can be insured and the larger tolerances of each rod of the mechanism can be determined by this method,so the manufacturability can be improved and the cost can be reduced. KEY WORDS connecting-bar angle displacement;plane mechanism;movement precision:mechanism sy nthe- sis;robust design;tolerance design

表 3 设计结果 Table 3 Robust and original results 设计参数 x1(l 1)/ mm x2(l 2)/mm x 3(l 3)/ mm x 4(θ1)/(°) x5(Δl 1)/ mm x6(Δl 2)/ mm x 7(Δl 3)/mm 原方案1 [ 3] 50.21 77.71 110.01 120.91 未考虑 未考虑 未考虑 原方案2 [ 4] 50.193 77.651 109.937 120.927 0.021 0.028 0.035 本文方案 50.04 77.32 109.85 121.05 0.290 0.225 0.125 表 4 角位移再现机构各位置运动误差比较 Table 4 Kinematic error comparison of angle displacement generation mechanism in some positions 点序 号, i 转角, θ1 /(°) 运动误差/(°) 原方案 1 [ 3] 原方案 2 [ 4] 本文方案 2 40 -1.007 031 8 -1.014 974 5 -1.051 829 8 3 80 0.541 967 7 0.535 706 9 0.504 991 6 4 120 -0.046 150 1 -0.043 660 8 -0.043 769 3 5 160 -0.842 423 9 -0.831 811 9 -0.080 776 3 6 200 0.709 554 6 0.722 984 5 0.743 211 9 7 240 -0.236 575 1 -0.232 304 8 -0.265 066 8 8 280 0.138 107 6 0.154 537 7 0.242 581 8 9 320 -0.038 169 2 -0.627 167 6 -0.568 112 8 4 结论 (1)本文提出的再现连杆角位移机构的稳健优 化设计方法与数学模型具有普遍意义, 示例求解方 法可以适用于各种平面连杆机构的设计 . (2)由于运动误差均为微量级, 所以本文均采 用计算机模拟方法求得上述结果 . 参 考 文 献 [ 1] Lee M Y, Erdman A G , Faik S.A generalized performance sen￾sitivity synthesis methodology for f ou r-bar mechanisms.Mech Mach Theory , 1999 , 34:1127 [ 2] 陈建军, 陈勇, 崔明涛, 等.基于运动精度可靠性的平面四杆 机构优化设计.机械科学与技术, 2002 , 21(6):940 [ 3] 贺贤贵, 徐振华.机构最优化设计.北京:高等教育出版社, 1984:77 [ 4] 曾经梁.连杆角位移再现机构的模糊稳健优化设计方法.机 械科学与技术, 2003 , 22(6):974 [ 5] 谭晓兰.机构稳健设计一般原理与方法的研究[ 学位论文] .北 京:北京科技大学, 2004:19 [ 6] 谭晓兰, 韩建友 , 陈立周.考虑运动副间隙影响的函数发生机 构的稳健优化设计.北京科技大学学报, 2004 , 26(4):416 [ 7] 谭晓兰, 韩建友, 陈立周.基于随机模型的轨迹发生机构的稳 健设计.燕山大学学报, 2004 , 28(4):395 [ 8] 陈立周.稳健设计.北京:机械工业出版社, 2000 [ 9] 陈立周, 何晓峰, 翁海珊, 等.工程随机变量优化设计方法——— 原理与应用.北京:科学出版社, 1997 Robust optimization design of angle displacement generation mechanism TAN X iaolan 1), HAN Jianyou 2), HE Guangping 1) 1)Electromechanical Engineering School, North China University of Technology , Beijing 100041 , China 2)Mechanical Engineering S chool, University of Sci ence and Technology Beijing , Beijing 100083 , China ABSTRACT As an angle displacement generation mechanism fo r example , the process of choosing design vari￾ables, noise facto rs and quality targets was given .A mathematical model of robust design for angle displacement generation based on the tolerance was established .The result of design was given and compared with that of the o riginal projects .It is show n that the robustness of movement precision can be insured and the larger tolerances of each rod of the mechanism can be determined by this method , so the manufacturability can be improved and the cost can be reduced . KEY WORDS connecting-bar angle displacement ;plane mechanism ;movement precision ;mechanism sy nthe￾sis ;robust design ;tolerance design 第 10 期 谭晓兰等:再现连杆角位移机构的稳健优化设计 · 1053 ·