金属压力加工问题的流函数速度模式上限解

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1994.s2.019 第16卷增刊 北京科技大学半报 VoL 16 1994年11月 Journal of University of Science and Technology Beijing Now.1994 金属压力加工问题的流函数速度模式上限解 杨海波 汪家才刘光涛 北京科技大学机械工程学院，北京10083 情要采用流函数法构造了塑性变形金属流动的完备速度模式，对M©6材料平面变形和轴对称 变形问题，提出并推证了运动可能速度场应满足的力学边界条件一“边界切应力”约束方程.将 求解与运动可能速度相对应的应力畅归结为确定一点静水压力的问题，实现了由上限法确定问题 的完全解.应用这一理论对锥模拔管问题进行了计算分析， 关铺词流函数，上限定理，力学约束 中图分类号TG301,TG356.5 Upper-Bound Solution of Metal Forming Problem with the Flow Function Velocity Model Yang Haibo Wang Jiacai Liu Guangtao Mechanical Engeering College,USTB,Beijing 100083,PRC ABSTRACT The complete velocity model for plastic metal is structured with flow function. The boundary tear stress condition,which should be met by the velocity field of the Mises material plan or axisymmetrical deformation,is raised.The stress field corresponding the velocity could be obtained by the resolution of one point uniform stress and the answer for tube drawing process is ascertained with this sort of theorem. KEY WORDS flow function,upper bound approach,mechanics retrain 应用上限法(UBA)分析金属压力加工问题，核心是如何更精确地反映材料真实流动情 况，设计构造运动可能速度场心.经验表明，耗散功率W对并不敏感，即使所设计的 速度场较为简单，也可得出较好的工艺载荷的上限解，因此保证使W取得极小值的U已 充分地接近了真实的速度场、并使与U相应的应力场是静力许可的，寻求问题的完全解， 是上限法当前的研究方向~刂 1金属压力加工问题的上限解法 在金属压力加工过程中，塑性变形毛坯内各点处的应力σ位移速度U:及应变速率e 之间应满足一定的条件 1994-03-01收稿第一作者男33岁副数授项士

第16 卷 增刊 19 9 4 年 1 1 月 北 京 科 技 大 学 学 报 Jo ~ 1 o f U ni ~ ity o f s d en ce a nd 毛幻m o fo gy Be ij ing V 区 16 N 时 . 19 9 4 金属 压力加工 间题的流 函数速度模式上 限解 杨海波 汪 家才 刘光涛 北京科技 大学机械工 程学院 , 北京 1(刀 犯3 摘要 采用 流函 数法构造了 塑性变形金属流动的完备速度模式 , 对 M is 。 材料平 面变形 和 轴 对称 变形 问题 . 提 出并推证 了运动可能速度场应满足 的力学边界条件 一 ` 边界切应力 份 约 束方 程 . 将 求解 与运动可 能速度相对应的应力场归结为确定一点静水压力的问题 , 实现了 由上限 法确定问题 的完全解 . 应用这一理论对锥模拔管问题进行 了计算分析 . 关扭词 流 函数 . 上限定理 , 力学约束 中圈分类号 T G 30 1厂I U 356 .5 U P pe r 一 oB un d S o lut i o n o f M eat l F o r m ing P or b le m iw ht t he lF o w F u n ct i o n Ve l6 d yt M o de l K 功夕 月口访。 W d ” g J沁aC i L 山 uG a 构笋aO M eC 恤面a 叭 E n护即 ng 伪】】嘟 , sU T B , 翻」ign l X() 佣3 , PR C AB S T R A C T hT e co m P I日eL v e l o d ty l加d d of r p afs ict rI r at l 15 5仃u 叻助团 iw ht on w 丘口面o .n hT e ob u n( 纽ry ate r s t n 芝洛 co dn it on , w hi 由 s ho uld be lI r t b y het v 日o d yt if el d of het M比 皿记血l p纽n or ax is ylr 口而司 d efo l l n a iot n , is ar 蚀刃 . T七e s t n 芝洛 6日d co 毗p o dn ign het vel 喊yt co uld 忱 o b at in 记 b y het l饮幻 l u iot n o f o n e P o in t u n 五b mr s t n 芝洛 a dn ht e a sn wer fo r ut be d ar iw n g p or `七骆 15 a s eC rt a in ed iw ht ht 贻 so rt of ht eo n 沈n . KE Y W O R 】万 flo w fu n 由o n , u P ep r bo u n d a P Por a hc , 功以上a in o n 沈m in 应用 上 限法 ( U B A ) 分 析金 属压力 加工 问题 , 核心 是如何 更精 确地 反 映材料 真实 流动情 况 , 设计构造 运动 可能 速度 场 亡卜 . 经 验表 明 , 耗 散功 率 毗 对 亡) 并 不 敏感 , 即使所 设 计 的 速度场较为 简单 , 也可 得 出较 好 的工艺 载荷的上 限解 . 因此 保证使 cwt 取 得 极 小 值的 仓产已 充分 地接 近 了真实 的速 度场 、 并使与 亡产相应 的 应 力 场 是静力 许 可 的 , 寻 求问题 的 完全 解 , 是 上限法 当前的研究方 向 「, 一 , .] 1 金属压 力加工 问题的上限解法 在金属 压力加 工过程 中 , 塑性 变形 毛坯 内各点 处的应力 。 i J , 位 移 速 度 亡 * 及应变速率 。 。j 之 间应满足 一定 的条件 . 19 4 一 0 3 一 0 1 收稿 第一 作者 男 3 岁 副教授 硕士 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1994. s2. 019

杨海波等：金属压力加工问题的流函数速度模式上限解 ·87· 任何满足给定边界条件的位移速度在材料变形域中的分布称之为“运动可能速度场”， 以心表示.在所有的心中，真实的心使得能量的耗散功率W:取得最小值（上限定 理)·此时与真实速度场相应的应力场σ（由材料的本构关系给出）或唯一确定或当材料不 可压缩时，最终相差一静水压力·当应力场σ是静力许可的，即时满足物体内的徽分平衡 方程、屈服条件及在力面S和速度面S。上的应力边界条件时，问题获得完全解，为此，对 Ms材料，首先应求得真实速度场，其次要由一定形式的外力边界条件求一静水压力场. 2运动可能速度场的构成 体积不变条件和边界条件对速度均为线性关系，因此我们可以将运动可能速度场U分 解为两部分；基础速度场U和附加速度场U,即U货是由U和U叠加构成【. U=U张+U (1) 基础速度场反映变形金属质点的基本流动规律，满足问题的给定速度边界条件.U一般 不含未知量（某些情况下含优化变量），并能保证U:足够快地通近真实速度场，对于稳态问 题（轧制、拉拔、挤压等）可以借助流面或流线由流函数设定基础速度场，而对于非稳态问 题（镦粗）、周期间歇和伪稳态问题（工件发生内部缺陷时）则可以设定满足非齐次速度边 界条件的简单速度场， 附加速度场U是修正补充基础速度场的，在物理方面应满足齐次速度边界条件，在数 学方面要具有完备性，保证由基础速度场U和附加速度场U片合成的速度场U包含有真实速 度场.根据泛函空间理论，附加速度场可采用希尔伯特空间相对完备的坐标函数族来表示· 3流函数速度摸式 3.1流函数法基本橛念 引用流函数设定连续速度场，就是将稳定塑性变形区内金属流动时质点的运动轨迹看 作流线，其上任一点的切线方向，即为该瞬时质点的流动方向， 在平面或轴对称状态下的稳定塑性变形中，各速度分量可由流函数①（代，x)来确定；此 处的x1、X2在轴对称情况下应理解为乙、.对于平面问题，由0确定的速度分量为： U,=0Φ/ax2 U2=-aΦ/0x (2) 对于轴对称问题，由Φ确定的速度分量为： U,=(1/x2)0Φ/0x2 U,=-(1/x,)0Φ/0x1 (3) U、U2自然满足体积不可压缩条件· 流线方程dx2/dx1=U2/U,的解由下列函数表达： (X,x2)=const 4 则流函数具有下列一般形式：

杨海波等 : 金属压力加工问题 的流 函数速度模式上限解 任何 满足 给定边 界条件 的 位移速 度 在 材 料 变 形 域 中的 分 布称 之 为 “ 运 动可 能 速 度 场 ” . 以 亡卜表 示 . 在 所 有 的 亡卜中 , 真 实 的 亡李使得 能 量 的 耗 散 功 率 wct 取 得 最 小 值 (上 限 定 理 ) . 此时与真实速度 场相 应的 应力场 。轰( 由材 料 的本 构 关 系 给 出 ) 或 唯一 确定 或当材 料不 可 压缩 时 , 最 终相差 一静水压力 . 当应力场 。 者是 静力 许可 的 , 即 心满足物 体内的 徽分平衡 方程 、 屈 服条件及在 力面 S ; 和 速度 面 S 。 上 的应力边 界条件时 , 问题获得 完全 解 . 为此 , 对 M is es 材 料 , 首先应求得真实速 度场 , 其次要 由一定形 式的外力 边界 条件求一静水压力场 . 2 运动可能速度场 的构成 体积 不变条 件和 边界条件 对速度 均为 线性 关 系 , 因此 我 们可 以 将 运 动 可 能速度 场 U 黔分 解 为两部 分 ; 基础速 度场 U 九和 附加 速度场 U 各 , 即 U 黔是 由 U 几和 U 弃叠 加构成 ` ,.] u产= U几+ U各 ( 1) 墓础 速度 场反 映变形 金属 质点 的基本流 动规律 , 满足 问题的给定速度边界条件 . U 盖一般 不含未知量 (某些情 况下 含优化变量 ) , 并能 保证 U 黔足 够快地通 近真实速度场 . 对于稳态问 题 (轧 制 、 拉拔 、 挤压等 ) 可 以 借助流面 或流 线 由流 函数设定基础 速度 场 , 而 对于 非稳态问 题 (徽粗) 、 周期 间歇 和伪稳态问题 (工 件发 生 内部缺 陷时 ) 则可 以 设定满足 非 齐次速 度 边 界 条件的 简单速度 场 . 附加速 度场 U 各是 修正补 充基 础速度 场 的 , 在 物 理 方 面 应 满 足 齐次速 度边 界条件 , 在数 学 方面要具有完备性 , 保证由基础 速度场 U 九和附加速度场 U 各合成的速度场 U }包含有真实速 度 场 . 根据 泛 函 空间理 论 , 附加速 度场可 采用 希尔伯 特空 间相 对完备的坐 标 函数族来表示 . 3 . 1 流函数速度模式 流函数法基本概念 引用 流 函 数设定连续 速度 场 , 就是将稳 定 塑性 变 形 区 内金 属 流 动 时质 点 的 运 动 轨 迹 看 作流 线 , 其上任 一点 的切 线方 向 , 即为该 瞬时质点的流 动方 向 . 在平 面或轴对称状态 下 的稳定 塑性变 形 中 , 各速 度分量可 由流函 数 。 (x, , x 公来确 定 ; 此 处的 x l 、 x : 在轴 对称情 况下 应理 解为 z 、 r . 对于平 面 问题 , 由。 确 定 的速度分量 为: 丁户 】一 ” 。 / 。x Z 〔U Z = 一 刁。 /刁x , (2 ) 对于轴对称问题 , 由份 确 定 的速度分 量 为: 丁V ! 一 (`/ x Z ) ” 。 / 。 x Z 走u Z= 一 ( l / x Z ) 刁。 / 刁x . (3 ) U : 、 U : 自然满足 体积 不可 压缩 条件 . 流线 方程 d x Z d/ x : = U : / U : 的解 由下 列 函 数表达 : 叮( x 卜 x 公= co sn t (4 ) 则 流 函数 具有 下列一 般形 式 二

·88· 北京科技大学学报 (x,x:)=gin(x,x2)=const (5) 如图1所示，在不变形区】和不变形区3中，流线由下列条件表达： n(x,x2)=x2=C (6) 设变形域2中约束金属流动的工具表面形 状由方程X=T(x,X2=T2(x)来描述，为使 Φ（依，x)是运动可能的，则西*应满足下列边 界条件： (a)沿工具与毛坯接触表面，T(x)-x,=0, LL (u1× 即该接触表面为流面；且 -1 =C (u)3 3 Φ(x,xz)=g{[x1,T(x)}=(U)1·Ao =(U)3·A (7) x:=T,(x） 式中，A(U,)1和A(U)3分别为变形初始 0 和终了时毛坯的断面面积和金属流动的速度， (b)沿接触表面(T2(x)-x:=0),有 Φ*(x1,xz)=g{[x1,T(x,)]}=0(8) 图1流函数法 (c)在由刚性区进人塑性区的边界「。上： 1一刚性区：2一塑性区；3一刚性区 X:=S1(X1),相应有 Fig.1 Flow function method g{7(xso}=(U)3·so (9) (d)在由塑性区进入刚性区的边界「1上；x2=S,x),相应有 g{7(x1,s}=(U)3·s1 (10) 利用方程(7)、(8)来构造运动可能流函数①(x1,x),利用方程(9)、(10)可求解边 界「。和「 引用流函数来设计构造速度场，具有容易满足速度边界条件，减少待求未知量和自然满 足体积不可压缩条件等优点， 32基础流函数、附加流函数、完全流函数 相应前面对速度场的分解，定义与基础速度场相对应着基础流函数Φ。，与附加速度场 相对应着附加流函数Φ：，例如对平面问题即有： d。=o6/x,0。=-Φ/x1 (11) Ur=0p/0x2,U5=-Φ/ax1 (12) 3.2.1基础流函数Φ(x1,x2) 中6(x,·x)一般可借助变形区边界流线或流面来构造，对平面变形可取 Φ6(x1,x)=K'[x,-T(x]/T(x)-T:(x,)】 (13) 对轴对称变形可取 D6(x1,x)=K'[x-T(x)]/fT(x)-T(x)】 (14) 式中K为待定系数，由变形区断面流通量确定，Φ。不含其它未知量而仅为坐标的函数·

· 88 · 北 京 科 技 大 学 学 报 巾 ( x l , x : ) = g { 叮( x l , x Z )} = c o n s t (5 ) 如 图 1 所 示 , 在不变 形 区 l 和不 变形 区 3 中 , 流线 由下列条 件表 达 : 叮( x l , x Z ) = x Z 二 设变形 域 2 中约束金 属流 动 的工 具 表 面形 状 由方 程 X Z = T l ( x l ) , X Z = T Z ( x l ) 来 描述 , 为使 。 k (x 1 , x Z ) 是 运动 可能 的 , 则 。 “ 应 满 足 下 列 边 界 条 件: ( a) 沿工 具 与毛坯接触表 面 , T l ( x l ) 一 x Z = 0, 即该接 触表 面为 流面 ; 且 小 k ( x , , x Z ) = g { 叮[ x l , T , ( x l ) ]} 二 ( U l ) ; · A 。 = ( U , ) 3 · A , ( 7 ) 式 中 , oA 、 (仓 l ) 1 和 A l 、 (亡 1 ) 3 分 别 为变 形 初 始 和终 了 时毛坯 的 断面 面积和 金属 流动 的速度 . ( b ) 沿 接 触表 面 ( T Z ( x . ) 一 x Z = 0 ) , 有 中k (x 1 , x Z ) = g { 叮[ x l , T Z ( x l ) ]} = o ( 8 ) ( c) 在 由刚性 区 进 人 塑 性 区 的 边界 0r 上 ; x Z = 5 1 ( x l ) , 相 应有 g { 叮( x l , s 。 )} = ( U l ) 3 ( 6) 写 : 3匕 图 1 流 函数法 1一 刚性区 ; 2 一 塑性区 ; 3 一 刚性区 I殆 . I F拓w 云. r 位” I n州血闭 · s 。 (9 ) ( d) 在 由塑性 区 进 人 刚性 区 的边界 r l 上 ; x Z二 sl (x, ) , 相应 有 g { 叮( x l , 5 1 )} = ( U l ) 3 · s , ( 10 ) 利 用方 程 ( 7 ) 、 ( 8 ) 来 构造 运动 可能流 函 数 。 k ( x l , x Z ) , 利用 方程 (9 ) 、 ( 1 0 ) 可求解 边 界 0r 和 r : 引用流 函 数 来设计构造 速度 场 , 具 有容 易满 足速度 边界 条件 , 减少 待求 未知量 和 自然 满 足 体积不可 压缩 条件等 优点 . .3 2 基 础流 函数 、 附加 流函数 、 完全 流 函数 相 应前 面对 速度 场的分 解 , 定义 与基础 速度 场相 对应着 基础 流 函 数 中告 , 与 附 加 速 度 场 相 对 应着 附加流 函 数 中李 , 例如 对平 面 问题 即有 : 亡} 。 一 日巾告/口x Z , 仓鳖 。一 日巾告/口x l 仓 : 一 扬洒 x Z , 饥 f一 扬加 x l ( 1 1) ( 12 ) .3 .2 1 基 础 流 函数 。 告( x : , x Z ) 中 } ( x , , x Z ) 一般 可借 助变形 区边 界流 线或 流面来 构造 , 对 平面 变形可取 。 }( x l , x Z ) = K ` [ x Z 一 T Z ( x l ) ]/ [T l ( x l ) 一 T Z ( x l ) 1 ( 13 ) 对轴 对称 变形 可 取 。 告( x , , x Z ) = K ` ! x ; 一 T ; ( x l )」/【T { ( x l ) 一 T ; ( x , ) 1 ( 14 ) 式 中 K ’为 待定 系数 , 由变 形 区 断 面流通 量确 定 . 。 告不 含其 它未 知量而 仅为 坐标 的函 数

杨海波等：金属压力加工问题的流函数速度模式上限解 ·89· 3.2.2附加流函数Φ(x1,X2,a) 由Weirstrass定理，附加流函数中可由函数序列∑∑amnx严x;来一致逼近.考虑到 附加速度场应满足齐次速度边界条件，上述函数序列应乘上因子Q,Q,“,Q；Q(= 1,2,…,n)由齐次速度边界条件确定.于是Φ取为 0(x1,x2,ama)=Q1·Q2Qa∑∑amnxTx (15) 3.2.3完全流函数0(X1,×2,amm) 由D6(X1,x,)与(x,X2,am)叠加合成为完全流函数0*(x,x2,amn) D*(X1,x,amn)=d6(X,x,）+(x1,X2,aan） (16) ①(x1,x2,mn)确定的速度场是完备的，即Φ“确定的速度场一定包含真实速度场， 4 完备运动可能速度场的“力学边界条件” 针对W对U:并不敏感，为保证在使W。极小化过程中速度场能够充分地接近真实速度 场，除首先应构造一个包含全部运动可能速度场的完备速度场族外，还应寻求进一步措施· 对于发生塑性变形的理想刚塑性材料，其本构关系由Levy一Miss方程确定 =(2T/H) (17) 式中H为应变速率强度，T为剪应力强度，由式(17)可见，由速度场根据几何方程确定的 应变速率场对应着一个偏应力场σ 在变形区边界上某一点M(x,x,外法线方向n=(cos8,sin),设该点处给定切应力为 t(一般为摩擦力)，而该点处与应力场相对应的切应力*可被表示为 t*=(o1-022)sin20/2-012c0s20 (18) 而应力场0，可表示为由一偏应力场σ和一静水压力场δ，0m合成，即 01=0+δ，0m (19) 式中δ为克罗内克尔记号· 将式(19)代入(18)，整理得 t=(oi,-52)sin28/2-g12c0s28 (20) 当所求速度场为真时，应有τ=τ 将几何方程及式（17)代人式(20)，并考虑到条件t*=π∴，整理得 (aU,/x,-a0,/x)sin20-(d,/x,+c02/x)cos20=(H/T)·t(21) 式(21)为运动可能速度场应满足的力学边界条件式.在极小化耗散功率W。、由运动 可能速度场族寻求真实速度场的过程中，这一条件将以约束的形式参加寻优，所以称式 (21)为速度场“边界切应力约束”条件.它将确保和加速运动可能速度场向真实速度场通近· 5应力场和静水压力场的求解 由式(17)和式(19)可见，在运动可能速度场U确定后，求解应力场σ，的问题就归

杨海波等 金 属压 力加工间题的 流函数速度模式上限 解 : 2 2 附 加流 函数 。 李 . . ( 3 , x , x Z , a 二 由 w ie sr atr s s 定 理 , 附 加 流 函数 。 李可 由函 数序 列 工艺 a m n x 子 x 翌来一 致 逼 近 . 考 虑 到 附 加 速 度 场 应满 足 齐次 速 度 边 界 条 件 , 上 述 函 数序 列 应 乘上 因 子 Q , , Q Z , … , Q 。 ; Q l i( = 1 , 2 , … , n ) 由 齐次 速 度边 界 条 件 确定 . 于 是 中 李取 为 中 }( x l , x Z , a m n ) = Q l · Q Z … Q n 艺艺 a m n x 于 x 全 ( 15 ) .3 .2 3 完 全流 函数 。 “ ( x , , x Z , a 。 。 ) 由 小告( x 、 , x Z ) 与 巾李( x . , x Z , a m n ) 叠 加 合 成 为完 全 流 函 数 中 k ( x l , x Z , a m n ) 。 k ( x 卜 x Z , a o n ) 二 中 轰( x l , x Z ) + 中李( x l , x Z , a m n ) ( 16 ) 中 “ x( 1 , x Z , a m n ) 确 定 的速 度 场 是 完 备 的 , 即 。 “ 确 定 的速 度 场 一 定 包 含 真 实 速度 场 . 4 完 备运动 可能速 度 场 的 “ 力 学边 界条件 ” 针 对 w 告对 U {并不敏 感 , 为保证 在使 w 轰极小 化过 程 中速度场 能够 充分地接近 真实速度 场 , 除 首 先应构造 一个 包含 全部 运动可 能速 度场 的完备 速度 场族外 , 还 应寻求 进一 步措 施 . 对 于发 生塑性 变形 的理想 刚塑性 材料 , 其本 构 关系 由 玫vy 一 M毗 方 程确定 ` : 』 = ( Z T / H ) 宕 , J ( 17 ) 式 中 H 为 应变速 率强 度 , T 为剪应力 强度 . 由式 ( 17 ) 可见 , 由速 度场 根据 几何方 程确定 的 应变 速 率场 氛 J 对应着 一个偏 应力 场 试 J . 在 变形 区 边界 上某 一点 M ( x 、 , x Z ) , 外 法线方 向五= ( co s o , s in o) , 设该 点处给定 切应力 为 : ’ ( 一般 为摩 擦力 ) , 而 该点 处 与应力 场相对应 的切 应力 : “ 可被 表示 为 : k = ( 。 ! , 一 。 2 2 ) 5 i n Z口 / 2 一 a l Z e o s 2 8 ( 1 8) 而应 力场 a ,。 可表示 为 由一偏 应力 场 :aj 和 一静水 压力 场 占 , 」a 。 合成 , 即 a ,」二 “ 几+ 占 ,」“ m ( 19 ) 式 中 占i 」 为克罗 内克 尔记 号 . 将式 ( 19 ) 代入 ( 18 ) , 整理 得 : ’ = ( a ; , 一 。 三 2 ) 5 i n Z口/ 2 一 。 1 2 e o s Z口 (2 O) 当所求速度场 为真 时 , 应有 : “ 二 : ., 将 几何方 程及式 ( 17 ) 代 人式 ( 20 ) , 并 考虑到 条件 : “ = : ` , 整理 得 ( 刁亡 , /日x l 一 刁亡 2 /日x Z ) 5 i n Z o 一 (刁亡 : /日x Z + 日亡 2 /日x l ) e o s Zo = ( H / T ) · T ` (2 l ) 式 (2 l) 为运动可能 速度 场应 满足 的力学 边界 条件式 . 在极小 化耗 散功 率 w 轰 、 由运 动 可 能 速度 场族 寻求 真 实 速 度 场 的 过 程 中 , 这 一 条 件 将 以 约 束 的形 式 参加 寻 优 , 所 以 称 式 ( 21 ) 为速度 场 “ 边界 切应 力约束 ’ 条 件 . 它将确保和加速运动可能速度场 向真实速度场逼近 . 5 应 力场和静水 压 力场 的求解 由式 ( 17 ) 和 式 ( 19) 可见 , 在 运动可 能速 度场 U 卜确定后 , 求 解应 力场 a 1 ) 的问题 就归

·90· 北京科技大学学报 结为求解静水压力场δ，0m的问题.将式(17)、式(19)代入平衡方程 0a/0x,+B,=0 (22) 当不计体力，B,=0时，整理得 5(cm/0x,)=-20[(T/H)e/1 (23) 外力边界条件为 T:=0n (24) 一般可放宽为 F:=T;ds (25) 式中F:局部边界外力的合力， 对于轴对称问题，取x:=z,x2=r,式(23)可具体表达为 o:+/8r-g 0am/0z=-0(a:+t)/0z-tz/r (26 将式(26)两方程的右边分别记为R(r,z)、Z(r,z),求解式(26)可解定静水压力场 o(r,z)=om(ro.Zo)+R(r,z)dr+Z(r,z)dz (27) Jr。 当速度场确定后，函数R(红，z)、Z(红，z)是r,z的连续函数，由上式可知当已知变形域中一 点(ro,Z)的静水压力cm(g,2o),静水压力场δ，0m(r,z)即可确定，因此，求解应力场 0(r,z)的问题就归结为求解变形域内一点静水压力σ.(ro,z)的问题， 6算例一锥模拔管 现以理想刚塑性材料通过锥模等径拔管问 题说明前述理论的应用.考虑到金属变形的对 称性，选取任一子午面上的变形区域为研究对 象，变形区几何形状和参数如图2所示， 延伸率为30%，R。=55,R,=45,1=-x2 =16.7°，附加速度场的维数为m×n=9的等 径拔管过程的功率分配为：外模摩擦功率 354.8K,内模摩擦功率为257.5K,入口间断功 图2拔管变形区几何形状及参数 率为327K,出口间断功率为406.9K,变形功Fg2Psic2 one and its parametersi白ube drawing 率为1438K,全功率为2783K,其中K为屈服剪应力，图3为各应变速率及应变速率强度 的等高线分布规律，由应变速率强度H的分布规律可见，变形在入口边界最剧烈， 7结论 本文提出并推证了Mss材料平面变形或轴对称变形问题的运动可能速度场应满足的力 学边界条件一“边界切应力约束”方程，这一条件以约束的形式进人极小化W:的过程中，从

· 卯 。 北 京 科 技 大 学 学 报 结 为求解静 水压力 场 戈 』。 二 的问题 . 将式 (l 7) 、 式 ( 19) 代人平 衡方 程 刁。 ` j / 日x J + B i = o (2 2 ) 当不计体力 , B ` = O 时 , 整理 得 占、 J ( a 。 二 /刁x J ) = 一 2 刁[ ( T / H ) 。 , j /刁j ( 2 3) 外 力边 界条件 为 T , = “ * J n J ( 24 ) 一般可 放宽为 (2 5) 广卜 ` F 一 式 中 F i 局 部边 界外力 的 合力 . 对于 轴对称 问题 , 取 x ,二 z , x Z = r , 式 ( 2 3) 可具体表达为 刁。 二 /刁r = 一 日( 刁。 二 /口z = 一 a ( 将式 (2 6) 两方 程的 右边分别记为 R ( r , z) 。 ; + : r : ) / 日r 一 ( a 二一 。 石) / r 。 二+ : r : ) /日z 一 T r : / r } ( 2 6 ) 、 Z ( r , z) , 求解 式 (26 ) 可解 定静水压 力场 一 ( r , ·卜 一( r 。 , 一卜 上卜 ( r , · ) ` r · 价 ( r , · ,` · (2刀 当速度场 确定后 , 函 数 R ( r , z) 、 Z ( r , )z 是 r , z 的连 续 函 数 , 由上 式 可 知 当 已 知 变 形域 中一 点 (r 。 , z0 ) 的静水压 力 a 二 (r 。 , z0 ) , 静 水压 力 场 占i j a 二 (r , : ) 即可 确 定 . 因 此 , 求解 应力 场 。 , j (r , )z 的 问题就归结为求解 变形 域 内一 点静水压力 。 二 (r 。 , z 。 ) 的问题 . 6 算例一 锥模拔管 现 以理 想 刚塑性 材料通过 锥模等径拔 管 问 题说明前述 理论的应 用 . 考 虑到 金 属 变形 的对 称性 , 选取 任一 子午 面上 的 变形 区 域 为研究 对 象 , 变形 区 几何 形状 和参数如 图 2 所示 . 延伸率 为 3 0 % , R 。 = 5 5 , R : = 4 5 , : : = 一 : 2 = 1.6 7 。 , 附加 速 度 场 的 维 数 为 m x n = 9 的 等 , 叹沪 v.一 笔y : , T , ( z ) 穿茗卜一 ,一叫 奋 径 拔管 过 程 的 功 率 分 配 为: 外 模 摩 擦 功 率 3 54 名K , 内模摩 擦功 率为 2 5 .7 5K , 人 口 间断功 . 2 拔f 变形区 几何形状及 , 教 率为 32 7K , 出 口 间断功 率 为 40 .6 9K , 变形 功 瑰Z p 如血 ~ 回 如 , . 口姆扭 . 如 叻 . 白衬吧 率为 1 4 38 K, 全功 率为 2 7 8 3K , 其中 K 为屈服 剪应 力 . 图 3 为 各应 变 速率及 应 变速 率强 度 的等高线分布规律 , 由应变 速率强度 H 的分布规律可见 , 变形 在人 口 边界 最剧 烈 . 7 结论 本文提 出并 推证了 M i剐污 材料 平 面变形 或轴对称 变形 问题 的运动 可能速 度 场 应满 足 的力 学边界 条件一 “ 边 界切 应力约束 ” 方程 . 这 一条件以 约束的形式进 人极 小 化 W忿的 过程 中 , 从

杨海波等：金属压力加工问题的流函数速度棋式上限解 91· 0.041 3S0029208 0.0474296 00255地69255016 0.048930200430730.049073 0< 0.070563 0.0452775 0.0535058 0.0 0.0958588 0.108504 .059582 0.0547873 3588 -0.059582、 658 6510 0.121148 0.0 0.0535058 8 =0.0413533 00650160060648 0.0489302 0.108504 0.0958588 0.0372159 -0.041CZ-0.0292008 0.064 0.0255016 0.0832<03226 H -05%E 0.031 5 -0.00439276 0.023.0985 -0.00280048 0.00200434 0.0重50入5 -0.00120082 --0.000412064 -0.000334075 0.0m.18021 0.004364 000197635 -0.00804811 -0.0251214- 0.00277249 C000356863 -0a4g7m00T794g 00y04 8 e Eo ta 图3应变速睾及剪应变速率强度H等高线 Fig3 Component of stain rate temor and intansity of shear strain-rate 而克服由于W:对U不敏感，难以通过极小化W:由U确定真实速度场的问题.采用流 函数完备速度模式，可实现对真实速度场的无限逼近，由两个外力边界条件确定一点的静水 压力，求解了问题的应力场，运动可能速度场应满足的力学边界条件一“边界切应力”约 束方程的提出具有理论意义和实际应用价值，采用上述方法解决了由上限法求两类常见金 属压力加工问题一平面变形和轴对称变形完全解的问题. 参考文献 1 Thomsen E G,Yang C T,Kobayashi S.Mechanics of Plastic Deformation in Metal Processing New York:The Macmillan,1965 2 Avitzer B.Metal Forming-Processes and Analysis.Hemtington:Krieger,1979 3菊克索夫等，金属塑性变形理论·北京：机械工业出版社，1992 4汪家才，金属压力加工问题的现代力学原理，北京：冶金工业出版社，1991

杨海波等 : 金属压力加工问题 的流 函数速度模式上限 解 4 29 6 一 0 . 0 0娜3 92 气 00 4 12 064 瞥夕 0 0 3 34 0 75 0 . 以力 , 180 2 1 97 6 3 5 、 口与 圈 3 应变速率 礼 云 : : 及剪应变速率强度 H 等高线 瑰3 C 曰xIJ . 斌 健 目国如 . 征 扭, , 万 .回 如巨对妙 苗 目. r 动 . 沁一 . 加 而 克服 由于 W t 对 U 卜不敏 感 , 难 以 通过极 小 化 w 老由 U 产确 定 真 实 速度 场 的 问题 . 采 用 流 函 数完 备速度模 式 , 可 实现 对真 实速度场 的无 限逼 近 . 由两个 外力 边界 条件 确定一 点 的静水 压力 , 求解 了间题的应力 场 . 运动 可能速 度场 应满 足 的力 学 边 界 条 件 一 “ 边界 切应 力 ” 约 束方程 的提 出具有 理论意 义和 实 际应用价 值 . 采用 上述方 法解 决 了 由上 限法 求 两 类 常见 金 属压力 加工 问题一 平面变 形 和轴对称变形 完全 解 的问题 . 今 考 文 献 hT o ms e n E G , Y a n g C T , K o b a y as h i 5 . M e e h a n ics o f P l a s t i c eD fo na t i o n i n M e ta l P r o ces s i n g N e w Y o r k : T h e M a c n 刀 ll a n , 1 96 5 A vi t ze r B . M e at l F o蒯 n g 一 P r o ces s es a n d iA l a l邓 1 5 . H e m ti n g t o n : K ir e g e r , 1 97 9 翁 克索夫 等 . 金 属塑 性变形 理论 . 北京 : 机 械工 业 出版社 , 19 2 汪家 才 . 金属压 力加 工 问题 的现 代力 学原理 . 北 京 : 冶金工 业 出 版社 , 1991