第八讲二阶线性常微分方程的幂级数解法(一) 第1页 第八讲二阶线性常微分方程的幂级数解法(一) §8.1二阶线性常微分方程的常点和奇点 阶线性齐次常微分方程的标准形式 d2 d2+p(2)2+q(2)w=0 , (8.1) p(z)和q(z)称为方程的系数 ·方程的解是完全由方程的系数决定的 ·特别是,方程解的解析性是完全由方程系数的解析性决定的 用级数解法解常微分方程时,得到的解总是某一指定点20的邻域内收敛的无穷级数 方程系数p(),q()在20点的解析性就决定了级数解在0点的解析性,或者说,就决定 了级数解的形式,例如,是 Taylor级数还是 Laurent级数 ·如果p(z),q(z)在20点解析,则0点称为方程的常点 ·如果p(),q(z)中至少有一个在20点不解析,则z0点称为方程的奇点 例8.1超几何方程( Hypergeometric equation) d2w dw z(1-)2+r-(1+a+b-aw=0 的系数是 p(z)= y-(1+a+3)2 aB 2(1-z) 和q(z)= z(1-z) 在有限远处,p(z)和q(z)有两个奇点:=0和z=1.所以,除了z=0和z=1是超几何方程 的奇点外,有限远处的其他点都是方程的常点 例8.2 Legendre方程 2d2 (1-x2)ax2-2x+(+1)y=0 , 在有限远处的奇点为x=±1.Wu Chong-shi ￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞✌✍✎✏✑ (✒) ✓ 1 ✔ ✕✖✗ ✘✙✚✛✜✢✣✤✥✦✧★✩✪✫ (✬) §8.1 ✭✮✯✰✱✲✳✴✵✶✱✷✸✹✷ ✺✻✼✽✾✿❀❁❂❃❄❅❆❇❈❉ d 2w dz 2 + p(z) dw dz + q(z)w = 0, (8.1) p(z) ❊ q(z) ❋●❍■❏❑▲▼ • ❍■❏◆❖P◗ ❘❍■❏❑▲❙❚❏▼ • ❯❱❖❲❍■◆❏◆❳❨❖P◗ ❘❍■❑▲❏◆❳❨❙❚❏▼ ❩❬❭❪❫❪❴❵❛❜❝❞❲ ❡❢❣❪❤✐ ❥❦❧♠♥ z0 ❣♦♣ qrs❣t✉❬❭▼ ❜❝ ✈❭ p(z), q(z) ✇ z0 ♥❣❪①②③④♠ ⑤❬❭❪✇ z0 ♥❣❪①②❲ ⑥⑦⑧❲③④♠ ⑤❬❭❪❣⑨⑩❲❶❷❲✐ Taylor ❬❭❸✐ Laurent ❬❭▼ • ❹❺ p(z), q(z) ❻ z0 ❼◆❳❲❽ z0 ❼❋●❍■❏❾❼▼ • ❹❺ p(z), q(z) ❿➀➁➂➃➄❻ z0 ❼➅◆❳❲❽ z0 ❼❋●❍■❏➆❼▼ ➇ 8.1 ➈➉➊❍■ (Hypergeometric equation) z(1 − z) d 2w dz 2 + γ − (1 + α + β)z dw dz − αβw = 0 ❏❑▲❖ p(z) = γ − (1 + α + β)z z(1 − z) ❊ q(z) = − αβ z(1 − z) . ❻➂➋➌➍❲ p(z) ❊ q(z) ➂➎➄➆❼➏ z = 0 ❊ z = 1 ▼➐➑❲➒➓ z = 0 ❊ z = 1 ❖➈➉➊❍■ ❏➆❼➔❲➂➋➌➍❏→➣❼↔❖❍■❏❾❼▼ ➇ 8.2 Legendre ❍■ ￾ 1 − x 2
d 2y dx 2 − 2x dy dx + l(l + 1)y = 0, ❻➂➋➌➍❏➆❼● x = ±1 ▼