·在实用中,更常用 Lagrange乘子法来处理多元函数的条件极值问题 例如,对于上面的在约束条件 下求函数f(x,y)的极值问题,就可以引进 Lagrange乘子A,而定义一个新的二元函数 h(a, y)=f(a, y)-Ag(a, y) 仍将x和y看成是两个独立变量,这样,这个二元函数取极值的必要条件就是(容易看出,消去 λ,这就能化为上面给出的必要条件) 由此可以求出 (),y=y(从) 代回到约束条件中,定出 Lagrange乘子Aλ的数值,就可以求出可能的极值点(x,y) 如果是更多个自变量的多元函数,也可以同样地处理,如果涉及多个约来条件,也就只 需引入多个 Lagrange乘子即可 现在回到泛函的条件极值问题 如果要求泛函 F(,y, y)dx 在边界条件 y(ro) y(r1)=b 以及约束条件 J≡/G(x,y,y)dx=C 下的极值,则可定义 仍将8看成是独立的,则泛函J在边界条件下取极值的必要条件就是 )F==0 由此微分方程、边界条件以及约東条件,必要时经过甄别,就可以求出 Lagrange乘子的值A=、 极值函数y=y(x,A0),以及相应的泛函J例的条件极值 例321求泛函 ①为了以后的方便,这里的 Lagrange乘子前面多了一个负号Wu Chong-shi §32.1 ➛➜➝➞➟➠➡ ☛ 2 ☞ • ●➢➤ ❲✶➥➦➤ Lagrange ➧➨➩ ➫➭❡✩✪✫✬✭✻✼✮✯✰✱✲ ➯➲✶❴❵❖❢✭ ●❍■✻✼ g(x, y) = C ★❏✫✬ f(x, y) ✭✮✯✰✱✶ ❩❅❃➳➵ Lagrange ➸➺ λ ✶ q➻➼✧❛➽✭✵ ✪✫✬ ➾ h(x, y) = f(x, y) − λg(x, y). ➚⑧ x ➪ y ➶❇✽➹❛➘➴➷➬✶ ❑❳✶ ❑❛✵ ✪✫✬✸ ✮✯✭✹✺✻✼❩✽ (➮➱➶❘ ✶❯❱ λ ✶ ❑❩②❭✿ ❖❢✃❘✭✹✺✻✼) ∂(f − λg) ∂x = 0, ∂(f − λg) ∂y = 0. P❐❅ ❃ ❏❘ x = x(λ), y = y(λ), ❒ ✥❮❍■✻✼ ❲✶➻❘ Lagrange ➸➺ λ ✭✬✯✶ ❩❅❃ ❏❘❅②✭✮✯❰ (x, y) ✲ ÏÐ➍➁ ➂➃ ➄ ➅➆❶ ➂➇➈➉✶➔Ñ ÒÓÔÕÖ×✲ÏÐ ØÙ ➂➃ ÚÛÜÝ✶➔→ Þ ß àá ➂➃ Lagrange âã äÑ✲ å ● ✥❮æ✫✭✻✼✮✯✰✱✲ ➲❝✺❏æ✫ J[y] = Z x1 x0 F(x, y, y0 ) dx ●çè✻✼ y(x0) = a, y(x1) = b ❃é❍■✻✼ J1[y] ≡ Z x1 x0 G(x, y, y0 ) dx = C ★✭✮✯✶◆❅➻➼ J0[y] = J[y] − λJ1[y], ➚⑧ δy ➶❇✽➘➴✭✶◆æ✫ J0[y] ●çè✻✼★✸ ✮✯✭✹✺✻✼❩✽  ∂ ∂y − d dx ∂ ∂y0  (F − λG) = 0. P❐ ⑤⑥êëìçè✻✼❃é❍■✻✼✶ ✹✺▲íîïð✶ ❩❅❃ ❏❘ Lagrange ➸➺✭✯ λ = λ0 ì ✮✯✫✬ y = y(x, λ0) ✶❃éñò✭æ✫ J0[y] ✭✻✼✮✯✲ ó 32.1 ❏æ✫ I[y] = Z 1 0 x y02 dx ➾ ôõö÷øùúûüýø Lagrange þÿ￾✁✂õ✄☎✆✝✞