第三十二章变分法初步(续) §321泛函的条件极值 先回忆一下多元函数的极值问题 ·设有二元函数f(x,y),它取极值的必要条件是 DLar+daly 因为dx,dy任意,所以二元函数f(x,y)取极值的必要条件又可以写成 f af ·还有另一类二元函数的极值问题,二元函数的条件极值问题,即在约束条件 g(a, y) 下求f(x,y)的极值.这时,在原则上,可以由约東条件解出y=h(x),然后消去f(x,y)中 的y.这样,上述条件极值问题就转化为一元函数f(x,h(x)的普通极值问题,它取极值的 必要条件就是 af af +=h(x)=0 ·对于这个结果还有另一种理解.因为上面并不需要真正知道y=h(x)的表达式,而只需要知 道 dy h(r 这样,甚至不必(在大多数情形下也不可能)求出y=h(x),就可以直接对约束条件微分 dr+ ody=0. 从而求出 dy ag/ar dr ag/ay 于是即可将上述二元函数取极值的必要条件写成 af af ag/ax dr dy ag/ay 上面的讨论,当然很容易推广到更多个自变量的多元函数的情形.但是,随着自变 量数目的增多,公式也就越来越麻烦Wu Chong-shi ￾✁✂✄☎ ✆✝✞✟✠ (✡) ☛ 1 ☞ ✌✍✎✏✑ ✒✓✔✕✖ (✗) §32.1 ✘✙✚✛✜✢✣ ✤ ✥✦✧★✩✪✫✬✭✮✯✰✱✲ • ✳✴✵✪✫✬ f(x, y) ✶✷✸✮✯✭✹✺✻✼✽ df = ∂f ∂xdx + ∂f ∂y dy = 0. ✾✿ dx, dy ❀❁✶❂❃✵✪✫✬ f(x, y) ✸ ✮✯✭✹✺✻✼❄❅❃❆❇ ∂f ∂x = 0, ∂f ∂y = 0. • ❈✴❉✧❊✵ ✪✫✬✭✮✯✰✱✶✵✪✫✬✭✻✼✮✯✰✱✶❋●❍■✻✼ g(x, y) = C ★❏ f(x, y) ✭✮✯✲❑▲✶●▼◆❖✶❅ ❃ P❍■✻✼◗❘ y = h(x) ✶❙❚❯❱ f(x, y) ❲ ✭ y ✲❑❳✶❖❨✻✼✮✯✰✱❩❬❭✿✧✪✫✬ f(x, h(x)) ✭❪❫✮✯✰✱✶✷✸✮✯✭ ✹✺✻✼❩✽ ∂f ∂x + ∂f ∂y h 0 (x) = 0. • ❴❵❑❛❜❝❈✴❉✧❞❡◗✲✾✿❖❢❣❤✐✺❥❦❧♠ y = h(x) ✭♥♦♣✶ qr✐ ✺❧ ♠ dy dx ≡ h 0 (x). ❑❳✶st❤✹ (●✉✩✬✈✇★①❤ ❅②) ❏❘ y = h(x) ✶ ❩❅❃③④❴❍■✻✼⑤⑥ ∂g ∂xdx + ∂g ∂y dy = 0, ⑦q❏❘ dy dx = − ∂g/∂x ∂g/∂y , ❵ ✽ ❋ ❅⑧❖❨✵✪✫✬✸ ✮✯✭✹✺✻✼❆❇ ∂f ∂x − ∂f ∂y ∂g/∂x ∂g/∂y = 0. ⑨ ⑩❶❷❸✶❹❺❻❼ ❽❾ ❿➀➁ ➂➃ ➄ ➅➆❶ ➂➇➈➉❶➊➋✲➌➍✶ ➎➏ ➄ ➅ ➆ ➉ ➐❶➑ ➂✶➒➓➔→➣↔➣↕➙✲