例题7.4 例74考虑五阶系统以。=+1=作为复合李雅普诺夫函数, 2 XI 3+x2 得 xxxxx V4 4:,o4:,V4 x2 2345 x=x-(+x+x)-(+x+x一x++)+x= aV4 aR aP4 aP4: a 4 +u 4 4,o4,04,04,0 用反步设计法求出控取n x1+ 制率,使系统的平衡 点稳定。 得=1+)2++x++-÷ 因此,该5阶系统在原点是全局渐进稳定 的。例题7.4 例7.4 考虑五阶系统 用反步设计法求出控 制率，使系统的平衡 点稳定。 2 3 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 x x x x x x x x x x x u  = − +  =    =  =   =  解：五阶系统控制率 由四阶系统反步法最后一步，我们知道 四阶系统当以x5作为输入时 可使系统达到全局稳定，相应的李雅普 诺夫函数为 为应用反步法，应用变量代换 可得： ( ) 3 3 3 3 5 1 2 3 4 4 1 2 3 4 3 1 2 3 , , , V V V V x x x x z x x x x x x x x      = − + + + − =     ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 1 2 3 4 1 2 1 1 3 4 1 1 1 1 , , , 2 2 2 2 V x x x x x x x x z z = + + + + + ( ) 5 5 4 1 2 3 4 z x x x x x = − , , , ( ) ( ) ( ) 2 3 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 4 3 1 2 3 4 5 4 1 2 3 4 4 4 4 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 , , , , , , x x x x x x x z x z x x x x z x x x x z u x x x x x x x x        = − + = + = + = +     = − − − −     以 作为复合李雅普诺夫函数， 得 取 得 因此，该5阶系统在原点是全局渐进稳定 的。 2 4 4 5 1 2 V V z c = +( ) ( ) 4 4 4 4 4 1 2 3 4 5 5 1 2 3 4 2 2 2 4 2 2 3 4 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 4 4 4 4 4 4 5 1 2 3 4 4 1 2 3 4 2 c V V V V V x x x x z z x x x x x x x x x x x x x x x x x z V z x x x x u x x x x x         = + + + +     = − − − + + − + + − + + + −            + − − − + +          4 4 4 4 4 1 2 3 4 5 4 1 2 3 4 V u x x x x z x x x x x          = − + + + + −      ( ) ( ) 2 2 2 4 2 2 3 4 2 2 4 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 4 5 2 V x x x x x x x x x x x x x z z c = − − − + + − + + − + + + − −    