第七章非线性系统反步控制 71吠态反馈控制 7.1.1稳定性 71.2局部浙近镇定 7.1.3全局渐近镇定 72反步设计法 73高阶系统反步设计 74高阶系统反步控制设计友用
第七章 非线性系统反步控制 7.1 状态反馈控制 7.1.1 稳定性 7.1.2 局部渐近镇定 7.1.3 全局渐近镇定 7.2 反步设计法 7.3 高阶系统反步设计 7.4 高阶系统反步控制设计应用
7.1状态反馈控制 反步控制( backstepping)技术提出了虚拟控制器的欐念,采 用反推的方法,利用系统的结枸特性递推构造出系统的李雅普 若夫函数,从而设计出控制器,保证系统的稳定性。 反步控制设计在选取李雅普若夫画数和控制器设计时有较大的 灵活性。由于其构造过程简单,处理不确定性的能力,反步 控制这种算店在飞行器、电机、机器人等控制系统中得到了广 泛的应用
7.1 状态反馈控制 反步控制（backstepping）技术提出了虚拟控制器的概念，采 用反推的方法，利用系统的结构特性递推构造出系统的李雅普 若夫函数，从而设计出控制器，保证系统的稳定性。 反步控制设计在选取李雅普若夫函数和控制器设计时有较大的 灵活性。由于其构造过程简单，处理不确定性的能力强，反步 控制这种算法在飞行器、电机、机器人等控制系统中得到了广 泛的应用
7.1.1稳定性 考虑一个部分反馈线性化系统 1=f6(,95) i=f6(7,5) 5=A+By(x)[-a(x) (7.1) 5=(A-BK) 7(x) 其中 =n=T(x)=(x)阆标是设计一个收态反馈控制律,使原 点Z=0稳定 个状态反馈控制 ll=ax(x)+B(x)ν (7.2) 其中β(x)=y(x)上述系统化为“三角”系统:=J(7,5) 通过V=-K稳定占的方程, 5=A5+B 整个闲环系统:丌=f6(7,5) (A- BK)S
7.1.1 稳定性 考虑一个部分反馈线性化系统 （7.1） 其中 目标是设计一个状态反馈控制律，使原 点z=0稳定。 一个状态反馈控制 （7.2） 其中 ，上述系统化为“三角”系统： 通过 稳定 的方程， 整个闭环系统： 0 ( , ) ( )[ ( )] f A B x u x = = + − 1 2 ( ) ( ) ( ) T x z T x T x = = = u x x v = + ( ) ( ) 1 ( ) ( ) x x − = 0 f ( , ) A Bv = = + 0 ( , ) ( ) f A BK = = − v K = − 0 ( , ) ( ) f A BK = = −
原点的渐近稳定性 原点的浙近稳定性可由系统们=f(7,0)的浙近稳定性得出: 引理如果=6(m0)的引理如果=6(7,5)是 原点是渐近稳定的,则系统输入状态稳定,则系统 1=f6(,9) 7=f0(,9) (A-)5 E=(A-BK)5 的原点也是渐近稳定的。 的原点是全局稳定的。 说明系统η=f(75)的输入一状态稳定性,不 能由η=J0(70)的原点的全局渐近稳定性甚至指 数稳定性推出。 △废電犬
原点的渐近稳定性 原点的渐近稳定性可由系统 = f 0 ( ,0) 的渐近稳定性得出： 引理 如果 是 输入-状态稳定，则系统 的原点是全局稳定的。 引理 如果 的 原点是渐近稳定的，则系统 的原点也是渐近稳定的。 0 = f ( ,0) 0 ( , ) ( ) f A BK = = − 0 = f ( , ) 0 ( , ) ( ) f A BK = = − 说明 系统 的输入-状态稳定性，不 能由 的原点的全局渐近稳定性甚至指 数稳定性推出。 0 = f ( , ) 0 = f ( ,0)
7.12局部浙近镇定 定理7.1假定系统(7.1)的相对阶为,且系统的零动态是局部 渐近稳定的,选取常数阳使得多项式K(p)=p+k-p-+…+kp+k 所有的根都严格地在左半平面内,则控制律(7.2)可以使闭环 系统局部澌近稳定。 解:其在0点的线性化后是x=0 例71考查非线性系统 x2=3x2+l1 有一个相应于纯积分器不能控模态。 但如定义输出函数为y=-2x1-x2 元=3x2+L 其相对阶是1,是因为 =-2x-x2=-2x1x2-3x2-l d t 相应的零动态(通过y=0得到)x=-2x 是稳定的 废哪常无虚
7.1.2 局部渐近镇定 定理7.1 假定系统（7.1）的相对阶为r，且系统的零动态是局部 渐近稳定的，选取常数ki使得多项式 所有的根都严格地在左半平面内，则控制律（7.2）可以使闭环 系统局部渐近稳定。 1 1 1 0 ( ) r r K p p k p k p k r − = + + + + − 例7.1 考查非线性系统 2 1 1 2 x x x = 2 2 x x u = + 3 解： 其在0点的线性化后是 有一个相应于纯积分器不能控模态。 但如定义输出函数为 其相对阶是1，是因为 相应的零动态（通过y=0得到） 是稳定的。 1 2 2 0 3 x x x u = = + 2 1 2 y x x = − − 2 1 2 1 2 2 2 2 3 dy x x x x x u dt = − − = − − − 3 1 1 x x = −2
71.3全局澌近镇定 研宪基于部分反馈线性化的全局镇定的一条途径为把控制问 魉看成一个标准的李雅谱诺夫控制器的设计问题,并因为把 系统转化成正则形式可使部分系统变成线性的,从而简化了 问题 把系统变换成正则形式后的基本思路是把μ看成内动态的输入 ,把看成输出。 ●第一步:找到一个控制规律=A()使内动态稳定,并找 出一个相应的李雅谱诺夫函嶽来证明其稳定性质。大体上 这比对原东统找一个镇定律容易,因为内动态阶数较低。 ●第二步:回到原来的全局控制问题,定义一个候选的李雅 谱诺夫函数Ⅳ作为V的一个修正,选择控制输入ν使得V是整 个閉环系统的李雅谱诺夫函数
7.1.3全局渐近镇定 研究基于部分反馈线性化的全局镇定的一条途径为把控制问 题看成一个标准的李雅谱诺夫控制器的设计问题，并因为把 系统转化成正则形式可使部分系统变成线性的，从而简化了 问题。 把系统变换成正则形式后的基本思路是把μ看成内动态的输入 ，把看成输出。 第一步：找到一个控制规律 ，使内动态稳定，并找 出一个相应的李雅谱诺夫函数来证明其稳定性质。大体上 这比对原系统找一个镇定律容易，因为内动态阶数较低。 第二步：回到原来的全局控制问题，定义一个候选的李雅 谱诺夫函数V作为V0的一个修正，选择控制输入v使得V是整 个闭环系统的李雅谱诺夫函数。 0 0 = ( )
7.2反步设计法 首先付论积分器反步的特例,考虑系统 1=f(m)+g() (7.3) l (7.4) 其中团∈R是状态,l∈R是控制输入,画数/D→R和g:D丶R在 包含原点η=0和f()=0的定以域D∈R”上是光滑的。我们要设计 一个状态反馈控制律,一致稳定原点(u=0.5=0)。 假设和8都已知,系统可看成是两部分的級联。第一部分是方程 (7.3),ξ为输入;第二部分是积分器方程(7.4)。假设方程 门73)可通过一个光滑的状态反馈控制律ξ=叭,如0)=0稳定,即 nf()+g()m)的原点是澌近稳定的
7.2 反步设计法 首先讨论积分器反步的特例，考虑系统 （7.3） （7.4） 其中 是状态， 是控制输入，函数 和 在 包含原点 和 的定义域 上是光滑的。我们要设计 一个状态反馈控制律，一致稳定原点 。 假设f和g都已知，系统可看成是两部分的级联。第一部分是方程 （7.3）， 为输入；第二部分是积分器方程（7.4）。假设方程 （7.3）可通过一个光滑的状态反馈控制律 稳定，即 的原点是渐近稳定的。 = + f g ( ) ( ) = u 1 [ , ] T T n R + u R : n f D R → : n g D R → = 0 f (0) 0 = n D R ( 0, 0) = = = = ( ), (0) 0 = + f g ( ) ( ) ( )
进一步假设已知 Lyapunov函数V(m)(光滑,正定)满足不等式 If(n+g(no(n]s-w(n), Vn (7.5) 其中m(n0是正定的。在方程(73)的右边同时加减一项gn 可以得到等价的表达式丌=[f(m)+g(m)0(7)+g(m)5-(m) 应用变量代换:=5-6m),得到系统?=(m)+8(m)(m)g(m) 导数计算: [f()+g()5] 取,二,系统化为缎联形式=D)+8(mm)+8(m) 当系统输入为零时,第一部分 具有浙近稳定的原点,这一点将用于ν的设计中,以稳定 整个系统。 会废痹大娑
进一步假设已知Lyapunov函数 （光滑，正定）满足不等式 （7.5） 其中 是正定的。在方程（7.3）的右边同时加减一项 ，可以得到等价的表达式 应用变量代换 ,得到系统 导数 计算： 取 ，系统化为级联形式 当系统输入为零时，第一部分 具有渐近稳定的原点，这一点将用于v的设计中，以稳定 整个系统。 V ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( ), V f g W D + − W ( ) g( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( )[ ( )] f g g u = + + − = z = − ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( ) f g g z z u = + + = − [ ( ) ( ) ] f g = + v u = − [ ( ) ( ) ( )] ( ) f g g z z v = + + =
用:(n.)=(m)+12,作为备 Lyapunov画数,可得 =[()+g(m)(m)+ 8(7)=+ ≤-W(m)+ o8()+2v 选取 8(m)-k,k>0 (7.6) on 得到 ≤-W()-k2 引理考虑系统(7.3)-(7.4),设是(7.3)的稳定状 态反馈控制律(0)=0 ,对于某个並建匦徵数 是满足(7.5)的 Lyapunov函数。则状态反馈控制律 (7.6)可稳定系统(7.3)-(7.4)的原点 其中(m)+[5-叭()/2为系统的 Lyapunov函数。 老發哪電堂
用 ,作为备选Lyapunov函数，可得 选取 （7.6） 得到 1 2 ( , ) ( ) 2 V V z c = + [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) c V V V f g g z zv V W g z zv = + + + − + + ( ) , 0 V v g kz k = − − 2 ( ) V W kz c − − 引理 考虑系统(7.3)-(7.4)，设 是(7.3)的稳定状 态反馈控制律 ， 对 于 某 个 正 定 函 数 是满足(7.5)的Lyapunov函数。则状态反馈控制律 (7.6)可稳定系统(7.3)-(7.4)的原点. 其中 为系统的Lyapunov函数。 ( ) (0) 0 = W V ( ), ( ) 2 V( ) [ ( )] / 2 + −
例题7.2 例7.2考虑二阶系统解上式中假设”=15=,首先考虑标量 X-X+X 系统x=x-x+x2 把x2看成是输入设计反馈控制k2=叭(x), 以稳定原点x=0。取x2=(x)=-x2-x1 取κ(x1,2)=互+至作 消去非线性项,得到x=一x1一x 为复合 Lyapunov函数 且 I(x1) 满足W(x)=-x-x≤-x R 并取 l=-x-(1+2x)(-x1-x+2)-2 因此系统x=-x1-x的原点是全局指数 稳定的。为应用反步法,应用变量代换 得到v=-x2x-=2 0(x)=x2+x+x1 所以,原点是全局渐系统的形式转换为x=x-x+ 近稳定的。 2=l+(1+2x1)-x1-x+2)
例题7.2 例7.2 考虑二阶系统 2 3 1 1 1 2 2 x x x x x u = − + = 取 作 为复合Lyapunov函数， 并取 得到 所以，原点是全局渐 近稳定的。 2 2 1 2 1 2 ( , ) 2 2 c x z V x z = + 3 1 1 1 1 2 2 u x x x x z z = − − + − − + − (1 2 )( ) 2 4 2 V x x z c = − − − 1 1 2 解 上式中假设 ，首先考虑标量 系统 把 看成是输入设计反馈控制 ， 以稳定原点 。取 消去非线性项 ，得到 且 满足 因此系统 的原点是全局指数 稳定的。为应用反步法，应用变量代换 系统的形式转换为 1 2 = = x x , 2 3 1 1 1 2 x x x x = − + 2 1 x x = ( ) 2 2 1 1 1 x x x x = = − − ( ) 3 x x x 1 1 1 = − − x2 x1 = 0 2 1 1 ( ) 2 x V x = 2 4 2 1 1 1 1 1 V x x x x x R ( ) , = − − − 3 1 1 1 x x x = − − 2 2 2 1 2 1 1 z x x x x x = − = + + ( ) 3 1 1 1 2 3 2 1 1 1 2 (1 2 )( ) x x x z z u x x x z = − − + = + + − − +