第四章无源性理论 41无源性形式 42系统的耗散性和无源性 43系统无源性的判断 44基于欧拉-拉格朗日方程的系统无源性设计 45基于哈密顿方程的系统无源设计 会废痹诺大娑
1 第四章 无源性理论 4.1 无源性形式 4.2 系统的耗散性和无源性 4.3 系统无源性的判断 4.4 基于欧拉-拉格朗日方程的系统无源性设计 4.5 基于哈密顿方程的系统无源设计
41元源性形式 ●无记忆掘数 定义无记忆西数y=h(t,l)的元源性 这里ht):[0,∞)xR→R 下面我们更一般地考查满足以下方程的东统 (t)=y1-g1() V1()和g()具有物理上的或者“类李亚普若夫”的性 质 是怎样通过一些相似系统的组合生成的
2 4.1 无源性形式 无记忆函数 定义无记忆函数 的无源性， 这里 下面我们更一般地考查满足以下方程的系统 和 具有物理上的或者“类李亚普若夫”的性 质 是怎样通过一些相似系统的组合生成的 y h t u = ( , ) ( , ) :[0, ) →p p h t u R R 1 1 1 1 ( ) ( ) T V t y u g t = − 1 V t( ) 1 g t( )
●块组合 如图V2()=y22-82(1)假设l2=y2=-y2 [1()+V2(D)]=-81(1)+82() 假设V1+V2函薮有下界,那么使用 Barblat引理 吕1 ·如果Vt≥0,g1(1)+82(D)≥0 那么函数+2有上界,则「8{()+g0) 有上界 2g2 如果画数81+g2是一致连续的,那么当1少时, [g1()+g2(D)]→>0 如果81(和8(是非负且一致连续,那么当t>∞时,81()→>0,82(1)→0 如果当t→∞时,H+V存在极服,且81+82是一致连缥的,则 [81()+g2(t)]→>0
3 块组合 2 2 2 2 ( ) ( ) T V t y u g t = − 2 1 1 2 假设 u y u y = = − , 1 2 1 2 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] d V t V t g t g t dt + = − + 如图 假设 V V 1 2 + 函数有下界，那么使用Barblat引理 • 如果 那么函数 有上界，则 有上界 • 如果函数 是一致连续的，那么当 时， • 如果 和 是非负且一致连续，那么当 时， • 如果当 时， 存在极限，且 是一致连续的，则 1 2 + t g t g t 0, ( ) ( ) 0 1 2 0 [ ( ) ( )] g t g t dt + 1 2 V V+ 1 2 g g + t → 1 2 [ ( ) ( )] 0 g t g t + → 1 g t( ) 2 g t( ) t → 1 2 g t g t ( ) 0, ( ) 0 → → t → V V 1 2 + 1 2 g g + 1 2 [ ( ) ( )] 0 g t g t + →
●块组合例题 例4.18砉查系统 x+(1)x y=h(x) 其中耗散的符号与其变元的符号一样,A(1)≥0。映射 y是无源的,因为 h(sys=h(x)x=yu-n(th(x) 这里「(5520,且对所有的x,有(1)h(x)≥0
4 块组合例题 例4.17 非线性质量-弹簧-阻尼器系统 表示从外加力F到速度 的耗散映射，因为 显然，这里是储存在系统中的总能量（动能和势能）， 是消耗的功率。 2 3 7 mx x x x F + + = 1 1 2 8 2 4 ( ) 2 8 d mx x xF x x dt + = − x 例4.18 考查系统 其中耗散 的符号与其变元的符号一样， 。映射 是无源的，因为 这里 ，且对所有的 ，有 ( ) ( ) x t x u y h x + = = ( ) 0 t u y → 0 ( ) ( ) ( ) ( ) d x h d h x x yu t h x x dt = = − 0 ( ) 0 x h d x ( ) ( ) 0 t h x
41元源性形式 ●线性系统的无原性 无源性公式的一个重要的实用持征是容易表征无 源的线性系统,因此根据无源映射,可以直接把 线性结构直接合并或者加入到非线性控制问题中 VO≥0,Re[h(jo)]≥0 当且仅当 一个严格稳定的单输 入-单输出线性系统是无源的
5 4.1 无源性形式 线性系统的无源性 无源性公式的一个重要的实用特征是容易表征无 源的线性系统，因此根据无源映射，可以直接把 线性结构直接合并或者加入到非线性控制问题中 。 ➢ 当且仅当 一个严格稳定的单输 入-单输出线性系统是无源的 0, Re[ ( )] 0 h j
41元源性形式 ●KY引理 对系统汇=Ax严格稳定的系统,有对任意的对称 正定矩阵Q,存在对称正定矩阵P,使得 AP+PA=-Q--李雅普若夫方程 令
6 4.1 无源性形式 KY引理 对系统 严格稳定的系统，有对任意的对称 正定矩阵 ，存在对称正定矩阵 ，使得 ---李雅普若夫方程。 令 x Ax = Q P T A P PA Q + = − 1 2 T V x Px = 1 2 T V x Qx = −
●42系统的耗散性和无源性 ●42.1物理系统的基本性能 耗散性( dissipativity)是与能量损失或耗散现象紧密相关的 物理系统的基本性质[22]。典型耗散系统的例子是电路,电 路中部分电能和磁场能在电阻中以热的形式耗散。在机械系 统中,摩擦也起到类似的作用。要精确地定义耗散性,需引 两个函数 一是反映流入系统能量的速率,即供给率( supply rate) 二是测量存入系统能量的存储菡数( storage function)。 这些函数是通过耗散不等式联系在一起。耗散不等式意思是 沿着耗散系统的时间轨迹供给率不少亍能量存储的增加,这 就表明了耗散系统存储的能量不能多亍外界供入的能量,二 者之差就是耗散的能量
7 4.2 系统的耗散性和无源性 4.2.1 物理系统的基本性能 耗散性（dissipativity）是与能量损失或耗散现象紧密相关的 物理系统的基本性质[22]。典型耗散系统的例子是电路，电 路中部分电能和磁场能在电阻中以热的形式耗散。在机械系 统中，摩擦也起到类似的作用。要精确地定义耗散性，需引 入两个函数： 一是反映流入系统能量的速率，即供给率（supply rate）； 二是测量存入系统能量的存储函数（storage function）。 这些函数是通过耗散不等式联系在一起。耗散不等式意思是 沿着耗散系统的时间轨迹供给率不少于能量存储的增加，这 就表明了耗散系统存储的能量不能多于外界供入的能量，二 者之差就是耗散的能量
●422系统的耗散性和无源性定义 ●考虑M输入M输出系统 Xu S 0)=x∈R (4.15) y=h(r) f是关于(x,n)局部M∈R"为输出,是关于x连续的; 式中x∈Ru∈R";为输入, 定义3.1.1(耗散性)当且仅当存在存储西数H:R"→R≥0有 H(x(m)≤H(xO)+「o(u(r),y(r)xt,T≥0(4.16) 系统S相对于O(u,y)供给率是耗散的
8 4.2.2 系统的耗散性和无源性定义 考虑M输入M输出系统 式中 ， ；为输入； 为输出，是关于x连续的； f是关于 局部Lipschitz的。 定义3.1.1（耗散性）当且仅当存在存储函数 有 则系统s相对于 供给率是耗散的。 0 ( , ), : (0) ( ), n x f x u S x x R y h x = = = (4.15) n x R m u R m y R ( , ) x u : 0 n H R R → 0 ( ( )) ( (0)) ( ( ), ( )) , 0 T H x T H x u y d T + (4.16) ( , ) u y
●422系统的耗散性和无源性定义 ●定义4.1.2(元缘性) 当系统是耗散的,且供给率ω(n,y)=uy,则S是无源的。显然 o(u 无緣性是耗散性的特铟G系统是耗散的,且 (为输入严格元缘度,),则S是输入严格无源的nP strictly passive,ISP)同理,若系统是耗散的,且 (为输入严格无缘度,),则是输出严格无源的( output strictly passive, OSP) 更具体地饼,对于系统(4.1.5),如果存在连续可微半正定 西数(存储函数)得 y≥=(x,m)=L,H(x,i(x,m)∈R 成立,则系统是无源的。 会废痹诺大娑
9 4.2.2 系统的耗散性和无源性定义 定义4.1.2（无缘性） 当系统是耗散的，且供给率 ，则s是无源的。显然 ， 无缘性是耗散性的特例。若系统是耗散的，且 （为输入严格无缘度， ），则s是输入严格无源的（input strictly passive，ISP）。同理，若系统是耗散的，且 （为输入严格无缘度， ），则是输出严格无源的（output strictly passive，OSP）。 更具体地讲，对于系统（4.1.5），如果存在连续可微半正定 函数（存储函数）使得 成立，则系统是无源的。 ( , ) T u y u y = 2 ( , ) - T i u y u y u = 0 i 2 ( , ) - T o u y u y y = 0 o ( , ) ( ), ( , ) T n m f H u y H f x u L H x x u R R x = = (4.17)
●423耗散性、无源性与稳定性 ●设系统 x x. ul ly=h(x (3.11) 为耗散(元源)系统,且H(x)≥0为相应的存储菡数。H(x)在 X-0处取严格最小值,即H(x)>H(0),x≠0则为系统(4.11) 的自由通动x=f(x,0)的稳定平衡收态。 利用H(x)研究仿射浓线性系统 f(x)+g(x) y=M(x)+(x) 的稳定性。对此,给出零状态可观测和可检测定义
10 4.2.3 耗散性、无源性与稳定性 设系统 为耗散（无源）系统，且 为相应的存储函数。 在 x=0 处取严格最小值，即 ， ，则为系统（4.11） 的自由运动 的稳定平衡状态。 利用 研究仿射非线性系统 的稳定性。对此，给出零状态可观测和可检测定义。 ( , ) ( , ) x f x u y h x u = = (3.11) H x( ) 0 H x( ) H x H ( ) (0) x 0 x f x = ( ,0) H x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f x g x u y h x j x u = + = + (4.12)
