第二章二维相平面轨线圜分析 21相平面分析的梳念 22二维系统轨线相图枸造方法 23线性系统的轨线相平面分析 24非线性系统的相平面分析 25极限环的存在 26轨线图在加热用电炉控制应用
1 第二章 二维相平面轨线图分析 2.1 相平面分析的概念 2.2 二维系统轨线相图构造方法 2.3 线性系统的轨线相平面分析 2.4 非线性系统的相平面分析 2.5 极限环的存在 2.6 轨线图在加热用电炉控制应用
本章述 ●讨论二维相平面轨线图分析是一种研宠 阶非线性系统的轨线分布的囹形方法 ●介绍、学习 Lyapunov理论 ●介绍无源性在基于欧拉-拉格朗日方程的系 统无源性设计、基于哈安顿方程的系统无 源性设计等方面的应用
2 本章概述 讨论二维相平面轨线图分析是一种研究二 阶非线性系统的轨线分布的图形方法 介绍、学习Lyapunov理论 介绍无源性在基于欧拉-拉格朗日方程的系 统无源性设计、基于哈密顿方程的系统无 源性设计等方面的应用
引言 ●二阶系统相平面轨线图思想 二阶糸统相平面轨线图分析是研宪二阶系统的图 形方法,其基本的思想就是在二维系统的状态空 间画出对应于不同初值的运动轨线,然后研宪轨 线的定性特性。通过这种方法可以知道运动的稳 定性和其它运动模式特征。 本章以二阶系统为基础,引入飞信安心系统的一 些基本欐念,特别是对于浓线性系统平衡点附件 的特性、非线性振荡和分岔
3 引言 二阶系统相平面轨线图思想 二阶系统相平面轨线图分析是研究二阶系统的图 形方法，其基本的思想就是在二维系统的状态空 间画出对应于不同初值的运动轨线，然后研究轨 线的定性特性。通过这种方法可以知道运动的稳 定性和其它运动模式特征。 本章以二阶系统为基础，引入飞信安心系统的一 些基本概念，特别是对于非线性系统平衡点附件 的特性、非线性振荡和分岔
●21相平面分析的概念 ●相图 对不同的初值的一簇相玊面轨绻称为系统的相平面图 (称图 例2.1如右图质量-弹簧系统的动态 方是中得到轨线方程为 xt x 假定质点初始停在长度为的位置,其 1n-1 解肭相位图如右图所示 x(t)=xo cos t x(t)=xo sin t
4 2.1 相平面分析的概念 ⚫ 相图 对不同的初值的一簇相平面轨线称为系统的相平面图 （简称相图） 例 2.1 如右图质量-弹簧系统的动态 方程是一个二阶微分方程 假定质点初始停在长度为的位置，其 解为 k = 1 m=1 x x + = 0 0 0 ( ) cos ( ) sin = = − x t x t x t x t x x 从上式中消去时间可得到轨线方程为 2 2 2 + = 0 x x x 则相位图如右图所示
●21相平面分析的概念 ●奇异点 系统窕父停強的京,称为平獅点;相平面上微分系统 的一个衡点,称为奇异点 何2.2非绡唑二阶系统 元+0.6元+3x+ 0 玊獅点有个,x=0和x=3.系统的轨线图妇下 类唑系统的稳定咝完全 由奇异点的本质來决定 而非绡唑系统的嘖况下 玉有一些其他复亲特亚, 如极照环
5 2.1 相平面分析的概念 ⚫ 奇异点 系统永久停驻的点，称为平衡点；相平面上微分系统 的一个平衡点，称为奇异点 例2.2 非线性二阶系统 2 x x x x + + + = 0.6 3 0 平衡点有两个， x = 0 和 x = 3 .系统的轨线图如下 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x x 线性系统的稳定性完全 由奇异点的本质来决定。 而非线性系统的情况下 还有一些其他复杂特征， 如极限环
●21相平面分析的概念 同2.3一阶系统 x+x 狠容夢淂山系统的图妇下 ↑x 稳定 不稳定 不稳定 x
6 2.1 相平面分析的概念 例2.3 一阶系统 很容易得出系统的相图如下 3 x x x = − + 4 x 不稳定 不稳定 x 稳定 -2 2
●22二维系统轨线相构造方法 ●解析 stepl:产生炅于质个变量1及炅系式的一个画数,c表示新蛤 茶仵 g( )=0 step2:解出 x(D)=g1(1),x()=g2( step3:潸去t
7 2.2 二维系统轨线相图构造方法 ⚫ 解析法 step1:产生关于两个变量 及 关系式的一个函数，c表示初始 条件 1 x x2 1 2 g x x c ( , , ) 0 = step2：解出 1 1 2 2 x t g t x t g t ( ) ( ), ( ) ( ) = = 2 2 1 2 1 1 1 2 ( , ) ( , ) = dx f x x dx f x x step3:消去 t
●22二维系统轨线相构造方法 ●解析 同2.4弹簧-质量亦程 +x=0 stepl:对对这个等式积分得到 x+x step2: X =xna =x 解析式能明确表示,其轨 step3 线图就是函数图 会废痹诺大娑
8 2.2 二维系统轨线相图构造方法 ⚫ 解析法 例2.4 弹簧-质量方程 + = 0 dx x x dx step1：对对这个等式积分得到 2 2 2 + = 0 x x x step2： 1 2 x x x x = = , 2 1 1 1 = − d x x d x x step3： 解析式能明确表示，其轨 线图就是函数图
●22二维系统轨线相构造方法 x2210x,=40 ●解析 例2.5右图是一个简化的卫星 橈张雏鏰纺統睒傢 禍誌科为负喷射。目的是 通过调节推进器点火时间来保持 线的角度为雯卫星的数 学模型为 00+c 系统的轨线图如右 其中,4是推进器产生的力矩, 是卫星的角度。 -U,O>0 U.6<0
9 2.2 二维系统轨线相图构造方法 ⚫ 解析法 U 1 P 1 例2.5 右图是一个简化的卫星 P 模型的控制系统，系统由两个推 进器控制，正、负喷射。目的是 通过调节推进器点火时间来保持 卫星天线的角度为零。卫星的数 学模型为 其中， 是推进器产生的力矩， θ是卫星的角度。 = u u , 0 ( ) , 0 − = U u t U 考虑推进器正力矩时，这时系统 的动态方程为 解得 系统的轨线图如右 2 1 = + 2U c = U x 1 x 2 x 2 2 -2 10 x 1=40 u=U -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x 1 x 2 x 2 2+2 10 x 1=40 u=-U -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
●22二维系统轨线相图构造方法 ●等斜率珐 孚找等斜率点,与给定的斜率α相等的点应蓣足条仵 d. d 2 曲线2(x1,x2)=af(x,x2)上 所有的点都具有相同的斜率α
10 2.2 二维系统轨线相图构造方法 ⚫ 等斜率法 寻找等斜率点，与给定的斜率α相等的点应该满足条件 2 2 1 2 1 1 1 2 ( , ) ( , ) = = d x f x x d x f x x 曲线 上 所有的点都具有相同的斜率α 2 1 2 1 1 2 f x x f x x ( , ) ( , ) =