第五章浓线性系统线性化控制 5非线性系统控制基本搋念 52通过线性化实现稳定 53积分控制 54线性积分控制—跟踪问题 5.5期望形态的规定
1 第五章 非线性系统线性化控制 5.1 非线性系统控制基本概念 5.2 通过线性化实现稳定 5.3 积分控制 5.4 线性积分控制—跟踪问题 5.5 期望形态的规定
5非线性系统控制基本欐念 ●5.1.1、非线性控制问题 ●控制设计目标:对于给定的被控物理系统和系统期望性态 的规范,构造反馈控制规律,使得闲环系统呈现出期望的 性态。 5.1.2、控制系统的任务分类 一般地说,控制系统的任务分为两类 镇定(调节)问题:设计镇定器(控制器)使得图环系统 的状态被镇定到平衡点附近。如机器人臂的位置控制、飞 行器高度控制、冰箱的温度控制。 ●跟踪(伺服)问题:设计的目标是构造控制器(跟踪器) 使得系统的输出跟上一个给定的时变轨线。如飞机沿着指 定的路线飞行、机器手画出一条直线或國
2 5.1 非线性系统控制基本概念 5.1.1、非线性控制问题 控制设计目标：对于给定的被控物理系统和系统期望性态 的规范，构造反馈控制规律，使得闭环系统呈现出期望的 性态。 • 5.1.2、控制系统的任务分类 一般地说，控制系统的任务分为两类： 镇定（调节）问题：设计镇定器（控制器）使得闭环系统 的状态被镇定到平衡点附近。如机器人臂的位置控制、飞 行器高度控制、冰箱的温度控制。 跟踪（伺服）问题： 设计的目标是构造控制器（跟踪器） 使得系统的输出跟上一个给定的时变轨线。如飞机沿着指 定的路线飞行、机器手画出一条直线或圆
5非线性系统控制基本欐念 ●5.1.3、镇定同题定义 定义(渐近镇定问题)设给定方程 x=f(x,4,t) 描述的非线性动力系统,寻找控制律,使得系统Ω从中 某个区域内的任意点出发,当时t→>∞时,状态x>0。 则称控制系统是澌进稳定问题 注1、如果控制规律直接依赖亍量测信号,则称为静态控制 规律,如线性控制中,比例控制是静态控制器。 注2、如果依赖于一个经过微分方程的量测信号,则称为动 态控制视律,如带有时滞的控制器是动态的控制器。 注3、定义中的Ω可以允许很大;舌则镇定问题可以充分地 用线性控制解决。 会废那大
3 5.1.3、镇定问题定义 描述的非线性动力系统，寻找控制律 ，使得系统 从中 某个区域内的任意点出发，当时 时，状态 。 则称控制系统是渐进稳定问题 5.1 非线性系统控制基本概念 定义（渐近镇定问题） 设给定方程 x f x u t = ( , , ) u t → x →0 注1、如果控制规律直接依赖于量测信号，则称为静态控制 规律，如线性控制中，比例控制是静态控制器。 注2、如果依赖于一个经过微分方程的量测信号，则称为动 态控制规律，如带有时滞的控制器是动态的控制器。 注3、定义中的 可以允许很大；否则镇定问题可以充分地 用线性控制解决。
●例题 ●例一倒立摆模型一镇定分析 假殁我们的任是将摆从较大的角度(比 如θ(0)=60)控制到垂直的丘實。镇定踞的 个荙择是如下形式 T=-k0-k6-mglsin6 其中,k和k是正常数。这样可尋到全高 稳定的闭环系统:JO+k0+k2O=0 J6- mgl sin=τ\鄄受摆的倒云摆就像稳定的质量弹簧阻 尼系统。洷意,挖制由部分组成 使系统稳定的PD(比例和懲分)反馈部分和补偿重的前馈部分。 茅一个有趣的摆箫是:x=-k6-2 mglsin 0 它辱致稳定的闭环系统变:J0+k+ mosin 6=0 个把力种粘楼公彥君犬
4 例题 J mgl − = sin 例一 倒立摆模型一镇定分析 假设我们的任务是将摆从较大的角度（比 如 ）控制到垂直的位置。镇定器的 一个选择是如下形式 其中， 和 是正常数。这样可得到全局 稳定的闭环系统： 即受控的倒立摆就像稳定的质量-弹簧-阻 尼系统。注意，控制器由两部分组成： (0) 60 = sin d p = − − − k k mgl d k p k 0 d p J k k + + = 使系统稳定的P.D（比例和微分）反馈部分和补偿重力的前馈部分。 另一个有趣的控制器是： 它导致稳定的闭环系统变： 这相当于人为地将重力场倒转并且加入粘性阻尼。 2 sin d = − − k mgl sin 0 d J k mg + + =
52通过线性化实现稳定 ●对于状态反馈稳定,考虑系统ⅸ=∫(x,u) 其中f(O,0)=0,函数f(xu)在包含原点(x=0,u=0)的定义域 D×DCR"×R内连续可微的。我们要设计的是能够稳定系统 的状态反馈控制律u=y(x),对系统x=f(x,u)在原点 (x=0,u=0)线性化,可得线性系统 x= axt bu 其中 f x=0M=0 x=0:L=0 假定矩阵对(,B)是可控的,或者至少是可稳定的。设计一个矩 阵K,使A-BK的特征值都在左半开复平面上期望的位置。接 下来把线性状态反馈控制u=-Kx运用于非线性系统x=f(x,n), 会废痹大娑
5 5.2 通过线性化实现稳定 对于状态反馈稳定，考虑系统 x f x u = ( , )
52通过线性化实现稳定 ●接上 则闭环系统为 f(x,Kx) 显然,原点是闭环系统的平衡点,方程x=f(x,Kx)在原点x=0 的线性化方程为 (x,-Kx)+(x,-Kx)(-k)1=(A-BK)x 由于A-BK具有负实部,则原点是闭环系统的渐近稳定平衡点。 设Q为任意正定对称矩阵,解关于P的 Lyapunov方程 P(A-BK)(A-BK) P=-O 则二次函数v(x)=x2Px是闭环系统原点的某领域内的 Lyapunov 函数,可以用(x)=xPx估计吸引区。 会废那诺大
6 5.2 通过线性化实现稳定 接上：
●例三考虑单摆方程日= asin e-b0+cT 解析 a=g/l>0,b=k/m20,c=/m2>0,0为摆线与纵轴之间的爽角,T 是作用与单摆的力矩,把力矩作为控袆辀入,乔俶设希置在θ=δ 处单摆稳定。为使摆在θ=δ处保持平癲,力矩义须有一个稳态 分量满足0=-asin+cr 毽择状态变量x1=6-0,x2=日摆制变量取为u=T-,状蹇方 程为 x1=x2 a[sin(x,+8)-sin8-bx, +cu 其中f(0,0)=0。牾系统在原点线嗟化,可得 A B -acos(,+d)-b -acos8-b
7 例三 考虑单摆方程 = − − + a b cT sin 2 a g l b k m c ml = = = / 0, / 0, 1/ 0, 解析： 为摆线与纵轴之间的夹角，T 是作用与单摆的力矩，把力矩作为控制输入，并假设希望在 处单摆稳定。为使摆在 处保持平衡，力矩必须有一个稳态 分量 满足 选择状态变量 ，控制变量取为 ，状态方 程为 其中 。将系统在原点线性化，可得 = T ss = 0 sin ss = − + a cT 1 2 x x = − = , ss u T T = − 1 2 2 1 2 [sin( ) sin ] x x x a x bx cu = = − + − − + f (0,0) 0 = 1 1 0 0 1 0 1 0 ; cos( ) cos x A B a x b a b c = = = = − + − − −
续解: 因秩[,AB=2所以矩阵对(A,B)是可控的。取K=[k2k],则 短阵 0 A-BK acoss-ck, -b-ck 特征多项式为 A+(6+ck,)2+acos+ch=0 当 k > d 饣、b时,特征方程具有负实部特征根 C 力矩为 T- asin S Kx k1(-d)-k2b 会废痹诺大娑
8 续解： 因秩 ，所以矩阵对 是可控的。取 ，则 矩阵 ： 特征多项式为 当 时，特征方程具有负实部特征根。 力矩为 1 2 0 1 cos A BK a ck b ck − = − − − − 2 2 1 + + + + = ( ) cos 0 b ck a ck 1 2 cos , a b k k c c − − 1 2 sin sin ( ) a a T Kx k k c c = − = − − − A AB , 2 = ( , ) A B K k k = 1 2 ,
53积分控制 。积分控制方法能保证在参扰动不至亍破坏用环 系统的稳定性下,可对所有参数扰动下实现澌近 调节 考虑系统 x=f(x,u,o) y=h(x,o) X0 其中x∈R"是状态变量,l∈R是控制输入,y∈R是受控输 幽,Jm∈R"是测得的鞠幽,∈R是由未知定参数以及扰 动组成的向量,函数f,h和h在定义域D,xD,xD2CR" XRPXR 上对(x,u)连续可撒
9 5.3 积分控制 积分控制方法能保证在参数扰动不至于破坏闭环 系统的稳定性下，可对所有参数扰动下实现渐近 调节。 考虑系统 其中 是状态变量， 是控制输入， 是受控输 出， 是测得的输出， 是由未知恒定参数以及扰 动组成的向量，函数 和 在定义域 上对 连续可微，( , , ) ( , ) ( , ) m m x f x u y h x y h x = = = n x R p u R p y R m m y R l R f h, m h n p l D D D R R R x u ( , ) x u
53积分控制 且O对是连续的。设r∈D∈R是恒定参考值并可在线测得, 设定 ∈D.=DxD 希望设计的反馈控制器能够使 (1)→>r,t→>∞ 假设y可测,即y是Vm的子集,通过在平衡点γ=给出稳 定系统来实现调节。为此,假设对亍每个v∈D,,存在唯一连 续取决于v的(x,l,满足方程 0=f( x SS 2
10 5.3 积分控制 且 对是连续的。设 是恒定参考值并可在线测得， 设定 希望设计的反馈控制器能够使 假设 可测，即 是 的子集，通过在平衡点 给出稳 定系统来实现调节。为此，假设对于每个 ，存在唯一连 续取决于v 的 ，满足方程 p r r D R r r D D D = = y t r t ( ) , → → m y = r D ( , ) ss ss x u 0 ( , , ) ( , ) ss ss ss f x u r h x = =