机器人技术 Robotics Technology 第三章:位姿和齐次变换 授课人:张毅
CHONGQING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS 机器人技术 Robotics Technology 第三章：位姿和齐次变换 授课人：张毅
机器人位姿描述和齐次变换 ◆刚体位姿的描述 ◆齐次坐标和齐次变换 ◆变换矩阵的运算 ◆欧拉角与RPY角 2△彥撑
2 刚体位姿的描述 齐次坐标和齐次变换 变换矩阵的运算 欧拉角与RPY角 机器人位姿描述和齐次变换
机器人通常是由一系列连杆和相应的运 动副组合而成的空间开式链,实现复杂的运动 ,完成规定的操作。 描述刚体的位置和姿态简称位姿)的方法 是这样的,首先规定一个坐标系,相对于该坐 标系,点的位置可以用3维列向量表示;刚体 的方位可用3×3的旋转矩阵来表示。而4×4 的齐次变换矩阵则可将刚体位置和姿态(位姿) 的描述统一起来,它具有以下优点: 3庄大
3 机器人通常是由一系列连杆和相应的运 动副组合而成的空间开式链，实现复杂的运动 ，完成规定的操作。 描述刚体的位置和姿态(简称位姿)的方法 是这样的，首先规定一个坐标系，相对于该坐 标系，点的位置可以用3维列向量表示；刚体 的方位可用3×3的旋转矩阵来表示。而4×4 的齐次变换矩阵则可将刚体位置和姿态(位姿) 的描述统一起来，它具有以下优点：
(1)它可描述刚体的位姿,描述坐标系的相 对位姿(描述)。 (2)它可表示点从一个坐标系的描述转换到 另一坐标系的描述(映射) (3)它可表示刚体运动前、后位姿描述的变 换(算子)。 因此,齐次变换在研究空间机构动力学, 机器人控制算法的综合中得到广泛应用。此外 ,在计算机图学,机器视觉的信息处理,机器 人外部环境的构型等方面也都得到广泛应用 4△彥
4 (1)它可描述刚体的位姿，描述坐标系的相 对位姿 (描述)。 (2)它可表示点从一个坐标系的描述转换到 另一坐标系的描述(映射)。 (3)它可表示刚体运动前、后位姿描述的变 换 (算子)。 因此，齐次变换在研究空间机构动力学， 机器人控制算法的综合中得到广泛应用。此外 ，在计算机图学，机器视觉的信息处理，机器 人外部环境的构型等方面也都得到广泛应用
我们需要一种描述刚体位姿、速度和 刚加速度的有效而又简便的方法。除了齐次 体变换之外,还有矢量法、旋量法和四元数 位等数学描述方法。着重介绍齐次变换,以 姿后,我们还会用到矢量法。 的 描一、位置指述一位置矢量 述 对于选定的直角坐标系{A},空间任 点P的位置可用3×1的列矢量4p表示,即用 位置矢量 P (3-1 P 5庄大
5 刚体位姿的描述 我们需要一种描述刚体位姿、速度和 加速度的有效而又简便的方法。除了齐次 变换之外，还有矢量法、旋量法和四元数 等数学描述方法。着重介绍齐次变换，以 后，我们还会用到矢量法 。 一、位置描述 —位置矢量 对于选定的直角坐标系{A}，空间任一 点 P的位置可用 3 × 1的列矢量 A p表示，即用 位置矢量 , (3 -1) P P P P z y x A
表示。其中,Px、P、Pz是点P在坐标系{A 中的三个坐标分量。AP的上标A代表选定的 参考坐标系{A}。除了直角坐标系外,我们也 可采用圆柱坐标系或球(极)坐标系来描述点 的位置。 二、方位的描述一旋转矩阵 为了规定空间某刚体B的方位,另设 直角坐标系{B}与此刚体固接。我们用坐标 系{B}的三个单位主矢最X、Yg、zB相对 于坐标系{A}的方向余弦组成的3×3矩阵 AR=YR AYB ZB (3-2)
6 表示。其中，PX、PY 、PZ是点P在坐标系{A} 中的三个坐标分量。AP的上标A代表选定的 参考坐标系{A}。除了直角坐标系外，我们也 可采用圆柱坐标系或球 (极)坐标系来描述点 的位置。 二、方位的描述—旋转矩阵 为了规定空间某刚体B的方位，另设一 直角坐标系｛B｝与此刚体固接。我们用坐标 系｛B｝的三个单位主矢最XB、YB、ZB相对 于坐标系｛A｝的方向余弦组成的3×3矩阵 R X Y Z (3- 2) B A B A B A A B
来表示刚体B相对于坐标系A的方位。 称为旋转矩阵,R有9个元素,只有3个元 素是独立的。因为次R的三个列矢量AX、 AYg和Azg都是单位主矢量,且两两相互垂 直,所以它的9个元素满足6个约束条件( 称正交条件) B B B AT A BB B X=0 B<B 7庄大
7 r r r r r r r r r R 12 13 A B 31 32 33 21 22 23 11 来表示刚体 B相对于坐标系{A}的方位 。 称为旋转矩阵 ， 有 9个元素，只有 3个元 素是独立的 。因为 的三个列矢量 A X B 、 A Y B 和 A Z B都是单位主矢量，且两两相互垂 直，所以它的 9个元素满足6个约束条件 （ 称正交条件 ） A A AA A A B B BB B B A A AA A B B B B BB X X Y Y Z Z 1 X Y Y Z Z X 0 R A B R A B
因此,旋转矩阵风是单位正交的,并且区 的逆与它的转置相同;其行列式等于1。即 R=AR R=1 以后经常用到的旋转变换矩阵是绕X轴 绕Y轴或绕Z轴转一角度θ。它们是 R(x, 0)=0 cos 8 - 0 0 Sin cos 6 8庄大
8 因此，旋转矩阵 是单位正交的，并且 的逆与它的转置相同；其行列式等于1。即 RAB RAB A 1 AT A BB B R R R 1 以后经常用到的旋转变换矩阵是绕X轴 、绕Y轴或绕Z轴转一角度θ。它们是 10 0 ( ) 0 cos sin 0 sin cos R x,θ θ θ θ θ
cos0 0-sin 0 RyO)=010 sineo cos0 cos 00 R(2,0)=sin 0 cos0 0 0 总之,我们采用位置矢量描述点 的位置,而用旋转矩阵描述物体的方位
9 cos 0 sin ( , ) 0 1 0 sin 0 cos θ θ R y θ θ cos sin 0 ( , ) sin cos 0 0 01 θ θ R z θ θ 总之，我们采用位置矢量描述点 的位置，而用旋转矩阵描述物体的方位
坐标糸的描述 为了完全描述刚体B在空间的位姿,需 要规定它的位置和姿态。因此,我们将物体 B与坐标系{B}固联。坐标系{B}的原点 般选在物体的特征点上,如质心或对称中 心等。相对参考坐标系{A},用位置矢量 APg0描述坐标系{B}的位置,而用旋转矩 阵(描述坐标系{B}的方位姿态)。因 此,坐标系{B}完全由AP0和描述。 即 B R B BO 10△產增撑
10 三、坐标系的描述 为了完全描述刚体 B在空间的位姿，需 要规定它的位置和姿态。因此，我们将物体 B与坐标系 ｛ B｝固联。坐标系｛ B｝的原点 一般选在物体的特征点上，如质心或对称中 心等。相对参考坐标系 ｛ A｝，用位置矢量 A PB0描述坐标系 ｛ B｝的位置，而用旋转矩 阵( )描述坐标系 ｛ B｝的方位 (姿态 ) 。 因 此，坐标系 ｛ B｝完全由 A PB0 和 描述 。 即 R A B R A B A A B R , P B BO