第三章非线性系统ly如ac稳定性理论 31非线性系统与平衡点 32稳定的糖念 3.3线性化与局部稳定性 3.44 babuna直接方法 35时变系统稳定性理论 56非自治系统的灬an分析 37输入-状态稳定性 38 8不稳定性定理 用 Barbalat引理作类 Lyapunov分析
1 第三章 非线性系统Lyapunov稳定性理论 3.1 非线性系统与平衡点 3.2 稳定的概念 3.3 线性化与局部稳定性 3.4 Lyapunov直接方法 3.5 时变系统稳定性理论 3.6 非自治系统的Lyapunov分析 3.7 输入-状态稳定性 3.8 不稳定性定理 3.9 用Barbalat引理作类Lyapunov分析
梳述 ●在对系统进行分析设计过程中,稳定性起 着主导作用。定性地说,如果系统从所需 要的工作点附近起动后,意味着系统以后 直将迳行停留在这一点周围,那么该系 统称作是稳定的。 ●本章讨论的主要内容是自治系统和非自治 系统 Lyapunov稳定性理论,同时也给出了 系统不稳定条件
2 概述 在对系统进行分析设计过程中，稳定性起 着主导作用。定性地说，如果系统从所需 要的工作点附近起动后，意味着系统以后 一直将运行停留在这一点周围，那么该系 统称作是稳定的。 本章讨论的主要内容是自治系统和非自治 系统Lyapunov稳定性理论，同时也给出了 系统不稳定条件
3.1线性系统与平衡点 ●3.1.1浓线性系统 个非线性动力系统通常可以用以下的非线性微 分方程描述 x三 f(, t) (3.1) 其中∫是一个n×1的非线性向量函数,而是 个n×1的状态向量 虽然系统(3.1)并不明显包含控制变量,但它是 以直接用于反馈控制系统。因为方程(3.1)可 以代表一个反馈控制系统的用环动态模型,因为 控制输入本质上是状态与时间的一个画数,所以 被吸收到坏黍统的动方程中了公子癣大
3 3.1非线性系统与平衡点 3.1.1非线性系统 一个非线性动力系统通常可以用以下的非线性微 分方程描述 （3.1） 其中 是一个 的非线性向量函数，而 是一 个 的状态向量 x f x t = ( , ) f n1 n1 虽然系统（3.1）并不明显包含控制变量，但它是 可以直接用于反馈控制系统。因为方程（3.1）可 以代表一个反馈控制系统的闭环动态模型，因为 控制输入本质上是状态与时间的一个函数，所以 被吸收到闭环系统的动态方程中了 n1
3.1线性系统与平衡点 果系统的动恋方程为x=f(x,,) 而设计的控制规律为L=g(x,t) 那么,冈环系统的动态方程为 x=f(x,g(x,t),)(32) 显然方程(3.2)和方程(3.1)是同一类型
4 3.1非线性系统与平衡点 如果系统的动态方程为 而设计的控制规律为 那么，闭环系统的动态方程为 显然方程（3.2）和方程（3.1）是同一类型 x f x u t = ( , , ) u g x t = ( , ) x f x g x t t = ( , ( , ), ) (3.2)
●3.1.2自治系统与粢自治系统 ●定义3.1线性系统(3.1)称为自治的,如果不显 含,即如果系统方程可写作 (3.3) 悉则,该系统称为浓自治的 ●控制系统上述定义只能对冈环动态给出。因为控制 系统包含控制器和裝置(包含传感器及执行器动态 ),而控制系统的非自治可能来自模型或控制器
5 3.1.2自治系统与非自治系统 定义3.1 非线性系统（3.1）称为自治的，如果不显 含，即如果系统方程可写作 否则，该系统称为非自治的 控制系统上述定义只能对闭环动态给出。因为控制 系统包含控制器和装置（包含传感器及执行器动态 ），而控制系统的非自治可能来自模型或控制器 x f x = ( ) (3.3)
●3.1.2自治系统与粢自治系统 例3.1简单模型 X=x+u 其可能变为非线性自治系统,如取 x sint 则控制是非线性痄自治的。事实上,线性时不变裝置 的自适应控制器往往使环系统变为非线性和非自治 的 自治系统与非自治系统的基本区别在于 自治系统的状态轨线不依赖于初始时刻,而非自治系 统一般要依赖亍初始时刻
6 3.1.2自治系统与非自治系统 例 3.1 简单模型 其可能变为非线性自治系统，如取： 则控制是非线性非自治的。事实上，线性时不变装置 的自适应控制器往往使闭环系统变为非线性和非自治 的。 自治系统与非自治系统的基本区别在于： 自治系统的状态轨线不依赖于初始时刻，而非自治系 统一般要依赖于初始时刻。 x x u = − +2 u x t = − sin
●3.1.3平衡点 定义3,2状态x称为一个平衡态(或平衡点) 如果一旦 xlt=x 则此后状态永返停留在X 数学上,这表明定常向量x满足 0=f(x)
7 3.1.3平衡点 定义3.2 状态 称为一个平衡态（或平衡点） 如果一旦 则此后状态永远停留在 数学上，这表明定常向量 满足 x x t x ( ) = x x 0 ( ) f x =
●3.1.3平衡点 例3.1摆MR20+b0+ MeRsin日=0记:x1=,x2= 则相应的状态方程为: R AR2~8 b sinx R 于是平衡点满足: =0.sinx,=0 因此,平衡点(O[2丌]0)(m{10)为从物理意义上讲, 它们分别对应摆的垂直向上及垂直向下的位置
8 3.1.3平衡点 例3.1 摆 记： 则相应的状态方程为： 于是平衡点满足： 因此，平衡点 为从物理意义上讲， 它们分别对应摆的垂直向上及垂直向下的位置。 R M 2 MR b MgR + + = sin 0 1 2 x x = = , 1 2 2 2 1 2 sin x x b g x x x MR R = = − − 2 1 x x = = 0, sin 0 (0[2 ],0) ( [2 ],0)
●3.1.4标称运动 ●在一些实际问题中,我们 不是关心平衡点附近的稳 定性,而是关心在甚个运 动附近的稳定性,即当系 统的运动与它的原始返动 的轨线有一个小偏离时, 它是会保持与原始轨线 的接近。 可以证明,这种运动稳定性问题可以转化为关于某 个平衡点稳定性问题。不过,这时的等价系统不是 自治的
9 3.1.4标称运动 在一些实际问题中，我们 不是关心平衡点附近的稳 定性，而是关心在某个运 动附近的稳定性，即当系 统的运动与它的原始远动 的轨线有一个小偏离时， 它是否会保持与原始轨线 的接近。 可以证明，这种运动稳定性问题可以转化为关于某 个平衡点稳定性问题。不过，这时的等价系统不是 自治的
●3.1.4标称运动 例3.2自治质量-弹簧系统 mxtkxtkx'=o 包含反应弹簧硬敛应的非线性持性。讨论初始绂为x 的轨线x(口)的运动稳定性。 设初始值扰动后为x(0)=x+8x0 相应的系统轨线记作x(t) 可以得到误差的等价方程为 me+ke+hle +3ex(t)+Bex(t]=0 不是一个自制系统
10 3.1.4标称运动 例3.2 自治质量-弹簧系统 包含反应弹簧硬效应的非线性特性。讨论初始值为 的轨线 的运动稳定性。 设初始值扰动后为 相应的系统轨线记作 可以得到误差 的等价方程为 不是一个自制系统 3 1 2 mx k x k x + + = 0 0 x x t( ) 0 0 x x x (0) = + x t( ) e 3 2 2 1 2 me k e k e e x t ex t [ 3 ( ) 3 ( )] 0 + + + + =