机器人技术 Robotics Technology 第六章:静力与形变 授课人:张毅
CHONGQING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS 机器人技术 Robotics Technology 第六章：静力与形变 授课人：张毅
6-1绪音 机器人与外界环境互相作用时,在接触的地方要 产生力和力矩,例如,操作臂抓手在抓手取物体时 ,与被抓物体之间产生作用力;多足步行机构与地 面接触时,与地面之间产生相互作用力和力矩,操 作臂在提取重物时,也要承受外教的作用(力和力 矩)。本章着重讨论操作臂在静止状态下的受力分 析和平衡关系。 2△彥撑
2 机器人与外界环境互相作用时，在接触的地方要 产生力和力矩，例如，操作臂抓手在抓手取物体时 ，与被抓物体之间产生作用力；多足步行机构与地 面接触时，与地面之间产生相互作用力和力矩，操 作臂在提取重物时，也要承受外教的作用（力和力 矩）。本章着重讨论操作臂在静止状态下的受力分 析和平衡关系。 6-1绪言
6-2连杆受力和平衡方程 操作臂一般由一系列连杆组成的开式运动链,相邻两连杆 是通过低副机构。移动副或辅动副相联。首先考虑其中的 个连杆i,将它当成刚体,对其进行静力分析。 根据图6-1画出连杆i的力,m,为连杆1作用在连杆i的 力矩,m,g为连杆i重力,作用在质心上,位置用表示。 当连杆处于平衡状态时,其上所受力的合力为零,因此得 力的平衡方程为 f-m +m, g 力矩平衡方程为 m-m df tr xm g=0 式中,P表示坐标系{+1}的原点相对于 母的表示,是连杆的质心相对于母 的表示。 图6-1连杆飾力平衡 3△
3 6-2连杆受力和平衡方程 mi 操作臂一般由一系列连杆组成的开式运动链，相邻两连杆 是通过低副机构。移动副或辅动副相联。首先考虑其中的一 个连杆i，将它当成刚体，对其进行静力分析。 根据图6-1画出连杆i上的力， 为连杆i-1作用在连杆i上的 力矩， 为连杆i的重力，作用在质心上，位置用 表示。 当连杆处于平衡状态时，其上所受力的合力为零，因此得 力的平衡方程为 力矩平衡方程为 式中， 表示坐标系{i + 1}的原点相对于 {i}的表示， 是连杆i的质心相对于{i} 的表示 。 m i g o i r 0 f f 1 m g i i i i t i m m1P1 f 1 r m g 0 i ci i i i i i i i i i i i 1 i P ci i r
通常,需要根据末端抓手上的外界作用力和力矩,依次计 算出每个连杆上的受力情况,从末端连杆依次递推到操作臂 的基座(连杆0)。暂时忽略连杆本身的重量 m1=m21+P1×f 将力和力矩m1表示在它所在的坐标系{+1}中,利用 连杆变换中的旋转变换矩阵AR,则静力从一杆向另 连杆传播的形式 f=Rtf mR m 对于旋转关节i,若不考虑关节中的摩擦,则除了绕转轴的 扭矩之外,其余各方向的力和力矩分量都由机械构件承受 为了保证连杆平衡,关节驱动力矩应该等于 mZ 对于移动关节i,除了沿Z轴方向的力之外,其余方向的力 和全部力矩均由机械构件承受。因此关节驱动力为 I =i Zi
4 i 1 i i i f f 1 1 i1 i i i i i i im m P f 通常，需要根据末端抓手上的外界作用力和力矩，依次计 算出每个连杆上的受力情况，从末端连杆依次递推到操作臂 的基座（连杆0）。暂时忽略连杆本身的重量， 将力 和力矩 表示在它所在的坐标系{i+1}中，利用 连杆变换 中的旋转变换矩阵 ，则静力从一杆向另一 连杆传播的形式 对于旋转关节i，若不考虑关节中的摩擦，则除了绕转轴的 扭矩之外，其余各方向的力和力矩分量都由机械构件承受。 为了保证连杆平衡，关节驱动力矩应该等于 对于移动关节i，除了沿 轴方向的力之外，其余方向的力 和全部力矩均由机械构件承受。因此关节驱动力为 i1 i f i1 im Ti i1 Ri i1 1 1 1 i i i i i i f R f i i i i i i i i i i im R m P f 1 1 1 i r i i i i m Z i iZ i T i i i i f Z
6-3等效关节力和力雅克比 为了方便起见,将操作臂末端受到的外力和F和力矩mn组和而成的6维 矢量 称为终端广义力矢量。而将各个关节驱动力(或力矩)组成的n维矢量 T1 称为关节力矩矢量 5庄大
5 6-3等效关节力和力雅克比 为了方便起见，将操作臂末端受到的外力和Fn和力矩mn组和而成的6维 矢量 nn n mf F 称为终端广义力矢量。而将各个关节驱动力（或力矩）组成的n维矢量 321 .. 称为关节力矩矢量
利用虚功原理,可以导出与关节力矩矢量τ相应的的终端广义力矩矢量 Fn令各关节的虚位移为,末端操作器相应的虚位移为D。相应的,各 关节所作的虚功之和为 W=·c=1a1+z22+…+znn 末端操作器所作的虚功为: w=FD= fd +f d +fd+m,+m,8,+m8 根据虚功原理,操作臂在平衡情况下,由任意虚位移产生的虚功总和为0 即关节空间虚位移产生的虚功等于操作空间虚位移产生的虚功 F·D 虚位移和D并非独立,应该满足几何约束条件。两者之间几个约束由操 作臂的雅克比说规定: D=Jdq JF △弗控
6 利用虚功原理，可以导出与关节力矩矢量 相应的的终端广义力矩矢量 F n。令各关节的虚位移为 ，末端操作器相应的虚位移为 D。相应的，各 关节所作的虚功之和为： q n n r W q q q q 1 1 2 2 末端操作器所作的虚功为： z x x y y z z m x x m y y m z z W F D f d f d f d 根据虚功原理，操作臂在平衡情况下，由任意虚位移产生的虚功总和为 0 即关节空间虚位移产生的虚功等于操作空间虚位移产生的虚功： F D q 虚位移和 D并非独立，应该满足几何约束条件。两者之间几个约束由操 作臂的雅克比说规定： D Jq J F
上式表明,若不考虑关节之间的摩擦力,在外力F的作用下,操作保持平 衡的条件是关节驱动力矩。式中的J事操作臂的雅克比矩阵。J的转置J就 是力雅克比,它把作用在末端的广义外力映射相应关节驱动关节力矩。因 此,将J「称为操作臂的力雅克比矩阵。 值得注意的是,如果雅克比J不是满秩的话,那么,沿某些方向末端操作 器处于失控状态,不能施加所需要的静力。当机构的形态接近奇异状态时 ,很小的关节力矩可能产生非常大的末端操作力。可见在力域内在位移域 样,同样存在奇异状态。 7庄大
7 上式表明，若不考虑关节之间的摩擦力，在外力 F的作用下，操作保持平 衡的条件是关节驱动力矩。式中的 J事操作臂的雅克比矩阵。J的转置 J T 就 是力雅克比，它把作用在末端的广义外力映射相应关节驱动关节力矩。因 此， 将 J T称为操作臂的力雅克比矩阵。 值得注意的是，如果雅克比 J不是满秩的话，那么，沿某些方向末端操作 器处于失控状态，不能施加所需要的静力。当机构的形态接近奇异状态时 ，很小的关节力矩可能产生非常大的末端操作力。可见在力域内在位移域 一样，同样存在奇异状态
64力和力矩的坐标变换 利用瞬时运动和静力的对偶关系,可以把静力学问题归结为相应的 微分运动问题来研究。一旦建立了瞬时运动方程或微分运动方程,也 就可以推导出相应的静力关系。这一对偶规律在设计机器人的结构和 控制问题时十分有用。本节我们说明对偶性同样存在于力和力矩的坐 标变换与微分运动的坐标变换之中。6维广义力矢量F 从坐标系{B}的描述转换到{A}中的描述可用6×6的变换矩阵相互转 置 8△產
8 6-4力和力矩的坐标变换 m f F 6 6 利用瞬时运动和静力的对偶关系，可以把静力学问题归结为相应的 微分运动问题来研究。一旦建立了瞬时运动方程或微分运动方程，也 就可以推导出相应的静力关系。这一对偶规律在设计机器人的结构和 控制问题时十分有用。本节我们说明对偶性同样存在于力和力矩的坐 标变换与微分运动的坐标变换之中。6维广义力矢量 F 从坐标系{B}的描述转换到{A}中的描述可用 的变换矩阵相互转 置
其实,我们也可以利用虚功原理来推导力和力矩的坐标变换式,并且 看出力和力矩的传递关系与微分运动的传递关系的对偶性。对于坐标系 {A}的虚位移4D,相应的在坐标系{B}内的虚位移为BD。在这两个坐 标系中的作用力分别是F4和F,根据虚功原理:“外力与等效力作功 之和为零”。可以得出 ER S(POE R 即可得出 ER Spoel 9△
9 DA DB 其实，我们也可以利用虚功原理来推导力和力矩的坐标变换式，并且 看出力和力矩的传递关系与微分运动的传递关系的对偶性。对于坐标系 {A}的虚位移 ，相应的在坐标系{B}内的虚位移为 。在这两个坐 标系中的作用力分别是 和 ，根据虚功原理：“外力与等效力作功 之和为零”。可以得出 即可得出 A AF B BF F D F D T B B T A B A A D R R S P R D A B A B AO A A B B B 0 R R S P R F F AB B AO A B B T A B T B A A 0
6-5刚体的柔度 操作臂终端在外力的作用下会产生形变。变形的大 小与操作臂的刚度以及作用力大小有关。操作臂的冈 度影响它的动态特性和在负载情况下的定位精度。 生形变的部位有连杆本身,连杆支承和关节驱动 装置。当机械臂细而长时,各连杆产生的变形是末端 变形的主要部分。但是对于多数工业机器人而言,变 形的主要来源是传动、减速装置和伺服驱动系统。 10△產增撑
10 6-5 刚体的柔度 操作臂终端在外力的作用下会产生形变。变形的大 小与操作臂的刚度以及作用力大小有关。操作臂的刚 度影响它的动态特性和在负载情况下的定位精度。 产生形变的部位有连杆本身，连杆支承和关节驱动 装置。当机械臂细而长时，各连杆产生的变形是末端 变形的主要部分。但是对于多数工业机器人而言，变 形的主要来源是传动、减速装置和伺服驱动系统