·482· 北京科技大学学报 1995年No.5 1线性充分统计量 定义1在一般线性模型{y,XB,D}下，统计量Py(P是一n×n阵)称XB的最佳 线性无偏估计，若对廿VeD,Py是XB在{y,XB,V}下的最佳线性无偏估计， 定义2在一般线性模型{y,XB,D}下，统计量Fy称为关于XB是线性充分的， 若存在矩阵B使BFy是XB的最佳线性无偏估计， 定义3非负定阵V.(∈D),称为D中最大元，如果廿VeD均有u(Su(W). 容易看出D中最大元一定存在，V,+V,+…+V,就是一个· 刻划关于XB的线性充分统计量前，先建立几个引理， 引理1在一般线性模型{y,XB,D}下，V,是D中最大元，T.=V.+XUX,U是 任一对称阵使得μ(T)=4(V,:X),有(1)4(X)=u(X'T,X),u(X)=u(X(XT,)X): (2)X'T.X(XT:XX=X. 证明：T.=V.+XUX'且(X)C(T),故X=(V.+XUX)A,从而XT,X=X'T.T.A =XA=A'T'A,说明XT.X与T:的取法无关，于是XT,X=X'TX.由于rkX =rkT.T时X≤rk(T)X=rkX'T时X=rkXT,X,而4(XT.)二4(X)显然成立，所以(X) =4(XT:).(1)的第2个结论及(2)，从此结论很容易得出， 引理2在一般线性模型{y,XB,D}下，V.是D中最大元，令T.=V.+XUX,U 是任一对称阵使得(T)=4(V,),则下面条件等价I: {P,x}≠Φ (1) r=l XT.(V,X1…y,XL)=0 (2) (V,X⊥：VXL)E4(y,X⊥) (3) (X)∩u(y,X1VX上)={0} (4) N(X:VXVX)CN(X:0::0) (5) 4(VXVXI)=μ(V,+…+V)X) (6) 4(V,X上)Su(y,+V+…+V)X⊥) (7) 引理3存在矩阵A适合AX=K,u(TA')Su(X)的充要条件是AT=K(X'TX)+X', 其中X,K是已知阵且4(K')S(X),T=V+XUX,V≥0，U=U'使得u(T)=u(:X)). 引理4对线性模型{y,XB,V},设a'y为可估函数CB的一个无偏估计，则ay 是BLUE台对零的任一个无偏估计b'y,总有cov(a'y,b'y)=0) 引理5在一般线性模型下，XB的最佳线性无偏估计存在的充要条件是Q{Px} ≠①6. 引理6如果u(C)∩(D)={O,则{PcD}E{PAB台4(A)Su(C)4(B)Su(D). 引理7∩{Px}={Pax}台∩{Pvx}≠D. 1 证明：→”显然←”·0{Px}≠台4(VX:VX(.X引理2)， 有{Pxvx}{Pnr=l.2,…,t(引理6)，{Prx∩{Pr,x}又知∩Pxx}北 京 科 技 大 学 学 报 年 线性充分统计量 定 义 在 一 般线性 模 型 夕 ， 那 ， 下 ， 统计 量 是 一 ” 。 阵 称 那 的 最 佳 线 性 无 偏 估计 ， 若 对 丫咋 ， 是 方在 ， 那 ， 叫 下 的最 佳 线 性 无 偏 估 计 定 义 在 一 般 线 性 模 型 夕 ， 那 ， 下 ， 统 计 量 称 为 关 于 那 是 线 性 充 分 的 ， 若存 在 矩 阵 使 是 那 的最 佳 线 性 无 偏 估 计 定 义 非 负 定 阵 ， 称 为 中最 大 元 ， 如果 丫咋 均 有 风均二 风 容 易 看 出 中最 大 元 一 定 存 在 ， ，十 … 十 就 是 一 个 刻 划 关 于 那 的 线性 充 分 统计 量 前 ， 先建 立 几 个 引理 引 理 在 一 般 线 性 模 型 ， 口 ， 下 ， 是 中最 大 元 ， ’ ， 是 任 一 对 称 阵 使 得 召 二 料 幻 ， 有 川 今 川’ 井 刀 ， 以幻 以 ’ 孔 幻 ， 共 ‘ 井 幻 一 ’ ’ 证 明 ’ 且 风幻仁风 ， 故 哟 ， 从 而 ’ 共 ’ 二 ， 二 ’ ’ ， 说 明 ’ 井 与 井 的 取 法 无 关 ， 于 是 ’ 共 二 ’ 君 由 于 儿 对 蕊 人 君 ’ ， 儿 ‘ 盯 人 ‘ 井 ， 而 拜 ‘ 井 幻 拜 今显 然 成 立 ， 所 以 拜 ’ 风’ 井 幻 的第 个 结 论 及 ， 从此 结论 很 容 易 得 出 引 理 在 一 般 线性 模 型 ， 郑 ， 下 ， 是 中最 大 元 ， 令 ’ ， 是 任 一 对称 阵 使 得 风 二 风 幻 ， 则 下 面 条 件 等 价 【 归几 ·， 土 ‘ ， ‘ ’ 井 土 沈 上 卜 拜 ， 洲 ‘ 拼 上 拜 幻 自 一 洲 土 一 ， 土 … 工 仁 … 风叭 且 一 从 土 卜 ， 二 十 嵘矛 拌 叭 上 二拜 … ， 土 引 理 存 在 矩 阵 适 合 ， 风 ’ 二风幻 的 充 要 条 件 是 二 ’ 刀 ’ ， 其 中 ， 是 已 知 阵且 召 ’ 拜 ， ， ， ‘ 使 得 拜 乃 拜 引 理 是 令今 引 理 笋。 引 理 引理 对 线 性 模 型 ， 那 ， 川 ， 设 ’ 为 可 估 函 数 刀的 一 个 无 偏 估 计 ， 对零 的 任 一 个 无 偏 估 计 ’ ， 总 有 ’ 夕 ， ‘力一 ‘ 刀 则 ’ 在 一 般 线 性 模 型 下 ， 那 的 最 佳 线 性 无 偏 估 计 存 在 的 充 要 条 件 是 自 尸 如 果 料 自拜 ， 则 。 二 ， 。 骨拼 归蛛 」 一 一 哟 笋饭 二 拜 证 明 “ 劝 ” 显 然 “ 仁 丫 归 ， 几 详 ‘ ， “ 风 芳 二 ‘ 引理 ， 有 蛛 到 二 · ， 一 ‘ ， ， 一 ‘ 弓 理 “ ， ’ 尸、 叭万 归 又 知 瓜马