证因极限存在与否与函数在该点的函数值无关,故可 设f(a)=F(a)=0,则由条件知f(x),F(x)在区间|a,xl(x,a 满足柯西中值定理的条件,即有 f(x) f(x)-f(a) f(s (在x与a之间), F(x) F(x)-F(a F(s) 令x>,则5)a,又因极限lin(x) x→F(x) 存在,即得 f(x lin x少0F(x)x→aF(x) 下证 因极限存在与否与函数在该点的函数值无关，故可 设f (a)=F(a)=0，则由条件知f (x), F(x)在区间[a, x]([x, a]) 满足柯西中值定理的条件，即有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f a f F x F x F a F ξ ξ − ′ = = − ′ (ξ 在x与a之间), 令x→a，则ξ→a，又因极限 存在，即得 ( ) lim ( ) x a f x → F x ′′ ( ) ( ) lim lim . ( ) ( ) x a x a f x f x → → F x F x ′ = ′ g