§3积分不等式 主要知识点: Neton- Leibnitz公式,变上限积分性质,积分中值定理,分部积分公式 范例 1、设f(x)在[a,b连续可微且f(a)=0,求证 ff(x)dx 证:f(x)=「f(ot,所以 两边对ⅹ积分即证。 2、设g(x)在0,a连续可微且g(0)=0,求证: g(x)g (x)dx 证:10My=x),且b()=(,于是有 ∫gog(0x)()h=6(0)=2(C()=(h 2 3、设f(x)≥0,∫"(x)≤0,求证:f(x)≤ f(xdx 证:设t∈[a,b],在点t处将f(x)展开成泰勒公式 f(x)=f(1)+f(x-1)+∫"(5,)x-t)2≤f()+f(1)x-1),对t积分得 (b-af(x)s∫fo+∫(x=)(oM=2/o+(x-b)(b)+(a-x)/(a) 2∫d,(:(x-b)(x)≤0,(a-x)f(a)≤0) 4、设f(x)在[a,b]连续且单调增加,求证: xf(x)dx b ∫(x)26 §3 积分不等式 主要知识点：Neton-Leibunitz 公式，变上限积分性质，积分中值定理，分部积分公式。 范例： 1、 设 f（x）在[a，b]连续可微且 f（a）= 0 ，求证：     −  b a b a f x dx b a f x dx 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) 。 证：  =  x a f (x) f (t)dt ，所以 f x f t dt dt f t dt x a f t dt a x b b a x a x a x a   −                             ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 2 2 2 。 两边对 x 积分即证。 2、 设 g（x）在[0，a]连续可微且 g（0）=0，求证： g x dx a g x g x dx a a       0 2 0 ( ) 2 ( ) ( ) 。 证 ： ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) 0 0 g x g t dt g t dt h x h x g x x x =    =  =    且 记 ，于是有 g x dx a g x g x dx h x h x dx h a g x dx a a a a                 = =  0 2 2 0 2 0 0 ( ) 2 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 。 3、 设  −     b a f x dx b a f x f x f x ( ) 2 ( ) 0 , ( ) 0 , 求证： ( ) 。 证：设 t  [a，b]，在点 t 处将 f（x）展开成泰勒公式： ( )( ) ( ) ( )( ) 2 1 ( ) ( ) ( )( ) 2 f x f t f t x t f x t f t f t x t = +  − +   t −  +  − ，对 t 积分得 2 ( ) , ( ( ) ( ) 0 , ( ) ( ) 0 ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  −  −  −  + −  = + − + −     f t dt x b f x a x f a b a f x f t dt x t f t dt f t dt x b f b a x f a b a b a b a b a  4、 设 f（x）在[a，b]连续且单调增加，求证：    +  b a b a f x dx a b xf x dx ( ) 2 ( )