证:证法一设()=J0O0m-2,(0m,则:ga)=0.并且 g(x)=xf(x) f(odt f(r) 3∫(x)- ∫(5)≥0。 证法二:(x-2)f(x)dr a )f(x)dx )f(x)dx,并 利用积分第一中值定理。 a+b 证法三对(x---)f(x)dx直接应用积分第二中值定理。 2 5、设f(x)∈Ca,bl,f(a)=f(b)=0,则 M=maxf(x)≥ f(xda (b-a) 证:(证法一)将f(x)分别在点a,b处展成泰勒公式可得: Jf(x)=|f(5x-a)≤Mx-a),|(x=f(Xx-b≤M(b-x),所以 (xk≤M(x-8M,/(xk≤MJ(b-ht=(b-a) 证法二)由f(x)=r(ou=∫f得到/(x)sM(x-a)或Mb-x),以下 与证法一相同。 6、设f(x)eCo,1,则:j(x)xsmJ(x),r(x 证:当j/(>(x时,必存在x0∈D,使f(x)=0,于是 (x)=r0dsk,再对x积分即证 7、设f(x)eC,.,x(x)bk=0(0≤k≤n-D,xf(x)=1,求证 l5∈(0,1),使(5)≥2(n+1)27 证：证法一:设 ( ) , ( ) 0, 2 ( ) ( )  = + = −   f t dt g a a t g x tf t dt t a t a 则： 并且 ( ) 0 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 1 ( ) ( )  − − − = +  = − −  f  x a f x x a f x a t g x x f x f t dt x a 。 证法二: 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a b b b a b a a a b a b a b x f x dx x f x dx x f x dx + + + + + − = − + −    ，并 利用积分第一中值定理。 证法三:对  + − b a f x dx a b x ) ( ) 2 ( 直接应用积分第二中值定理。 5、 设 f（x）  C １ [a，b]，f（a）= f（b）= 0 ，则： f x dx b a M f x b a x b − a =     ( ) ( ) 4 max ( ) 2 。 证：（证法一）将 f（x）分别在点 a ，b 处展成泰勒公式可得： f (x) = f ()(x − a)  M(x − a) , f (x) = f ()(x −b)  M(b − x) ，所以 M b a M f x dx M b x dx b a f x dx M x a dx b a b b a b a b a a b a 8 ( ) , ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 −  − = −  − =     + + + + 。 （证法二）由   =  =  x b x a f (x) f (t)dt f (t)dt 得到 f (x)  M(x − a) 或M(b − x) ，以下 与证法一相同。 6、 设 f（x）  C １ [0，1]，则：              1 0 1 0 1 0 f (x)dx max f (x) dx , f (x)dx 。 证：当    1 0 1 0 f (x)dx f (x)dx 时 ，必存在 x 0  [0，1]使 f（x 0）= 0 ，于是 f x f t dt f t dt x x   =    1 0 ( ) ( ) ( ) 0 ，再对 x 积分即证。 7、 设 f（x）  C １ [0，1]， ( ) 0 (0 1) , ( ) 1 1 0 1 0 =   − =   x f x dx k n x f x dx k n 。求证：  (0 ,1) , f ( )  2 (n +1) n  使 