证:(反证)假定对任意x∈0,1,f(x)<2”(m+1)。则由最值定理 M=mx|f(x)<2(m+1)。又由题设条件得到 1=f(x)x-)d≤M(x-)7= <1,矛盾 8、设f(x)≥0,连续「f(x)dx=1,t为任意实数,求证: f(x) cos txd+rf( x)sin txdx)≤1。 证:注意到f(x)cosx=√(x)√(x)cosx,运用柯西不等式即证。 9、设f(x)在[0,+∞)递增,求证:m「f(t=mf(x) x→+x0 证:先设imf(x)=c≠+。VE>0,丑A>0,当x>州时c-E<f(x)≤c,故 x→+ x(x)+(-)x<:(x)≤c。依次取上下极限并由的任意性即证 再设lmf(x)=+∞。则对任意M>0,存在A>0,当x>A时f(x)>M,于是 →+ (x=1(x)+(x>(x)+xMM,由M的任意性 注:①上述命题可以推广为:若对任意A>0,f(x)在0,A]可积,且imf(x)存 m = m ②若将条件lmf(x)存在改成m「f(存在,则命题不真(如f(x)=smx) x→+ 10、设f(x)在,1可微,x∈(0,1)时0<f(x)<1,f(0)=0,试证:28 证 ：（ 反 证 ） 假 定 对 任 意 x  [0 ， 1] ， f (x)  2 (n +1) n 。则由最值定理 = max ( )  2 ( + 1)   M f x n n a x b 。又由题设条件得到 1 2 ( 1) ) 2 1 ) ( 2 1 1 ( )( 1 0 1 0  + = −  − =   n M f x x dx M x dx n n n ，矛盾。 8、 设 ( )  0 , ( ) =1  b a f x 连续 f x dx ，t 为任意实数，求证： ( )cos ( )sin 1 2 2         +        b a b a f x txdx f x txdx 。 证：注意到 f (x)cos x = f (x)  f (x) cos x ，运用柯西不等式即证。 9、 设 f（x）在 [0 , ) + 递增，求证： ( ) lim ( ) 1 lim 0 f t dt f x x x x x→+ →+ =  证：先设 =  + →+ f x c x lim ( ) 。   0 , A  0 ,当x  A时c −  f (x)  c ，故 f x dx c x x x A f x dx c x A x    −  + −   0 0 ( ) 1 ( ) ( ) 1  。依次取上下极限并由  的任意性即证。 再设 = + →+ lim f (x) x 。则对任意 M > 0 ,存在 A > 0 ,当 x > A 时 f（x）> M ,于是 M M x x a f x dx x f x dx x f x dx x f x dx x x x A A x A →+ → − = +  +     0 0 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 , 由M的任意性 即证。 注：①上述命题可以推广为：若对任意 A > 0 ，f（x）在[0，A]可积，且 lim f (x) x→+ 存 在，则： ( ) lim ( ) 1 lim 0 f t dt f x x x x x→+ →+ =  。 ②若将条件 lim f (x) x→+ 存在改成  →+ x x f t dt x 0 ( ) 1 lim 存在，则命题不真（如 f(x) = sinx）。 10、 设 f（x）在[0，1]可微，x  （0，1）时 0 < f/（x）< 1，f（0）= 0 ，试证：