第1期 易才风，等：柯西积分公式及其在积分中的应用 再应用柯西积分公式(2)有 原式= +Dk+m2rD起=2-1十2号 z-1 C2z+1 2一1=-1 =0. 例3 e 求积分cz(2二2，其中C是圆环1≤1：长3的边界曲线。 解 积分曲线C是由正向曲线C:|z=3和负向曲线C1:z=1所组成的复围线，但被积函数在 C所围的二连通区域内仅有1个奇点z0=2,应用公式(3)得 e2t-ea-ggat= 2 2 2 =exi. z=2 例4求积分ce-0g+D,其中C为圆周：l:=21zoK2 分析被积函数在C所围的区域内共有4个奇点，可以以这4个奇点为圆心，以适当长为半径作小圆， 使这些小圆互不相交且都在C内，然后利用公式(3)进行求解.但利用公式(4)将使计算过程更为简捷， 解 令e)-十则/e)在C的外部区域D内及C上解析，且4=回/G)=典十1=0n 在C的内部，由公式(4)有 Jce-oe+D=。 /Ddz 2tiA=0. 2-20 例59 求积分Jc21一 e 3dz,其中C是不经过0与1的闭光滑曲线。 解 分以下4种情况讨论： （1)若闭曲线C既不包含0也不包含1则被积函数g2)=,C 一z(1二2》在C内部解析，由柯西积分定理有 「，63t=0, cz(1-z)3 (i)若0在C内而1在C外，则f(z)=e/(1一z户在C内解析，被积函数g(z)=e/儿z(1一z)月]在 C内的唯一奇点是0=0，由柯西公式(2)有 jat=1=a。-i (m)若1在C内而0在C外，则fz)=e1z在C内解析，z0=1为g(z)=e/八z1一z)]在C内的 唯一奇点，且为3阶极点，由高阶导数公式(5)有 lead-lci. (V)若0和1都在内，则分别以0,1为圆心，以P>0为半径作圆C,C2,使C1和C2也在C内，且C1与 C2互不相交，互不包含.由复围线的柯西积分定理有 e e add=e.dd 3dz 而积分 e e G亡z)z即为()的结果iJG,21亡z:即为()的结果-i.所以 e Jcz(1-d=(2-exi. 例6求积分列。-，其中n为整数。 当n≤0时，c/2在1z=1上及其内部解析，由柯西积分定理得-dz=0, 解 ?1994-2018 China Academic Joural Eleetron Publishing House..All rights reserved..htp:/人不转第2夏)再应用柯西积分公式(2)有 原式 =∫C1 (cosz)/(z +1) z -1 dz +∫C2 (cosz)/(z -1) z +1 dz =2πi cosz z +1 z =1 +2πi cosz z -1 z =-1 =0 . 例3 求积分∫C e z z(z -2) dz ,其中 C 是圆环 1 ≤|z |≤3 的边界曲线. 解 积分曲线 C 是由正向曲线C0:|z |=3 和负向曲线 C1 :|z |=1 所组成的复围线,但被积函数在 C 所围的二连通区域内仅有 1 个奇点 z 0 =2 ,应用公式(3)得 ∫C e z z(z -2) dz =∫C 0 e z z(z -2) dz -∫C 1 e z z(z -2) dz =2πi e z z z =2 =e 2πi . 例4 求积分∫C 1 (z -z 0)(z 3 +1) dz ,其中 C 为圆周 :|z |=2 , |z 0 |<2 . 分析 被积函数在 C 所围的区域内共有 4 个奇点 ,可以以这 4 个奇点为圆心,以适当长为半径作小圆, 使这些小圆互不相交且都在 C 内,然后利用公式(3)进行求解.但利用公式(4)将使计算过程更为简捷 . 解 令 f(z)= 1 z 3 +1 ,则 f(z)在 C 的外部区域D 内及C 上解析 ,且 A =limz※∞ f(z)=limz ※∞ 1 z 3 +1 =0 , z0 在 C 的内部 ,由公式(4)有 ∫C 1 (z -z 0)(z 3 +1) dz =∫C 1/(z 3 +1) z -z 0 dz =2πiA =0 . 例5 [ 5] 求积分∫C e z z(1 -z) 3dz ,其中 C 是不经过 0 与 1 的闭光滑曲线 . 解 分以下 4 种情况讨论 : (ⅰ)若闭曲线 C 既不包含0 也不包含 1,则被积函数 g(z)= e z z(1 -z)3 在 C 内部解析,由柯西积分定理有 ∫C e z z(1 -z) 3dz =0 . (ⅱ)若 0 在 C 内而 1 在 C 外 ,则 f(z)=e z /(1 -z)3 在 C 内解析, 被积函数 g(z)=e z /[ z(1 -z)3 ] 在 C 内的唯一奇点是z0 =0 ,由柯西公式(2)有 ∫C e z z(1 -z)3dz =∫C e z /(1 -z)3 z dz =2πi e z (1 -z) 3 z =0 =2πi . (ⅲ)若 1 在 C 内而 0 在 C 外,则 f(z)=e z / z 在C 内解析 ,z 0 =1 为 g(z)=e z /[ z(1 -z) 3 ] 在 C 内的 唯一奇点 ,且为 3 阶极点,由高阶导数公式(5)有 ∫C e z z(1 -z)3 dz =∫C e z / z (1 -z)3dz =-∫C e z / z (z -1)3dz =- 2πi 2！ ( e z z )″z =1 =-eπi . (ⅳ)若0 和 1 都在内,则分别以0 , 1 为圆心, 以 ρ>0 为半径作圆 C1 , C2 ,使 C1和 C2也在 C 内 ,且 C1 与 C2 互不相交 ,互不包含 .由复围线的柯西积分定理有 ∫C e z z(1 -z) 3dz =∫C1 e z z(1 -z) 3dz +∫C2 e z z(1 -z) 3dz , 而积分∫C1 e z z(1 -z) 3dz 即为(ⅱ)的结果 2πi ,∫C2 e z z(1 -z) 3dz 即为(ⅲ)的结果 -eπi .所以 ∫C e z z(1 -z)3dz =(2 -e)πi . 例6 求积分∫|z|=1 e z z n dz ,其中 n 为整数 . 解 当 n ≤0 时 , e z / z n 在|z |=1 上及其内部解析,由柯西积分定理得∫|z|=1 e z z n dz =0 . (下转第 12 页) 第 1 期 易才凤 , 等:柯西积分公式及其在积分中的应用 7