6 江西师范大学学报（自然科学版） 2010年 D十C上连续，在D内解析，z0为C内的任意一点，则 fz0)= (3) 2xi Cz-z0 f(z)dz. 2xic。z-z0 尔cz-z0 柯西积分公式还可以推广到下面无界域的情形 柯西公式在无界域的情形2-：如果函数f(z)在简单闭曲线C的外部区域D内及C上解析，并且 imfz)=A,则 L「f2)= A, 20年D, 2ti c z-Z0 (4) -f(z0)+4,z0∈D, 这里沿C的积分是按反时针方向取的. 2 高阶导数公式 由形式(1)在积分号下求导数，可推测并能证明下面的高阶导数公式. 高阶导数公式设有界区域D的边界是围线（或复围线）C,函数f(z)在D=D十C上连续，在D内 解析，则函数(z)在区域D内有各阶导数，并且 fn)(z)= e:0,a=12 (5) 这是一个用解析函数(z)的边界值表示其各阶导数内部值的积分公式. 3 积分计算举例 下面举例说明上述公式在积分计算中的应用. >3 例1求积分c5-(2十D,其中C为圆周：1z上2， 分析由观察知：函数fz)=z3/(5-z2)在z≤2内解析，g(z)=f(z)/(z-(-i)=[z3/(5- z】/(z十i)在|z≤2内有唯一奇点z=一i.可以应用柯西积分公式求解. 解应用柯西积分公式(2)有 23 Jc6-z2)(z+i)" 注2在应用柯西积分公式(2)时，除了注意f(z)的解析性外，还要注意z=z0是g(z)=f(z)/(z一z0) 在C内部的唯一奇点，如果g(z)在C的内部有2个以上奇点，则不能直接用柯西公式(2).可以先通过因式 分解或利用复围线柯西定理等进行转化，使被积函数g(z)在C内仅有唯一奇点.见下例. 例24求积分c也，其中C为圆周：1：=2. 分析z=士1是被积函数的奇点，且都在C的内部，不能直接套用柯西公式2).可以分别应用因式分 解和复围线的柯西定理，将被积函数转化成在积分曲线内部只有唯一奇点的情形，然后再用柯西公式(2)进 行求解. 解法1先将被积函数分解为部分分式，再应用柯西积分公式(2). c也=c业-c-io-=-）=0. 1 解法2分别以z=1,z=一1为圆心，R(R<I)为半径作小圆C1,C2,使C,C2互不相交且都在 |z=2的内部.此时，被积函数g(z)=(c0sz)/(z2-1)在CC2内都只有1个奇点，应用复围线的柯西定 理有 [nzd=2dz+。， -1 JC Z -1 ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.netD +C 上连续, 在 D 内解析, z 0 为 C 内的任意一点 ,则 f(z 0)= 1 2πi∫C f(z) z -z 0 dz = 1 2πi∫C 0 f(z) z -z 0 dz - 1 2πi ∑ n k =1∫C k f(z) z -z 0 dz . (3) 柯西积分公式还可以推广到下面无界域的情形. 柯西公式在无界域的情形[ 2-3] :如果函数 f(z)在简单闭曲线 C 的外部区域D 内及 C 上解析 , 并且 limz※∞ f(z)=A ,则 1 2πi∫C f(z) z -z0 dz = A , -f(z 0)+A , z 0 D , z 0 ∈ D , (4) 这里沿 C 的积分是按反时针方向取的. 2 高阶导数公式 由形式(1)在积分号下求导数 ,可推测并能证明下面的高阶导数公式 . 高阶导数公式 设有界区域 D 的边界是围线(或复围线)C ,函数 f(z)在 D =D +C 上连续, 在 D 内 解析 ,则函数 f(z)在区域 D 内有各阶导数,并且 f (n)(z)= n！ 2πi∫C f(ξ) (ξ-z)n+1dξ,z ∈ D , n =1 , 2 , …. (5) 这是一个用解析函数 f(z)的边界值表示其各阶导数内部值的积分公式 . 3 积分计算举例 下面举例说明上述公式在积分计算中的应用 . 例1 求积分∫C z 3 (5 -z 2)(z +i) dz , 其中 C 为圆周:|z |=2 . 分析 由观察知:函数 f(z)=z 3 /(5 -z 2)在 |z |≤2 内解析 , g(z)=f(z)/(z -(-i))=[ z 3 /(5 - z 2)] /(z +i)在|z |≤2 内有唯一奇点 z =-i .可以应用柯西积分公式求解 . 解 应用柯西积分公式(2)有 ∫C z 3 (5 -z 2)(z +i) dz =∫C z 3 /(5 -z 2) z -(-i) dz =2πi z 3 5 -z 2 z =-i =- π 3 . 注2 在应用柯西积分公式(2)时,除了注意 f(z)的解析性外,还要注意z =z 0是 g(z)=f(z)/(z -z 0) 在 C 内部的唯一奇点 ,如果 g(z)在 C 的内部有 2 个以上奇点, 则不能直接用柯西公式(2).可以先通过因式 分解或利用复围线柯西定理等进行转化 ,使被积函数 g(z)在 C 内仅有唯一奇点 .见下例. 例2 [ 4] 求积分∫C cosz z 2 -1 dz ,其中 C 为圆周:|z |=2 . 分析 z =±1 是被积函数的奇点 ,且都在 C 的内部,不能直接套用柯西公式(2).可以分别应用因式分 解和复围线的柯西定理, 将被积函数转化成在积分曲线内部只有唯一奇点的情形 ,然后再用柯西公式(2)进 行求解. 解法 1 先将被积函数分解为部分分式, 再应用柯西积分公式(2). ∫C cosz z 2 -1 dz = 1 2 ∫C cosz z -1 dz -∫C cosz z +1 dz = 1 2 2πicosz |z =1 -2πicosz z =-1)=0 . 解法 2 分别以 z =1 ,z =-1 为圆心, R(R <1)为半径作小圆 C1 , C2 , 使 C1 , C2 互不相交且都在 |z |=2 的内部.此时,被积函数 g(z)=(cosz)/(z 2 -1)在 C1 , C2 内都只有1 个奇点 ,应用复围线的柯西定 理有 ∫C cosz z 2 -1 dz =∫C1 cosz z 2 -1 dz +∫C2 cosz z 2 -1 dz , 6 江西师范大学学报(自然科学版) 2010 年