第4期 刘财辉，等：元素最小描述并集下的多粒度覆盖粗糙集模型 ·537. 例2给定U,C>,其中0={1,2,3,4}，C1, 0E.(X0∈0E(): C2∈C,C1={{1,2},{2,3,4},{3,4},C2= {11,3,12,4},1,3,4}。则根据定义，我们有 3)Pz.(K)）GPza,(X)）G mdc(1)={1,2},mde(2)={1,2},2,3,4}} PEG(X)CPE.(X)。 mdc,(3)=mdc(4)={3,4}mde,(1)={1,3}{1,2, 证明略。 4}mdc,(3)={1,3}md(2)=md,(4)={2,4} 定理5告诉我们，在αB变化的情况下，针对同 设X={1,2},a=0.6,B=0.3,则有 一目标概念X,使用相同算子进行近似，所得结果 M.sa6(XN)=1},0Σ.6，a6(X)=1, 是不一样的。α取值越大，相应下近似集反而越小； 而B取值越大，相应上近似集越大。 (X=U.P(=. 33种模型的关系 显然有 MΣ.ca6(X)=1}≠1,2到 这小一节讨论了3种新模型之间的内在联系和 区别。 0Σ.6a6(X)={1}≠11,2 定理6设〈U,C>是一个覆盖近似空间，其中 0.(x)=U≠11,2 C是U的覆盖的集合。对给定C1,C2,…,Cn∈C, PΣ.6a6(X)=≠1,2 0≤B<a≤1及任意的XCU,则有 定理4设〈U,C)是一个覆盖近似空间，其中 1)a=1时，有MΣ.Ga(X)=P2.a(X) C是U的覆盖的集合。对给定C1,C2,…,Cn∈C, 2)B=0时，有MΣ.(X)=0Σ.(X 0≤B<a≤1及任意的XCU,有 证明略。 M.Sa(MΣ.sa(X)C 定理7设〈U,C)一个覆盖近似空间，C,C2, …,Cn∈C。则对任意的XCU,有 MΣ.(MΣ.a(X)） 1)PΣ.G(X)G0Σ.，Ga(X) M(M(X))2M(M(X)) 2)PΣ.G(X)）C0Σ.G(N)成立。 0Σ.a(0Σ.a(X)）G0Σ.G(0E.ca(X) 证明略。 0Σ4(0Σ.4(X)20Σ.G(0Σ.G(X) 4 结论 P(P(X))P(P(X)) 当前，多粒度粗糙集的理论和应用研究已深受 广泛关注。本文在覆盖近似空间下，首先基于元素 PΣ.G(PE6(X)2PΣ(PE.G(X) 的最小描述并集并结合条件概率，提出了平均多粒 证明略。 度覆盖粗糙集，乐观多粒度覆盖粗糙集和悲观多粒 定理4告诉我们，在固定αB的情况下，针对同 度覆盖粗糙集，3种多粒度覆盖粗糙集模型。其次， 一目标概念X,使用不同算子对目标概念近似，结果 深入研究了3种模型的特有性质，探索了3种模型 集不同，但这些结果集有一定的关联。例如，用 与经典多粒度粗糙集以及已有2种多粒度覆盖粗糙 MΣ：.Ga对X进行两次近似所得结果是分别用 集模型之间的内在联系与区别，并指出本文所给模 型是经典模型在覆盖近似空间上的有效扩展。最 M2S。和1Σ，6对X进行近似结果的一个子集。 后，探讨了三种新模型之间的关系。指出当时，平均 多粒度覆盖粗糙下近似和悲观多粒度覆盖粗糙下近 定理5设〈U,C)是一个覆盖近似空间，其中 C是U的覆盖的集合。给定C1,C2,…,C。∈C, 似相等；时，平均多粒度覆盖粗糙上近似和乐观多粒 0≤B2≤B,<a1≤a2≤1及任意的X二U,则有 度覆盖粗糙上近似相等。发现悲观多粒度覆盖粗糙 集和乐观多粒度覆盖粗糙集之间具有包含关系。 1)MΣ.Sn(X)GMΣ.n(X)G 参考文献： MΣG(X)）GMΣ.G(X): 2)0E.6(X)）G0Σ.a(X)）G [1]QIAN Yuhau,LIANG Jiye,YAO Yiyu,et al.MGRS:a multi-granulation rough set [J].Information sciences,例 ２ 给定 􀎮Ｕ，Ｃ􀎯 ，其中 Ｕ ＝ ｛１，２，３，４｝ ， Ｃ１ ， Ｃ２ ∈ Ｃ ， Ｃ１ ＝ ｛｛１，２｝， ｛２，３，４｝， ｛３，４｝｝ ， Ｃ２ ＝ ｛｛１，３｝，｛２，４｝， ｛１，３，４｝｝ 。 则根据定义，我们有 ｍｄＣ１ （１） ＝ ｛｛１，２｝｝ ， ｍｄＣ１ （２） ＝ ｛｛１，２｝，｛２，３，４｝｝ ｍｄＣ１ （３） ＝ ｍｄＣ１ （４） ＝ ｛｛３，４｝｝ ｍｄＣ２ （１） ＝ ｛｛１，３｝｛１，２， ４｝｝ ｍｄＣ２ （３） ＝ ｛｛１，３｝｝ ｍｄＣ２ （２） ＝ ｍｄＣ２ （４） ＝ ｛｛２，４｝｝ 设 Ｘ ＝ ｛１，２｝ ， α ＝ ０．６， β ＝ ０．３， 则有 Ｍ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ ０．６（Ｘ） ＝ ｛１｝ ， Ｏ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ ０．６（Ｘ） ＝ ｛１｝ ， Ｏ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ ０．３ （Ｘ） ＝ Ｕ ， Ｐ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ ０．６（Ｘ） ＝ ⌀ ， 显然有 Ｍ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ ０．６（Ｘ） ＝ ｛１｝ ≠ ｛１，２｝ Ｏ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ ０．６（Ｘ） ＝ ｛１｝ ≠ ｛１，２｝ Ｏ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ ０．３ （Ｘ） ＝ Ｕ ≠ ｛１，２｝ Ｐ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ ０．６（Ｘ） ＝ ⌀ ≠ ｛１，２｝ 定理 ４ 设 􀎮Ｕ，Ｃ􀎯 是一个覆盖近似空间，其中 Ｃ 是 Ｕ 的覆盖的集合。 对给定 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ ∈ Ｃ ， ０ ≤β ＜ α ≤ １ 及任意的 Ｘ ⊆ Ｕ ，有 Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ）） ⊆ Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ）） Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ）） ⊇ Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ）） Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ）） ⊆ Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ）） Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ）） ⊇ Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ）） Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ）） ⊆ Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ）） Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ）） ⊇ Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ）） 证明略。 定理 ４ 告诉我们，在固定 α、β 的情况下，针对同 一目标概念 Ｘ ，使用不同算子对目标概念近似，结果 集不同，但这些结果集有一定的关联。 例如，用 Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α 对 Ｘ 进行两次近似所得结果是分别用 Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α 和 Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β 对 Ｘ 进行近似结果的一个子集。 定理 ５ 设 􀎮Ｕ，Ｃ􀎯 是一个覆盖近似空间，其中 Ｃ 是 Ｕ 的覆盖的集合。 给定 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ ∈ Ｃ ， ０ ≤β２ ≤ β１ ＜ α１ ≤ α２ ≤ １ 及任意的 Ｘ ⊆ Ｕ ， 则有 １） Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α２ （Ｘ） ⊆ Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α１ （Ｘ） ⊆ Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β１（Ｘ） ⊆ Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β２（Ｘ）； ２） Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α２ （Ｘ） ⊆ Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α１ （Ｘ） ⊆ Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β１（Ｘ） ⊆ Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β２（Ｘ）； ３） Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α２ （Ｘ） ⊆ Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α１ （Ｘ） ⊆ Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β１（Ｘ） ⊆ Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β２（Ｘ）。 证明略。 定理 ５ 告诉我们，在 α、β 变化的情况下，针对同 一目标概念 Ｘ ，使用相同算子进行近似，所得结果 是不一样的。 α 取值越大，相应下近似集反而越小； 而 β 取值越大，相应上近似集越大。 ３ ３ 种模型的关系 这小一节讨论了 ３ 种新模型之间的内在联系和 区别。 定理 ６ 设 􀎮Ｕ，Ｃ􀎯 是一个覆盖近似空间，其中 Ｃ 是 Ｕ 的覆盖的集合。 对给定 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ ∈ Ｃ ， ０ ≤β ＜ α ≤ １ 及任意的 Ｘ ⊆ Ｕ ， 则有 １） α ＝ １ 时，有 Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ＝ Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ２） β ＝ ０ 时，有 Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） ＝ Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） 证明略。 定理 ７ 设 􀎮Ｕ，Ｃ􀎯 一个覆盖近似空间， Ｃ１ ，Ｃ２ ， …，Ｃｎ ∈ Ｃ 。 则对任意的 Ｘ ⊆ Ｕ ， 有 １） Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ⊆ Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ２） Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） ⊆ Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） 成立。 证明略。 ４ 结论 当前，多粒度粗糙集的理论和应用研究已深受 广泛关注。 本文在覆盖近似空间下，首先基于元素 的最小描述并集并结合条件概率，提出了平均多粒 度覆盖粗糙集，乐观多粒度覆盖粗糙集和悲观多粒 度覆盖粗糙集，３ 种多粒度覆盖粗糙集模型。 其次， 深入研究了 ３ 种模型的特有性质，探索了 ３ 种模型 与经典多粒度粗糙集以及已有 ２ 种多粒度覆盖粗糙 集模型之间的内在联系与区别，并指出本文所给模 型是经典模型在覆盖近似空间上的有效扩展。 最 后，探讨了三种新模型之间的关系。 指出当时，平均 多粒度覆盖粗糙下近似和悲观多粒度覆盖粗糙下近 似相等；时，平均多粒度覆盖粗糙上近似和乐观多粒 度覆盖粗糙上近似相等。 发现悲观多粒度覆盖粗糙 集和乐观多粒度覆盖粗糙集之间具有包含关系。 参考文献： ［１］ ＱＩＡＮ Ｙｕｈａｕ， ＬＩＡＮＧ Ｊｉｙｅ， ＹＡＯ Ｙｉｙｕ， ｅｔ ａｌ． ＭＧＲＳ： ａ ｍｕｌｔｉ⁃ｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ［ Ｊ ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｃｉｅｎｃｅｓ， 第 ４ 期 刘财辉，等：元素最小描述并集下的多粒度覆盖粗糙集模型 ·５３７·