第11卷第4期 智能系统学报 Vol.11 No.4 2016年8月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Aug.2016 D0I:10.11992/is.201605034 网络出版地址：http:/www.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20160808.0830.018.html 元素最小描述并集下的多粒度覆盖粗糙集模型 刘财辉，蔡克参 (赣南师范大学数学与计算机科学学院，江西赣州341000) 摘要：为了拓展多粒度粗糙集理论在覆盖近似空间上的研究，本文利用元素的最小描述并集并结合条件概率，提 出了3种多粒度覆盖粗糙集模型。在模型定义基础上，本文研究了3种新模型的一些特有性质，探讨了新模型与一 些已有模型的内在联系与区别，对3种新模型进行了比较。研究结果表明一些已有模型是本文模型的特殊形式，是 已有模型的有效拓展。 关键词：粗糙集：多粒度：条件概率：覆盖：最小描述 中图分类号：TP18文献标志码：A文章编号：1673-4785(2016)04-0534-05 中文引用格式：刘财辉，蔡克参.元素最小描述并集下的多粒度覆盖粗糙集模型[J].智能系统学报，2016,11(4)：534-538. 英文引用格式：LIU Caihui,CAI Kecan.Multigranulation covering rough sets based on the union of minimal descriptions of ele ments[J].CAAI Transactions on Intelligent Systems,2016,11(4):534-538. Multigranulation covering rough sets based on the union of minimal descriptions of elements LIU Caihui,CAI Kecan Department of Mathematics Computer Science,Gannan Normal University,Ganzhou 341000,China) Abstract:To generalize multigranulation rough sets to a covering-based approximation space,this paper proposes three kinds of covering-based multigranulation rough sets by employing the conditional probability between the target concept and the union of the minimal descriptions of elements.Based on new definitions,some basic properties of these models were investigated and their relationships with some existing covering-based multigranulation rough sets are revealed.The inter-relationship among the three new models is also explored.The discussions show that the pro- posed models are a special form of text model,as well as extensions of some existing covering-based multigranula- tion rough sets. Keywords:rough sets;multigranulation;conditional probability;covering;minimal description 从解决实际问题的需要，Qian等[)根据“求同 了多粒度粗糙集模型和概念格理论在规则提取中的 存异”和“求同排异”两种策略，提出了多粒度粗糙 异同，为多粒度粗糙集的研究提出了新的拓展方向： 集模型，为粗糙集的理论研究开辟了一个全新领域。 Yang等[s)研究了多粒度粗糙集模型中的代价敏感 多粒度粗糙集模型的研究[2-]引起了人们广泛的关 问题，为多粒度粗糙集在实际中的应用提供了新思 注，例如，通过将三支决策思想【)引入多粒度粗糙 路：X山等[)双量化多粒度决策粗糙集模型，较好地 集，Qian等[提出了多粒度决策粗糙集模型的概 推动了多粒度粗糙集模型的应用：She等[)对多粒 念，并研究了它与已有模型的关系，指出多粒度决策 度粗糙集模型的代数结构进行了深入探索，给出了 粗糙集模型是一个更一般的模型：L等[)研究比较 一些有指导意义的结论：Huang等[8)对模糊近似空 间下的多粒度粗糙集模型进行了深入研究； 收稿日期：2016-05-31.网络出版日期：2016-08-08. 基金项目：国家自然科学基金项目(61305052,61403329.61663002). Lin等叨利用高斯核，研究了模糊信息系统下的模 通信作者：刘财辉.E-mail:iu_caihui@163.com. 糊多粒度决策粗糙集模型：Liu等[o]从粒的视角
第 １１ 卷第 ４ 期 智 能 系 统 学 报 Ｖｏｌ．１１ №．４ ２０１６ 年 ８ 月 ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ａｕｇ． ２０１６ ＤＯＩ：１０．１１９９２ ／ ｔｉｓ．２０１６０５０３４ 网络出版地址：ｈｔｔｐ： ／ ／ ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ ／ ｋｃｍｓ／ ｄｅｔａｉｌ ／ ２３．１５３８．ＴＰ．２０１６０８０８．０８３０．０１８．ｈｔｍｌ 元素最小描述并集下的多粒度覆盖粗糙集模型 刘财辉，蔡克参 （赣南师范大学 数学与计算机科学学院，江西 赣州 ３４１０００） 摘 要：为了拓展多粒度粗糙集理论在覆盖近似空间上的研究，本文利用元素的最小描述并集并结合条件概率，提 出了 ３ 种多粒度覆盖粗糙集模型。 在模型定义基础上，本文研究了 ３ 种新模型的一些特有性质，探讨了新模型与一 些已有模型的内在联系与区别，对 ３ 种新模型进行了比较。 研究结果表明一些已有模型是本文模型的特殊形式，是 已有模型的有效拓展。 关键词：粗糙集；多粒度；条件概率；覆盖； 最小描述 中图分类号：ＴＰ１８ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３－４７８５（２０１６）０４－０５３４－０５ 中文引用格式：刘财辉，蔡克参． 元素最小描述并集下的多粒度覆盖粗糙集模型［Ｊ］． 智能系统学报， ２０１６， １１（４）： ５３４－５３８． 英文引用格式：ＬＩＵ Ｃａｉｈｕｉ， ＣＡＩ Ｋｅｃａｎ． Ｍｕｌｔｉｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ ｃｏｖｅｒｉｎｇ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｕｎｉｏｎ ｏｆ ｍｉｎｉｍａｌ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ ｏｆ ｅｌｅ⁃ ｍｅｎｔｓ［Ｊ］． ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１６， １１（４）： ５３４－５３８． Ｍｕｌｔｉｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ ｃｏｖｅｒｉｎｇ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｕｎｉｏｎ ｏｆ ｍｉｎｉｍａｌ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ＬＩＵ Ｃａｉｈｕｉ， ＣＡＩ Ｋｅｃａｎ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ＆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ， Ｇａｎｎａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｇａｎｚｈｏｕ ３４１０００， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｏ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ｍｕｌｔｉｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ｔｏ ａ ｃｏｖｅｒｉｎｇ⁃ｂａｓｅｄ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｓｐａｃｅ， ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｏｐｏｓｅｓ ｔｈｒｅｅ ｋｉｎｄｓ ｏｆ ｃｏｖｅｒｉｎｇ⁃ｂａｓｅｄ ｍｕｌｔｉｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ｂｙ ｅｍｐｌｏｙｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｔａｒｇｅｔ ｃｏｎｃｅｐｔ ａｎｄ ｔｈｅ ｕｎｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔｓ． Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｎｅｗ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ， ｓｏｍｅ ｂａｓｉｃ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｍｏｄｅｌｓ ｗｅｒｅ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｓ ｗｉｔｈ ｓｏｍｅ ｅｘｉｓｔｉｎｇ ｃｏｖｅｒｉｎｇ⁃ｂａｓｅｄ ｍｕｌｔｉｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ａｒｅ ｒｅｖｅａｌｅｄ． Ｔｈｅ ｉｎｔｅｒ⁃ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ａｍｏｎｇ ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ ｎｅｗ ｍｏｄｅｌｓ ｉｓ ａｌｓｏ ｅｘｐｌｏｒｅｄ． Ｔｈｅ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏ⁃ ｐｏｓｅｄ ｍｏｄｅｌｓ ａｒｅ ａ ｓｐｅｃｉａｌ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｅｘｔ ｍｏｄｅｌ， ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓ ｏｆ ｓｏｍｅ ｅｘｉｓｔｉｎｇ ｃｏｖｅｒｉｎｇ⁃ｂａｓｅｄ ｍｕｌｔｉｇｒａｎｕｌａ⁃ ｔｉｏｎ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ； ｍｕｌｔｉｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ； ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ； ｃｏｖｅｒｉｎｇ； ｍｉｎｉｍａｌ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ 收稿日期：２０１６－０５－３１． 网络出版日期：２０１６－０８－０８． 基金项目：国家自然科学基金项目（６１３０５０５２，６１４０３３２９，６１６６３００２）． 通信作者：刘财辉．Ｅ⁃ｍａｉｌ：ｌｉｕ＿ｃａｉｈｕｉ＠ １６３．ｃｏｍ． 从解决实际问题的需要，Ｑｉａｎ 等 ［１］ 根据“求同 存异”和“求同排异”两种策略，提出了多粒度粗糙 集模型，为粗糙集的理论研究开辟了一个全新领域。 多粒度粗糙集模型的研究［２－１１］引起了人们广泛的关 注，例如，通过将三支决策思想 ［１３］ 引入多粒度粗糙 集，Ｑｉａｎ 等 ［２］ 提出了多粒度决策粗糙集模型的概 念，并研究了它与已有模型的关系，指出多粒度决策 粗糙集模型是一个更一般的模型；Ｌｉ 等 ［４］ 研究比较 了多粒度粗糙集模型和概念格理论在规则提取中的 异同，为多粒度粗糙集的研究提出了新的拓展方向； Ｙａｎｇ 等 ［５］ 研究了多粒度粗糙集模型中的代价敏感 问题，为多粒度粗糙集在实际中的应用提供了新思 路；Ｘｕ 等 ［６］ 双量化多粒度决策粗糙集模型，较好地 推动了多粒度粗糙集模型的应用；Ｓｈｅ 等 ［７］ 对多粒 度粗糙集模型的代数结构进行了深入探索，给出了 一些有指导意义的结论；Ｈｕａｎｇ 等 ［８］ 对模糊近似空 间下 的 多 粒 度 粗 糙 集 模 型 进 行 了 深 入 研 究； Ｌｉｎ 等［９］利用高斯核，研究了模糊信息系统下的模 糊多粒度决策粗糙集模型；Ｌｉｕ 等 ［１０］ 从粒的视角
第4期 刘财辉，等：元素最小描述并集下的多粒度覆盖粗糙集模型 ·535· 研究了覆盖近似空间下的多粒度粗糙集模型等。 SΣ.，6(X)={x∈Ul(Umd,(x)nX≠⑦or 1经典多粒度粗糙集的基本概念 (Umdc,(x))nX≠g or…(Umdc(x))nX≠☑} 定义1)给定覆盖近似空间〈U,C),U是 论域，C是U的一个覆盖。对任意的x∈U,称 2基于最小描述并集的多粒度覆盖粗 md(x)={K∈Clx∈KA(HSeC∧x∈S 糙集及性质 x∈S A S C K→K=S)}为x的最小描述。 定义2[山设U是论域，集函数P:2”→[0， 本节利用元素最小描述并集，给出了3种多粒 1]称为概率测度，若：1)P(U)=1:2)若A∩B= 度覆盖粗糙集，对模型的性质进行了深入分析和研 O,有P(AUB)=P(A)+P(B)。若P是U上的概 究，并探讨了3种模型在α、B变化条件下的演化。 率测度，则称P(MB)=P(AB)为事件B发生的 定义7设〈U,C)是一个覆盖近似空间，其中 P(B) C是U的覆盖的集合。对给定的C1,C2,…,C。∈C 情况下事件A发生的条件概率。 和0≤B是一个覆盖近似空间，其中 C是U的覆盖的集合。对给定C1,C2,…,Cn∈C和 (Umdc,(x))nX≠☑and… 0≤B是一个覆盖近似空间，其中 Pi.sa(X)={x∈UlP(X|Umde,(x)≥aand C是U的覆盖的集合。对给定的C1,C2,…,Cn∈ …andP(XU mdc.(x))≥a} C,则概念XSU在C,C2,…,Cn描述下的悲观多 粒度覆盖粗糙下近似和上近似定义为 PEG(X)=U-{x∈U1P(xIU SΣc(X)={x∈UlU mde(x)Xand mdc(x))≤Bor…orP(XIU mdc.(x))≤B Umdc.(x)CX and...Umde.(x)X 若PE.G(X)≠PΣ.6(X),则称X是C
研究了覆盖近似空间下的多粒度粗糙集模型等。 １ 经典多粒度粗糙集的基本概念 定义 １ ［１２］ 给定覆盖近似空间 Ｕ，Ｃ ， Ｕ 是 论域， Ｃ 是 Ｕ 的一个覆盖。 对任意的 ｘ ∈ Ｕ ，称 ｍｄ（ｘ） ＝ ｛Ｋ ∈ Ｃ ｘ ∈ Ｋ ∧ （∀Ｓ ∈ Ｃ ∧ ｘ ∈ Ｓ ∧ ｘ ∈Ｓ ∧ Ｓ ⊆ Ｋ⇒Ｋ ＝ Ｓ）｝ 为 ｘ 的最小描述。 定义 ２ ［１１］ 设 Ｕ 是论域，集函数 Ｐ：２ Ｕ → ［０， １］ 称为概率测度，若：１） Ｐ（Ｕ） ＝ １；２）若 Ａ ∩ Ｂ ＝ ⌀，有 Ｐ（Ａ ∪ Ｂ） ＝ Ｐ（Ａ） ＋ Ｐ（Ｂ）。 若 Ｐ 是 Ｕ 上的概 率测度，则称 Ｐ（Ａ Ｂ） ＝ Ｐ（Ａ ∩ Ｂ） Ｐ（Ｂ） 为事件 Ｂ 发生的 情况下事件 Ａ 发生的条件概率。 本文约定， Ａ ⊆ Ｕ 的概率定义为 Ｐ（Ａ） ＝ Ａ Ｕ ， 其中 · 表示集合的元素个数。 定义 ３ ［１］ 给定 Ｋ ＝ （Ｕ，Ｒ） ，其中 Ｒ 是等价关 系簇。 对任意给定的 Ｐ，Ｑ ∈ Ｒ 和 Ｘ ⊆ Ｕ ， 则 Ｘ 关于 Ｐ 和 Ｑ 的乐观多粒度下近似和上近似定义如下： Ｐ ＋ ＱＯ（Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ ［ｘ］ Ｐ ⊆ Ｘｏｒ ［ｘ］ Ｑ ⊆ Ｘ｝ Ｐ ＋ Ｑ Ｏ （Ｘ） ＝ ～ Ｐ ＋ ＱＯ（ ～ Ｘ） 式中 ～ Ｘ 表示 Ｘ 在 Ｕ 上的补集。 定义 ４ ［１］ 给定 Ｋ ＝ （Ｕ，Ｒ） ，其中 Ｒ 是 Ｕ 上等 价关系簇。 对任意给定的 Ｐ，Ｑ ∈ Ｒ 和 Ｘ ⊆ Ｕ ， 则 Ｘ 关于 Ｐ 和 Ｑ 的悲观多粒度下近似和上近似定义为 Ｐ ＋ ＱＰ（Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ ［ｘ］ Ｐ ⊆ Ｘ ａｎｄ ［ｘ］ Ｑ ⊆ Ｘ｝ Ｐ ＋ Ｑ Ｐ （Ｘ） ＝ ～ Ｐ ＋ ＱＰ（ ～ Ｘ） 为了后续工作的方便，先给出以下 ２ 个定义。 定义 ５ 设 Ｕ，Ｃ 是一个覆盖近似空间，其中 Ｃ 是 Ｕ 的覆盖的集合。 对给定的 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ ∈ Ｃ ， 则概念 Ｘ ⊆ Ｕ 在 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ 描述下的乐观多 粒度覆盖粗糙下近似和上近似定义为 Ｆ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ （Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ ∪ ｍｄＣ１ （ｘ） ⊆ Ｘ ｏｒ ∪ ｍｄＣ２ （ｘ） ⊆ Ｘ ｏｒ … ∪ ｍｄＣｎ （ｘ） ⊆ Ｘ｝ Ｆ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ （Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ （∪ ｍｄＣ１ （ｘ）） ∩ Ｘ ≠ ⌀ ａｎｄ （∪ ｍｄＣ２ （ｘ）） ∩ Ｘ ≠ ⌀ ａｎｄ… （∪ ｍｄＣｎ （ｘ）） ∩ Ｘ ≠ ⌀｝ 定义 ６ 设 Ｕ，Ｃ 是一个覆盖近似空间，其中 Ｃ 是 Ｕ 的覆盖的集合。 对给定的 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ ∈ Ｃ ， 则概念 Ｘ ⊆ Ｕ 在 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ 描述下的悲观多 粒度覆盖粗糙下近似和上近似定义为 Ｓ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ （Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ ∪ ｍｄＣ１ （ｘ） ⊆ Ｘ ａｎｄ ∪ ｍｄＣ２ （ｘ） ⊆ Ｘ ａｎｄ… ∪ ｍｄＣｎ （ｘ） ⊆ Ｘ｝ Ｓ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ （Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ （∪ ｍｄＣ１ （ｘ）） ∩ Ｘ ≠ ⌀ ｏｒ （∪ ｍｄＣ２ （ｘ）） ∩ Ｘ ≠ ⌀ ｏｒ…（∪ ｍｄＣｎ （ｘ）） ∩ Ｘ ≠ ⌀｝ ２ 基于最小描述并集的多粒度覆盖粗 糙集及性质 本节利用元素最小描述并集，给出了 ３ 种多粒 度覆盖粗糙集，对模型的性质进行了深入分析和研 究，并探讨了 ３ 种模型在 α 、 β 变化条件下的演化。 定义 ７ 设 Ｕ，Ｃ 是一个覆盖近似空间，其中 Ｃ 是 Ｕ 的覆盖的集合。 对给定的 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ ∈ Ｃ 和 ０ ≤ β ＜ α ≤ １， Ｘ ⊆ Ｕ 在 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ 描述下的 平均多粒度覆盖粗糙下近似和上近似定义为 Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ （Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （ｘ）） ＋ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ２ （ｘ）） ＋ … ＋ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣｎ （ｘ））） ／ ｎ ≥ α｝ Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） ＝ Ｕ － ｛ｘ ∈ Ｕ （Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （ｘ）） ＋ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ２ （ｘ）） ＋ … ＋ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣｎ （ｘ））） ／ ｎ ≤ β｝ 若 Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ≠ Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） ， 则称 Ｘ 是 Ｃ１ ，Ｃ２ ， …，Ｃｎ 描述下的平均多粒度覆盖粗糙集，否则称 Ｘ 是可定义集。 定义 ８ 设 Ｕ，Ｃ 是一个覆盖近似空间，其中 Ｃ 是 Ｕ 的覆盖的集合。 对给定 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ ∈ Ｃ 和 ０ ≤β ＜ α ≤ １，概念 Ｘ ⊆ Ｕ 在 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ 描述下 的乐观多粒度覆盖粗糙下近似和上近似定义为 Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （ｘ）） ≥ α ｏｒ …ｏｒ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣｎ （ｘ）） ≥ α｝ Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） ＝ Ｕ － ｛ｘ ∈ Ｕ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （ｘ）） ≤ β ａｎｄ…ａｎｄＰ（Ｘ ∪ ｍｄＣｎ （ｘ）） ≤ β｝ 若 Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ≠ Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） ，则称 Ｘ 是 Ｃ１ ， Ｃ２ ，…，Ｃｎ 描述下的乐观多粒度覆盖粗糙集，否则称 Ｘ 是可定义集。 定义 ９ 设 Ｕ，Ｃ 是一个覆盖近似空间，其中 Ｃ 是 Ｕ 的覆盖的集合。 对给定 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ ∈ Ｃ 和 ０ ≤β ＜ α ≤ １，概念 Ｘ ⊆ Ｕ 在 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ 描述下 的悲观多粒度覆盖粗糙下近似和上近似定义为 Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （ｘ）） ≥ α ａｎｄ … ａｎｄ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣｎ （ｘ）） ≥ α｝ Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） ＝ Ｕ － ｛ｘ ∈ Ｕ ｜ Ｐ（Ｘ ｜ ∪ ｍｄＣ１ （ｘ）） ≤β ｏｒ… ｏｒ Ｐ（Ｘ ｜ ∪ ｍｄＣｎ （ｘ）） ≤ β｝ 若 Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ≠ Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） ，则称 Ｘ 是 Ｃ１ ， 第 ４ 期 刘财辉，等：元素最小描述并集下的多粒度覆盖粗糙集模型 ·５３５·
·536· 智能系统学报 第11卷 C2,…,C.描述下的悲观多粒度覆盖粗糙集，否则称 {1,2,3,4,7,8} X是可定义集。 PΣ6(X)=11,2},PΣG(X)={1,2 下面给出一个算例对以上定义进行解释说明。 例1给定U,C>,其中U={1,2,3,4,5,6,7 下面讨论3种模型的一些基本性质。 8,9},C1,C2∈C,C1={{1,2,4,5,7,8},{2,5, 定理1设〈U,C>是一个覆盖近似空间，其中 8},{3,5,6,9}C2={{1,2,3},{4,5,6,7,8},{7, C是U的覆盖的集合。对给定C1,C2,…,Cn∈C, 8,9}。则根据定义，有 0≤B是一个覆盖近似空间，其中 P(X|Umdc,(4))=2/3 C是U的覆盖的集合。对给定C,C2,…,Cn∈C, P(X|Umdc,(5))-1/2 0≤B<a≤1及任意的XSU,则有 P(XIU mdc,(6))=1/4 1)当a=1时，有 P(X|Umdc(7))=2/3 0Σc,a(X)=Fc(X) P(XIU mdc,(8))=1 P(XIU mdc,(9))=1/4 PE.Ga(X)=SΣ.6(X) 对于C2: 2)当B=0时，有 P(X|Umdc,(1))=2/3 0Σ4(X)=SE6(X) P(XIU mdc,(2))=2/3 P(X|Umdc,(3))=2/3 P(X)=F(X) P(X|Umdc,(4))=2/5 证明限于篇幅证明略。 P(XIU mdc,(5))=2/5 定理3给定覆盖近似空间<U,C),如果C1, P(x|Umdc,(6))=2/5 C2,…,Cn∈C,且C1={C1,C2,…,Cp}，C2= P(X|Umdc,(7)=1/3 {C21,C2,…,C2},…,C。={Cn1,Cn2,…,Cm}其中 P(X|Umdc,(8))=1/3 p,9,…,r均为自然数。则对任意C∈{C,C2, P(XIU mdc,(9))=1/3 …,Cp,C1,C2,…,C2g,…,Cal,C2,…,Cnm},ij为自 若设a=2/3,B=1/2则有 然数，对给定0≤B<a≤1，下列等式不一定成立。 MΣ.4X)=1,2 1)MΣi.sa(Cw)=Cw,lΣ.4(C)=Cw MΣ.6(X)=11,2,5,8 2)(C)=Ci(C)=C 0Σ.6(X)={1,2,3,4,7,8}0Σ.6(X)= 3)P(C)=Cij,P(C)=Cijo
Ｃ２ ，…，Ｃｎ 描述下的悲观多粒度覆盖粗糙集，否则称 Ｘ 是可定义集。 下面给出一个算例对以上定义进行解释说明。 例 １ 给定 Ｕ，Ｃ ，其中 Ｕ ＝ ｛１，２，３，４，５，６，７ ８，９｝ ， Ｃ１ ，Ｃ２ ∈ Ｃ ， Ｃ１ ＝ ｛｛１，２，４，５，７，８｝， ｛２，５， ８｝， ｛３，５，６，９｝｝ Ｃ２ ＝ ｛｛１，２，３｝，｛４，５，６，７，８｝，｛７， ８，９｝｝ 。 则根据定义，有 ｍｄＣ１ （１） ＝ ｍｄＣ１ （４） ＝ ｍｄＣ１ （７） ＝ ｛｛１，２，４，５，７，８｝｝ ｍｄＣ１ （２） ＝ ｍｄＣ１ （８） ＝ ｛｛２，５，８｝｝ ｍｄＣ１ （５） ＝ ｛｛２，５，８｝，｛３，５，６，９｝｝ ｍｄＣ１ （３） ＝ ｍｄＣ１ （６） ＝ ｍｄＣ１ （９） ＝ ｛｛３，５，６，９｝｝ ｍｄＣ２ （１） ＝ ｍｄＣ２ （２） ＝ ｍｄＣ２ （３） ＝ ｛｛１，２，３｝｝ ｍｄＣ２ （４） ＝ ｍｄＣ２ （５） ＝ ｍｄＣ２ （６） ＝ ｛｛４，５，６，７，８｝｝ ｍｄＣ２ （７） ＝ ｍｄＣ２ （８） ＝ ｛｛４，５，６，７，８｝，｛７，８，９｝｝ ｍｄＣ２ （９） ＝ ｛｛７，８，９｝｝ 若 Ｘ ＝ ｛１，２，５，８｝ ，则 对于 Ｃ１ ： Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （１）） ＝ Ｐ（Ｘ ∩ （∪ ｍｄＣ１ （１））） Ｐ（∪ ｍｄＣ１ （１）） ＝ ４ ９ ６ ９ ＝ ２ ３ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （２）） ＝ １ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （３）） ＝ １ ／ ４ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （４）） ＝ ２ ／ ３ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （５）） ＝ １ ／ ２ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （６）） ＝ １ ／ ４ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （７）） ＝ ２ ／ ３ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （８）） ＝ １ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （９）） ＝ １ ／ ４ 对于 Ｃ２ ： Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ２ （１）） ＝ ２ ／ ３ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ２ （２）） ＝ ２ ／ ３ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ２ （３）） ＝ ２ ／ ３ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ２ （４）） ＝ ２ ／ ５ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ２ （５）） ＝ ２ ／ ５ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ２ （６）） ＝ ２ ／ ５ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ２ （７）） ＝ １ ／ ３ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ２ （８）） ＝ １ ／ ３ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ２ （９）） ＝ １ ／ ３ 若设 α ＝ ２ ／ ３， β ＝ １ ／ ２ 则有 Ｍ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ ２ ３ （Ｘ） ＝ ｛１，２｝ Ｍ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ １ ２ （Ｘ） ＝ ｛１，２，５，８｝ Ｏ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ ２ ３ （Ｘ） ＝ ｛１，２，３，４，７，８｝ Ｏ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ １ ２ （Ｘ） ＝ ｛１，２，３，４，７，８｝ Ｐ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ ２ ３ （Ｘ） ＝ ｛１，２｝ ， Ｐ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ １ ２ （Ｘ） ＝ ｛１，２｝ 下面讨论 ３ 种模型的一些基本性质。 定理 １ 设 Ｕ，Ｃ 是一个覆盖近似空间，其中 Ｃ 是 Ｕ 的覆盖的集合。 对给定 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ ∈ Ｃ ， ０ ≤β ＜ α ≤ １ 及任意的 Ｘ ⊆ Ｕ ， 则有 １） Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（⌀） ＝ ⌀ ， Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （⌀） ＝ ⌀ ； Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｕ） ＝ Ｕ ， Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｕ） ＝ Ｕ Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ⊆ Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） ２） Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（⌀） ＝ ⌀ ， Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （⌀） ＝ ⌀ ； Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｕ） ＝ Ｕ Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｕ） ＝ Ｕ Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ⊆ Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） ３） Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（⌀） ＝ ⌀ ， Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （⌀） ＝ ⌀ ； Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｕ） ＝ Ｕ Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｕ） ＝ Ｕ Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ⊆ Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） 定理 ２ 设 Ｕ，Ｃ 是一个覆盖近似空间，其中 Ｃ 是 Ｕ 的覆盖的集合。 对给定 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ ∈ Ｃ ， ０ ≤β ＜ α ≤ １ 及任意的 Ｘ ⊆ Ｕ ， 则有 １）当 α ＝ １ 时，有 Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ＝ Ｆ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ （Ｘ） Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ＝ Ｓ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ （Ｘ） ２）当 β ＝ ０ 时，有 Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） ＝ Ｓ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ （Ｘ） Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） ＝ Ｆ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ （Ｘ） 证明 限于篇幅证明略。 定理 ３ 给定覆盖近似空间 Ｕ，Ｃ ， 如果 Ｃ１ ， Ｃ２ ，…，Ｃｎ ∈ Ｃ ，且 Ｃ１ ＝ ｛Ｃ１１ ，Ｃ１２ ，…，Ｃ１ｐ｝ ， Ｃ２ ＝ ｛Ｃ２１ ，Ｃ２２ ，…，Ｃ２ｑ｝ ，… ， Ｃｎ ＝ ｛Ｃｎ１ ，Ｃｎ２ ，…，Ｃｎｒ｝ 其中 ｐ ， ｑ ，…， ｒ 均为自然数。 则对任意 Ｃｉ，ｊ ∈ ｛Ｃ１１ ，Ｃ１２ ， …，Ｃ１ｐ，Ｃ２１ ，Ｃ２２ ，…，Ｃ２ｑ，…，Ｃｎ１ ，Ｃｎ２ ，…，Ｃｎｒ｝ ， ｉ，ｊ 为自 然数，对给定 ０ ≤ β ＜ α ≤ １， 下列等式不一定成立。 １） Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｃｉ，ｊ） ＝ Ｃｉ，ｊ ， Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｃｉ，ｊ） ＝ Ｃｉ，ｊ； ２） Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｃｉ，ｊ） ＝ Ｃｉ，ｊ ， Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｃｉ，ｊ） ＝ Ｃｉ，ｊ； ３） Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｃｉ，ｊ） ＝ Ｃｉ，ｊ ， Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｃｉ，ｊ） ＝ Ｃｉ，ｊ。 ·５３６· 智 能 系 统 学 报 第 １１ 卷
第4期 刘财辉，等：元素最小描述并集下的多粒度覆盖粗糙集模型 ·537. 例2给定U,C>,其中0={1,2,3,4}，C1, 0E.(X0∈0E(): C2∈C,C1={{1,2},{2,3,4},{3,4},C2= {11,3,12,4},1,3,4}。则根据定义，我们有 3)Pz.(K)）GPza,(X)）G mdc(1)={1,2},mde(2)={1,2},2,3,4}} PEG(X)CPE.(X)。 mdc,(3)=mdc(4)={3,4}mde,(1)={1,3}{1,2, 证明略。 4}mdc,(3)={1,3}md(2)=md,(4)={2,4} 定理5告诉我们，在αB变化的情况下，针对同 设X={1,2},a=0.6,B=0.3,则有 一目标概念X,使用相同算子进行近似，所得结果 M.sa6(XN)=1},0Σ.6，a6(X)=1, 是不一样的。α取值越大，相应下近似集反而越小； 而B取值越大，相应上近似集越大。 (X=U.P(=. 33种模型的关系 显然有 MΣ.ca6(X)=1}≠1,2到 这小一节讨论了3种新模型之间的内在联系和 区别。 0Σ.6a6(X)={1}≠11,2 定理6设〈U,C>是一个覆盖近似空间，其中 0.(x)=U≠11,2 C是U的覆盖的集合。对给定C1,C2,…,Cn∈C, PΣ.6a6(X)=≠1,2 0≤B<a≤1及任意的XCU,则有 定理4设〈U,C)是一个覆盖近似空间，其中 1)a=1时，有MΣ.Ga(X)=P2.a(X) C是U的覆盖的集合。对给定C1,C2,…,Cn∈C, 2)B=0时，有MΣ.(X)=0Σ.(X 0≤B<a≤1及任意的XCU,有 证明略。 M.Sa(MΣ.sa(X)C 定理7设〈U,C)一个覆盖近似空间，C,C2, …,Cn∈C。则对任意的XCU,有 MΣ.(MΣ.a(X)） 1)PΣ.G(X)G0Σ.，Ga(X) M(M(X))2M(M(X)) 2)PΣ.G(X)）C0Σ.G(N)成立。 0Σ.a(0Σ.a(X)）G0Σ.G(0E.ca(X) 证明略。 0Σ4(0Σ.4(X)20Σ.G(0Σ.G(X) 4 结论 P(P(X))P(P(X)) 当前，多粒度粗糙集的理论和应用研究已深受 广泛关注。本文在覆盖近似空间下，首先基于元素 PΣ.G(PE6(X)2PΣ(PE.G(X) 的最小描述并集并结合条件概率，提出了平均多粒 证明略。 度覆盖粗糙集，乐观多粒度覆盖粗糙集和悲观多粒 定理4告诉我们，在固定αB的情况下，针对同 度覆盖粗糙集，3种多粒度覆盖粗糙集模型。其次， 一目标概念X,使用不同算子对目标概念近似，结果 深入研究了3种模型的特有性质，探索了3种模型 集不同，但这些结果集有一定的关联。例如，用 与经典多粒度粗糙集以及已有2种多粒度覆盖粗糙 MΣ：.Ga对X进行两次近似所得结果是分别用 集模型之间的内在联系与区别，并指出本文所给模 型是经典模型在覆盖近似空间上的有效扩展。最 M2S。和1Σ，6对X进行近似结果的一个子集。 后，探讨了三种新模型之间的关系。指出当时，平均 多粒度覆盖粗糙下近似和悲观多粒度覆盖粗糙下近 定理5设〈U,C)是一个覆盖近似空间，其中 C是U的覆盖的集合。给定C1,C2,…,C。∈C, 似相等；时，平均多粒度覆盖粗糙上近似和乐观多粒 0≤B2≤B,<a1≤a2≤1及任意的X二U,则有 度覆盖粗糙上近似相等。发现悲观多粒度覆盖粗糙 集和乐观多粒度覆盖粗糙集之间具有包含关系。 1)MΣ.Sn(X)GMΣ.n(X)G 参考文献： MΣG(X)）GMΣ.G(X): 2)0E.6(X)）G0Σ.a(X)）G [1]QIAN Yuhau,LIANG Jiye,YAO Yiyu,et al.MGRS:a multi-granulation rough set [J].Information sciences
例 ２ 给定 Ｕ，Ｃ ，其中 Ｕ ＝ ｛１，２，３，４｝ ， Ｃ１ ， Ｃ２ ∈ Ｃ ， Ｃ１ ＝ ｛｛１，２｝， ｛２，３，４｝， ｛３，４｝｝ ， Ｃ２ ＝ ｛｛１，３｝，｛２，４｝， ｛１，３，４｝｝ 。 则根据定义，我们有 ｍｄＣ１ （１） ＝ ｛｛１，２｝｝ ， ｍｄＣ１ （２） ＝ ｛｛１，２｝，｛２，３，４｝｝ ｍｄＣ１ （３） ＝ ｍｄＣ１ （４） ＝ ｛｛３，４｝｝ ｍｄＣ２ （１） ＝ ｛｛１，３｝｛１，２， ４｝｝ ｍｄＣ２ （３） ＝ ｛｛１，３｝｝ ｍｄＣ２ （２） ＝ ｍｄＣ２ （４） ＝ ｛｛２，４｝｝ 设 Ｘ ＝ ｛１，２｝ ， α ＝ ０．６， β ＝ ０．３， 则有 Ｍ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ ０．６（Ｘ） ＝ ｛１｝ ， Ｏ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ ０．６（Ｘ） ＝ ｛１｝ ， Ｏ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ ０．３ （Ｘ） ＝ Ｕ ， Ｐ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ ０．６（Ｘ） ＝ ⌀ ， 显然有 Ｍ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ ０．６（Ｘ） ＝ ｛１｝ ≠ ｛１，２｝ Ｏ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ ０．６（Ｘ） ＝ ｛１｝ ≠ ｛１，２｝ Ｏ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ ０．３ （Ｘ） ＝ Ｕ ≠ ｛１，２｝ Ｐ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ ０．６（Ｘ） ＝ ⌀ ≠ ｛１，２｝ 定理 ４ 设 Ｕ，Ｃ 是一个覆盖近似空间，其中 Ｃ 是 Ｕ 的覆盖的集合。 对给定 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ ∈ Ｃ ， ０ ≤β ＜ α ≤ １ 及任意的 Ｘ ⊆ Ｕ ，有 Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ）） ⊆ Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ）） Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ）） ⊇ Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ）） Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ）） ⊆ Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ）） Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ）） ⊇ Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ）） Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ）） ⊆ Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ）） Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ）） ⊇ Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ）） 证明略。 定理 ４ 告诉我们，在固定 α、β 的情况下，针对同 一目标概念 Ｘ ，使用不同算子对目标概念近似，结果 集不同，但这些结果集有一定的关联。 例如，用 Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α 对 Ｘ 进行两次近似所得结果是分别用 Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α 和 Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β 对 Ｘ 进行近似结果的一个子集。 定理 ５ 设 Ｕ，Ｃ 是一个覆盖近似空间，其中 Ｃ 是 Ｕ 的覆盖的集合。 给定 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ ∈ Ｃ ， ０ ≤β２ ≤ β１ ＜ α１ ≤ α２ ≤ １ 及任意的 Ｘ ⊆ Ｕ ， 则有 １） Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α２ （Ｘ） ⊆ Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α１ （Ｘ） ⊆ Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β１（Ｘ） ⊆ Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β２（Ｘ）； ２） Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α２ （Ｘ） ⊆ Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α１ （Ｘ） ⊆ Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β１（Ｘ） ⊆ Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β２（Ｘ）； ３） Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α２ （Ｘ） ⊆ Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α１ （Ｘ） ⊆ Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β１（Ｘ） ⊆ Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β２（Ｘ）。 证明略。 定理 ５ 告诉我们，在 α、β 变化的情况下，针对同 一目标概念 Ｘ ，使用相同算子进行近似，所得结果 是不一样的。 α 取值越大，相应下近似集反而越小； 而 β 取值越大，相应上近似集越大。 ３ ３ 种模型的关系 这小一节讨论了 ３ 种新模型之间的内在联系和 区别。 定理 ６ 设 Ｕ，Ｃ 是一个覆盖近似空间，其中 Ｃ 是 Ｕ 的覆盖的集合。 对给定 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ ∈ Ｃ ， ０ ≤β ＜ α ≤ １ 及任意的 Ｘ ⊆ Ｕ ， 则有 １） α ＝ １ 时，有 Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ＝ Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ２） β ＝ ０ 时，有 Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） ＝ Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） 证明略。 定理 ７ 设 Ｕ，Ｃ 一个覆盖近似空间， Ｃ１ ，Ｃ２ ， …，Ｃｎ ∈ Ｃ 。 则对任意的 Ｘ ⊆ Ｕ ， 有 １） Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ⊆ Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ２） Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） ⊆ Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） 成立。 证明略。 ４ 结论 当前，多粒度粗糙集的理论和应用研究已深受 广泛关注。 本文在覆盖近似空间下，首先基于元素 的最小描述并集并结合条件概率，提出了平均多粒 度覆盖粗糙集，乐观多粒度覆盖粗糙集和悲观多粒 度覆盖粗糙集，３ 种多粒度覆盖粗糙集模型。 其次， 深入研究了 ３ 种模型的特有性质，探索了 ３ 种模型 与经典多粒度粗糙集以及已有 ２ 种多粒度覆盖粗糙 集模型之间的内在联系与区别，并指出本文所给模 型是经典模型在覆盖近似空间上的有效扩展。 最 后，探讨了三种新模型之间的关系。 指出当时，平均 多粒度覆盖粗糙下近似和悲观多粒度覆盖粗糙下近 似相等；时，平均多粒度覆盖粗糙上近似和乐观多粒 度覆盖粗糙上近似相等。 发现悲观多粒度覆盖粗糙 集和乐观多粒度覆盖粗糙集之间具有包含关系。 参考文献： ［１］ ＱＩＡＮ Ｙｕｈａｕ， ＬＩＡＮＧ Ｊｉｙｅ， ＹＡＯ Ｙｉｙｕ， ｅｔ ａｌ． ＭＧＲＳ： ａ ｍｕｌｔｉ⁃ｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ［ Ｊ ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｃｉｅｎｃｅｓ， 第 ４ 期 刘财辉，等：元素最小描述并集下的多粒度覆盖粗糙集模型 ·５３７·
.538. 智能系统学报 第11卷 2010,180(6):949-970. [9]LIN Guoping,LIANG Jiye,QIAN Yuhua,et al.A fuzzy [2]QIAN Yuhua,ZHANG Hu,SANG Yanli,et al.Multigranu- multigranulation decision-theoretic approach to multi-source lation decision-theoretic rough sets[].International journal fuzzy information systems[J].Knowledge-based systems, of approximate reasoning,2014,55(1):225-237. 2016,91:102-113. [3]QIAN Yuhua,LI Shunyong,LIANG Jiye,et al.Pessimistic [10]LIU Caihui,MIAO Duoqian,QIAN Jin.On multi-granula- rough set based decisions:a multigranulation fusion strategy tion covering rough sets[J].International journal of ap- [J].Information sciences,2014,264:196-210. proximate reasoning,2014,55(6):1404-1418. [4]LI Jinhai,REN Yue,MEI Changlin,et al.A comparative [11]别林斯里.概率与测度[M].3版.北京：世界图书出版 study of multigranulation rough sets and concept lattices via 公司，2007. rule acquisition[]]Knowledge-based systems,2016,91: [12]ZHU W,WANG Feiyue.Reduction and axiomization of 152-164 covering generalized rough sets[].Information sciences, [5]YANG Xibei,QI Yunsong,SONG Xiaoning,et al.Test cost 2003,152:217-230. sensitive multigranulation rough set:model and minimal cost [13]YAO Yiyu.Three-way decisions with probabilistic rough selection[].Information sciences,2013,250:184-199. sets[J].Information sciences,2010,180(3):341-353. [6]XU Weihua,GUO Yanting.Generalized multigranulation 作者简介： double-quantitative decision-theoretic rough set[J].Knowl- 刘财辉，男，1979年生，副教授，主 edge-based systems,2016,105:190-205. 要研究方向为粗糙集、粒计算、机器学 [7]SHE Yanhong,HE Xiaoli.On the structure of the multi- 习、数据挖掘。发表学术论文20余篇， granulation rough set model[].Knowledge-based systems, 其中被SCI检索4篇，EI检索12篇。 2012,36:81-92. [8]HUANG Bing,GUO Chunxiang,ZHUANG Yuliang,et al. 蔡克参，女，1992年生，硕士研究 Intuitionistic fuzzy multigranulation rough sets[].Informa- 生，主要研究方向为粒计算方法在农业 tion sciences,2014,277:299-320. 信息化中的应用。 2016国际脑与人工智能研讨会 International Workshop on Brain and Artificial Intelligence (BAI 2016) Creating human-level intelligent system is the long-standing mission for the field of Artificial Intelligence(AI)since its establishment nearly 60 years ago.Until now,however,there is still no general purpose intelligent system which can reach the human intelligence level in terms of coordinating various cognitive behaviors,adaptability of complex environ- ments,and autonomous learning under new environments.With the advancement of Brain Science,Neuroscience,and Cognitive Science,it is now possible for partially observing and obtaining data on the activities of brain neural networks at multiple scales while they are conducting various cognitive tasks.Hence,understandings of the brain at multiple scales will bring inspirations to future Artificial Intelligence research and applications.This workshop aims at bringing researchers and practitioners from Brain Science,Cognitive Science,Artificial Intelligence,etc.to discuss how they can collaborate and inspire each other to advance Brain-inspired Artificial Intelligence.The workshop will be co-located with the 2016 In- ternational Conference on Brain Informatics Health,October 13th,2016 in Omaha,Nebraska,USA. Website:http://bii.ia.ac.cn/bai-2016/
２０１０， １８０（６）： ９４９－９７０． ［ ２］ＱＩＡＮ Ｙｕｈｕａ， ＺＨＡＮＧ Ｈｕ， ＳＡＮＧ Ｙａｎｌｉ， ｅｔ ａｌ． Ｍｕｌｔｉｇｒａｎｕ⁃ ｌａｔｉｏｎ ｄｅｃｉｓｉｏｎ⁃ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ［Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ， ２０１４， ５５（１）： ２２５－２３７． ［３］ＱＩＡＮ Ｙｕｈｕａ， ＬＩ Ｓｈｕｎｙｏｎｇ， ＬＩＡＮＧ Ｊｉｙｅ， ｅｔ ａｌ． Ｐｅｓｓｉｍｉｓｔｉｃ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ｂａｓｅｄ ｄｅｃｉｓｉｏｎｓ： ａ ｍｕｌｔｉｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ ｆｕｓｉｏｎ ｓｔｒａｔｅｇｙ ［Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｃｉｅｎｃｅｓ， ２０１４， ２６４： １９６－２１０． ［４］ＬＩ Ｊｉｎｈａｉ， ＲＥＮ Ｙｕｅ， ＭＥＩ Ｃｈａｎｇｌｉｎ， ｅｔ ａｌ． Ａ ｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｍｕｌｔｉｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｃｏｎｃｅｐｔ ｌａｔｔｉｃｅｓ ｖｉａ ｒｕｌｅ ａｃｑｕｉｓｉｔｉｏｎ［ Ｊ］． Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ⁃ｂａｓｅｄ ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１６， ９１： １５２－１６４． ［５］ＹＡＮＧ Ｘｉｂｅｉ， ＱＩ Ｙｕｎｓｏｎｇ， ＳＯＮＧ Ｘｉａｏｎｉｎｇ， ｅｔ ａｌ． Ｔｅｓｔ ｃｏｓｔ ｓｅｎｓｉｔｉｖｅ ｍｕｌｔｉｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ： ｍｏｄｅｌ ａｎｄ ｍｉｎｉｍａｌ ｃｏｓｔ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ［Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｃｉｅｎｃｅｓ， ２０１３， ２５０： １８４－１９９． ［６］ ＸＵ Ｗｅｉｈｕａ， ＧＵＯ Ｙａｎｔｉｎｇ． Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｍｕｌｔｉｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ ｄｏｕｂｌｅ⁃ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅ ｄｅｃｉｓｉｏｎ⁃ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ［Ｊ］． Ｋｎｏｗｌ⁃ ｅｄｇｅ⁃ｂａｓｅｄ ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１６， １０５： １９０－２０５． ［７］ ＳＨＥ Ｙａｎｈｏｎｇ， ＨＥ Ｘｉａｏｌｉ． Ｏｎ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉ⁃ ｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ｍｏｄｅｌ［Ｊ］． Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ⁃ｂａｓｅｄ ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１２， ３６： ８１－９２． ［８］ＨＵＡＮＧ Ｂｉｎｇ， ＧＵＯ Ｃｈｕｎｘｉａｎｇ， ＺＨＵＡＮＧ Ｙｕｌｉａｎｇ， ｅｔ ａｌ． Ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｍｕｌｔｉｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ［ Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａ⁃ ｔｉｏｎ ｓｃｉｅｎｃｅｓ， ２０１４， ２７７： ２９９－３２０． ［９］ ＬＩＮ Ｇｕｏｐｉｎｇ， ＬＩＡＮＧ Ｊｉｙｅ， ＱＩＡＮ Ｙｕｈｕａ， ｅｔ ａｌ． Ａ ｆｕｚｚｙ ｍｕｌｔｉｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ ｄｅｃｉｓｉｏｎ⁃ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｍｕｌｔｉ⁃ｓｏｕｒｃｅ ｆｕｚｚｙ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍｓ ［ Ｊ］． Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ⁃ｂａｓｅｄ ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１６， ９１： １０２－１１３． ［１０］ＬＩＵ Ｃａｉｈｕｉ， ＭＩＡＯ Ｄｕｏｑｉａｎ， ＱＩＡＮ Ｊｉｎ． Ｏｎ ｍｕｌｔｉ⁃ｇｒａｎｕｌａ⁃ ｔｉｏｎ ｃｏｖｅｒｉｎｇ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ［ Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ａｐ⁃ ｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ， ２０１４， ５５（６）： １４０４－１４１８． ［１１］别林斯里． 概率与测度［Ｍ］． ３ 版． 北京： 世界图书出版 公司， ２００７． ［１２］ ＺＨＵ Ｗ， ＷＡＮＧ Ｆｅｉｙｕｅ． Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ａｎｄ ａｘｉｏｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｖｅｒｉｎｇ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ［ Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｃｉｅｎｃｅｓ， ２００３， １５２： ２１７－２３０． ［１３］ ＹＡＯ Ｙｉｙｕ． Ｔｈｒｅｅ⁃ｗａｙ ｄｅｃｉｓｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ［Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｃｉｅｎｃｅｓ， ２０１０， １８０（３）： ３４１－３５３． 作者简介： 刘财辉，男，１９７９ 年生，副教授，主 要研究方向为粗糙集、粒计算、机器学 习、数据挖掘。 发表学术论文 ２０ 余篇， 其中被 ＳＣＩ 检索 ４ 篇，ＥＩ 检索 １２ 篇。 蔡克参，女，１９９２ 年生，硕士研究 生，主要研究方向为粒计算方法在农业 信息化中的应用。 ２０１６ 国际脑与人工智能研讨会 Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｗｏｒｋｓｈｏｐ ｏｎ Ｂｒａｉｎ ａｎｄ Ａｒｔｉｆｉｃｉａｌ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ （ＢＡＩ ２０１６） Ｃｒｅａｔｉｎｇ ｈｕｍａｎ⁃ｌｅｖｅｌ ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｔｈｅ ｌｏｎｇ⁃ｓｔａｎｄｉｎｇ ｍｉｓｓｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｏｆ Ａｒｔｉｆｉｃｉａｌ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ （ＡＩ） ｓｉｎｃｅ ｉｔｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｍｅｎｔ ｎｅａｒｌｙ ６０ ｙｅａｒｓ ａｇｏ． Ｕｎｔｉｌ ｎｏｗ， ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｓｔｉｌｌ ｎｏ ｇｅｎｅｒａｌ ｐｕｒｐｏｓｅ ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍ ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｒｅａｃｈ ｔｈｅ ｈｕｍａｎ ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ ｌｅｖｅｌ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｉｎｇ ｖａｒｉｏｕｓ ｃｏｇｎｉｔｉｖｅ ｂｅｈａｖｉｏｒｓ， ａｄａｐｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘ ｅｎｖｉｒｏｎ⁃ ｍｅｎｔｓ， ａｎｄ ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ ｌｅａｒｎｉｎｇ ｕｎｄｅｒ ｎｅｗ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔｓ． Ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｄｖａｎｃｅｍｅｎｔ ｏｆ Ｂｒａｉｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ， Ｎｅｕｒｏｓｃｉｅｎｃｅ， ａｎｄ Ｃｏｇｎｉｔｉｖｅ Ｓｃｉｅｎｃｅ， ｉｔ ｉｓ ｎｏｗ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｆｏｒ ｐａｒｔｉａｌｌｙ ｏｂｓｅｒｖｉｎｇ ａｎｄ ｏｂｔａｉｎｉｎｇ ｄａｔａ ｏｎ ｔｈｅ ａｃｔｉｖｉｔｉｅｓ ｏｆ ｂｒａｉｎ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋｓ ａｔ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｓｃａｌｅｓ ｗｈｉｌｅ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｃｏｎｄｕｃｔｉｎｇ ｖａｒｉｏｕｓ ｃｏｇｎｉｔｉｖｅ ｔａｓｋｓ． Ｈｅｎｃｅ， ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ｂｒａｉｎ ａｔ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｓｃａｌｅｓ ｗｉｌｌ ｂｒｉｎｇ ｉｎｓｐｉｒａｔｉｏｎｓ ｔｏ ｆｕｔｕｒｅ Ａｒｔｉｆｉｃｉａｌ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ． Ｔｈｉｓ ｗｏｒｋｓｈｏｐ ａｉｍｓ ａｔ ｂｒｉｎｇｉｎｇ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｒｓ ａｎｄ ｐｒａｃｔｉｔｉｏｎｅｒｓ ｆｒｏｍ Ｂｒａｉｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ， Ｃｏｇｎｉｔｉｖｅ Ｓｃｉｅｎｃｅ， Ａｒｔｉｆｉｃｉａｌ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ， ｅｔｃ． ｔｏ ｄｉｓｃｕｓｓ ｈｏｗ ｔｈｅｙ ｃａｎ ｃｏｌｌａｂｏｒａｔｅ ａｎｄ ｉｎｓｐｉｒｅ ｅａｃｈ ｏｔｈｅｒ ｔｏ ａｄｖａｎｃｅ Ｂｒａｉｎ⁃ｉｎｓｐｉｒｅｄ Ａｒｔｉｆｉｃｉａｌ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ． Ｔｈｅ ｗｏｒｋｓｈｏｐ ｗｉｌｌ ｂｅ ｃｏ⁃ｌｏｃａｔｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ２０１６ Ｉｎ⁃ ｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｂｒａｉｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｃｓ ＆ Ｈｅａｌｔｈ， Ｏｃｔｏｂｅｒ １３ｔｈ， ２０１６ ｉｎ Ｏｍａｈａ， Ｎｅｂｒａｓｋａ， ＵＳＡ． Ｗｅｂｓｉｔｅ：ｈｔｔｐ： ／ ／ ｂｉｉ．ｉａ．ａｃ．ｃｎ ／ ｂａｉ⁃２０１６ ／ ·５３８· 智 能 系 统 学 报 第 １１ 卷
