第12卷第6期 智能系统学报 Vol.12 No.6 2017年12月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Dec.2017 D0:10.11992/tis.201605012 网络出版t地址：http:/kns.cnki.net/cms/detail/23.1538.TP.20171128.1715.002.html 切换系统的鲁棒二次公共Lyapunov函数矩阵寻找算法 张晓宇，李平 (华北科技学院电子信息工程学院.北京101601) 摘要：为了获得不确定线性切换系统稳定性判别的公共二次Lyapunov函数寻找方法，提出了鲁棒公共二次Lya punov函数的概念，运用矩阵不等式分析，得到了在鲁棒稳定矩阵集对合和不对合的情况下，鲁棒公共二次Lyapun- OV函数存在的充分性条件以及LMI形式的递推搜寻算法。获得的结果便于计算机实现，对不确定切换系统鲁棒稳 定性判别具有一定价值。应用仿真测试验证了其正确性。 关键词：切换系统；不确定；公共Lyapunov函数；二次Lyapunov函数；控制：鲁棒；稳定；LMI 中图分类号：TP273文献标志码：A文章编号：1673-4785(2017)06-0899-07 中文引用格式：张晓宇，李平.切换系统的鲁棒二次公共Lyapunov函数矩阵寻找算法.智能系统学报，2017,12(6)：899-905. 英文引用格式：ZHANG Xiaoyu,LI Ping.Matrix search algorithm of robust common quadratic Lyapunov function for switched systems[J].CAAI transactions on intelligent systems,2017,12(6):899-905. Matrix search algorithm of robust common quadratic Lyapunov function for switched systems ZHANG Xiaoyu,LI Ping (School of Electronics and Information Engineering,North China Institute of Science and Technology,Beijing 101601,China) Abstract:To obtain a searching algorithm for the common quadratic Lyapunov function(CQLF)of an uncertain switched system(SS),the concept of the common robust quadratic Lyapunov function(CRQLF)is proposed.In addi- tion,sufficient conditions for the CRQLF,and its corresponding recurrence search algorithm method in LMI forms,are obtained using a matrix inequality analysis when the stable matrix set is both involuntary and voluntary.These results enable easy computer implementation,and are valuable for making robust stability judgments of uncertain SSs.Further- more,the application simulation test certificates their validity. Keywords:switched system;uncertain;common Lyapunov function;quadratic Lyapunov function;control;robust;sta- bility;LMI 线性切换系统稳定性判断有几种方法，其中公 对原来稳定的非线性切换系统线性化后，其线性化 共Lyapunov函数(common Lyapunov function,CLF) 的系统是渐近稳定的。目前研究焦点是如何构造 方法是在多Lyapunov函数方法之后被提出来的。 CLF,或者如何判断存在CLF。Dogruel首先提出了 其出发点是若切换系统所有子系统存在一个单 CLF方法，证明了切换系统如果存在一个Lyapunov Lyapunov函数，并且这个Lyapunov函数在整个状 函数V(x)>0,使得所有的子系统满足(x()<0 态空间中沿着特定的切换序列或者是任意切换都能 则对于任意的切换信号切换系统都全局渐近稳 递减，则整个系统稳定-2。Beldiman等指出通过 定四。之后，围绕着CLF存在的代数条件，学者们 展开了一系列的研究。Ooba等提出了一对不可 收稿日期：2016-05-16.网络出版日期：2017-11-28. 基金项目：国家自然科学基金项目(61304024)：河北省科技计划项 交换系统CLF存在的条件。文献[5]证明了若子系 目(15272118)：中央高校基本科研业务费基金项目 统均渐近稳定，且各个子系统的状态矩阵两两相乘 (3142017046.3142016022,3142015101). 通信作者：张晓字.E-mail:ysuzxy@aliyun.com. 时满足交换条件，则系统存在公共二次Lyapunov函
DOI: 10.11992/tis.201605012 网络出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20171128.1715.002.html 切换系统的鲁棒二次公共 Lyapunov 函数矩阵寻找算法 张晓宇，李平 （华北科技学院 电子信息工程学院，北京 101601） 摘 要：为了获得不确定线性切换系统稳定性判别的公共二次 Lyapunov 函数寻找方法，提出了鲁棒公共二次 Lyapunov 函数的概念，运用矩阵不等式分析，得到了在鲁棒稳定矩阵集对合和不对合的情况下，鲁棒公共二次 Lyapunov 函数存在的充分性条件以及 LMI 形式的递推搜寻算法。获得的结果便于计算机实现，对不确定切换系统鲁棒稳 定性判别具有一定价值。应用仿真测试验证了其正确性。 关键词：切换系统；不确定；公共 Lyapunov 函数；二次 Lyapunov 函数；控制；鲁棒；稳定；LMI 中图分类号：TP273 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2017)06−0899−07 中文引用格式：张晓宇, 李平. 切换系统的鲁棒二次公共 Lyapunov 函数矩阵寻找算法[J]. 智能系统学报, 2017, 12(6): 899–905. 英文引用格式：ZHANG Xiaoyu, LI Ping. Matrix search algorithm of robust common quadratic Lyapunov function for switched systems[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2017, 12(6): 899–905. Matrix search algorithm of robust common quadratic Lyapunov function for switched systems ZHANG Xiaoyu，LI Ping (School of Electronics and Information Engineering, North China Institute of Science and Technology, Beijing 101601, China) Abstract: To obtain a searching algorithm for the common quadratic Lyapunov function (CQLF) of an uncertain switched system (SS), the concept of the common robust quadratic Lyapunov function (CRQLF) is proposed. In addition, sufficient conditions for the CRQLF, and its corresponding recurrence search algorithm method in LMI forms, are obtained using a matrix inequality analysis when the stable matrix set is both involuntary and voluntary. These results enable easy computer implementation, and are valuable for making robust stability judgments of uncertain SSs. Furthermore, the application simulation test certificates their validity. Keywords: switched system; uncertain; common Lyapunov function; quadratic Lyapunov function; control; robust; stability; LMI 线性切换系统稳定性判断有几种方法，其中公 共 Lyapunov 函数（common Lyapunov function, CLF） 方法是在多 Lyapunov 函数方法之后被提出来的。 其出发点是若切换系统所有子系统存在一个单 Lyapunov 函数，并且这个 Lyapunov 函数在整个状 态空间中沿着特定的切换序列或者是任意切换都能 递减，则整个系统稳定[1-2]。Beldiman 等 [3]指出通过 V(x(t)) > 0 V˙ (x(t)) < 0 对原来稳定的非线性切换系统线性化后，其线性化 的系统是渐近稳定的。目前研究焦点是如何构造 CLF，或者如何判断存在 CLF。Dogruel 首先提出了 CLF 方法，证明了切换系统如果存在一个 Lyapunov 函数 ，使得所有的子系统满足 则对于任意的切换信号切换系统都全局渐近稳 定 [2]。之后，围绕着 CLF 存在的代数条件，学者们 展开了一系列的研究。Ooba 等 [4]提出了一对不可 交换系统 CLF 存在的条件。文献[5]证明了若子系 统均渐近稳定，且各个子系统的状态矩阵两两相乘 时满足交换条件，则系统存在公共二次 Lyapunov 函 收稿日期：2016−05−16. 网络出版日期：2017−11−28. 基金项目：国家自然科学基金项目（61304024）；河北省科技计划项 目（15272118）；中央高校基本科研业务费基金项目 （3142017046，3142016022，3142015101）. 通信作者：张晓宇. E-mail：ysuzxy@aliyun.com. 第 12 卷第 6 期 智 能 系 统 学 报 Vol.12 No.6 2017 年 12 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Dec. 2017
·900· 智能系统学报 第12卷 common quadratic Lyapunov function,CQLF). 因此，在第k次切换，对于t≤t0,有 提出了一种构造CQLF的方法。文献[11]对寻找 HF(tE+EF(H0是标量系数参数。任选Pw-1>0, 切换系统稳定性，即鲁棒稳定性问题，其CQLF的 并设定 构造将会更加困难。为了克服这个困难，本文提出 PNAN+ANPN=-PN-1 了公共鲁棒稳定矩阵集的概念，并进一步扩展推出 引理32对于稳定矩阵集A,如果i=1,2… 鲁棒稳定矩阵集的COLF矩阵的判定定理和构造定 N-1满足以下条件 理。本文的结果对于任意切换规则下的不确定线性 max(y）0 k=1k村 个判断任意切换规则下系统鲁棒二次稳定的充分性 式中：P=AP,+P,A,i,jeN,则Pw是A的CQLF。 条件。 当稳定矩阵集A不是对合的，也即关系式 1问题描述 [Aw,A]=∑%1Ak,i∈N不再成立时，A的CQLF 如何构造呢？仍然首先任选P-1>0,并仍然设定 考虑如下的不确定切换系统 PwAw+ATPN=-Pw-1o而且， i(t)=(A。+△A.)x(t) (1) [AN,Aj]=CN.j:VjEN (5) 式中：x(0∈R"为系统状态变量，△A表示参数不确 引理42]对于稳定矩阵集A,定义C,jEN 定性，σ()：R→N三{1,2，…，N是关于时间1的分段 如式(5)。如果i=1,2,…,N-1,满足 常值函数，称作切换信号（规则）。定义切换序列 PiN-1+PNCNi+C PN 0,线性矩阵不等式(Linear
Ai , i = 1,2,··· ,N 数（common quadratic Lyapunov function, CQLF）。 Liberzon 利用 Lie 代数研究了线性切换系统存在 CLF 的代数条件[6] ，证明了如果由 生 成的 Lie 代数可解，则切换系统存在 CQLF。在此 基础上，Margaliota 进一步研究了非线性切换系统 的稳定性[7]。 显然，CLF 只是切换系统稳定的充分条件，反 之，如果切换系统在任意切换信号下全局渐近稳 定，是否存在 CLF？针对这一问题，Dayawansa 证明 了若线性切换系统在任意切换信号下全局指数稳 定，则线性切换系统存在 CLF[8]。Cheng 等 [9]应用 CLF 分析了几类切换系统的稳定性，提出了确保闭 环切换系统稳定的 CLF。 Ai , i = {1,2,··· ,N} {A1, A2,··· AN} A CQLF 的存在性必然有一定条件，而且和切换 系统的分析和控制器设计密切相关。对 CLF 存在 的充分和必要条件讨论可以参考文献[10]。CLF 的 构造方法也已经取得了许多成果。基本都是假设 是渐近稳定的，即 构 成稳定矩阵集。文献[5]考虑了一组可交换稳定矩阵， 提出了一种构造 CQLF 的方法。文献[11]对寻找 CLF 方法进行了讨论，并且给出了几个 CQLF 存在 的条件。文献[11]给出了稳定矩阵集 中，矩阵两两 不能互换但满足对合条件时，其 CQLF 的相应构造 方法。 本文将讨论不确定线性切换系统的稳定性判 定 CQLF 问题。如果单独考虑带有不确定性的线性 切换系统稳定性，即鲁棒稳定性问题，其 CQLF 的 构造将会更加困难。为了克服这个困难，本文提出 了公共鲁棒稳定矩阵集的概念，并进一步扩展推出 鲁棒稳定矩阵集的 CQLF 矩阵的判定定理和构造定 理。本文的结果对于任意切换规则下的不确定线性 切换系统鲁棒控制问题具有以下重要意义：1）有了 一套实用的搜寻 CQLF 的具体 LMI 算法；2）有了一 个判断任意切换规则下系统鲁棒二次稳定的充分性 条件。 1 问题描述 考虑如下的不确定切换系统 x˙(t) = (Aσ + ∆Aσ)x(t) (1) x (t) ∈ R n ∆Aσ σ(t) : R → N {1,2,··· ,N} 式中： 为系统状态变量， 表示参数不确 定性， 是关于时间 t 的分段 常值函数，称作切换信号（规则）。定义切换序列 Q := x0;(i0,t0),(i1,t1),··· ,(iN,tN),··· , ∀ik ∈ N, k ∈ Z + , t ∈ [tk , tk+1) σ(t) = i i ∈ N 意味着当 时运行第 ik 个子系统。对于切 换信号 ， ，记第 i 个子系统的参数为 Aσ ∆ = Ai ,∆Aσ ∆ = ∆Ai tk ⩽ t 0 引理 2 [14] 设 H 和 E 是具有适当维数的实常 数矩阵， 满足 。那么对于任意常数 ，有 HF(t)E+ E TF T (t) H T ⩽ ε −1HHT +εE TE 2 已有结果 A = {A1, A2,··· , AN} A [AN, Ai]= ∑N k=1 γ k i Ak ∀i ∈ N γ k i > 0 PN−1 > 0 假设稳定矩阵集 （矩阵集中 每一个矩阵对应的线性子系统都是稳定的集合，成 为稳定矩阵集）并且 是对合的， ， 。这里 是标量系数参数。任选 ， 并设定 PN AN + A T N PN = −PN−1 引理 3 A ∀i = 1,2,··· , [12] 对于稳定矩阵集 ，如果 N – 1 满足以下条件 max( γ i i ) 0 (4) Pi, j = A T 式中： i Pj + PjAi，∀i, j ∈ N ，则 PN是 A 的 CQLF。 A [AN, Ai] = ∑N k=1 γ k i Ak ∀i ∈ N A PN−1 > 0 PN AN + A T N PN = −PN−1 当稳定矩阵集 不是对合的，也即关系式 ， 不再成立时， 的 CQLF 如何构造呢？仍然首先任选 ，并仍然设定 。而且， [ AN, Aj ] = CN, j , ∀ j ∈ N (5) A CN, j , ∀ j ∈ N ∀i = 1,2,··· ,N −1 引理 4 [12] 对于稳定矩阵集 ，定义 如式（5）。如果 ，满足 Pi,N−1 + PNCN,i +C T N,iPN 0 ，线性矩阵不等式（Linear ·900· 智 能 系 统 学 报 第 12 卷
第6期 张晓字，等：切换系统的鲁棒二次公共Lyapunov函数矩阵寻找算法 ·901· matrix inequality,LMI) ATPN+UiN)+yi(PNA:+ATPN+UN)= P:A:+AIP+L P:H -sI 0有不等式： 若式(12)第2个条件i=1,2,…,N-1成立，表 P△A+△AP≤G=e'P.HoH.P:+S ETEad 成立。将其代人(x()有不等式： 明两个矩阵Pw+:和Ax+兰I转置正定。由式 Vi(x(t))0是标量 (PiN+UiN)AN+An (PiN +UiN)= 系数参数。对于任选PN-1>0,仍然设定 (PNA:+ATPN+UiN)AN+ PNAN+ANPN+UNN =-PN-1 (11) AN(PNA:+ATPN+UiN)= 根据上述CQLF引理3，我们得到以下推论。 PN (ANA:-CN)+A:PNAN+ANPNA;+ 推论1对于满足引理5的鲁棒稳定矩阵集 (ATAN-C)P+UNAN+AUiN= A={A1,A2,,Aw,如果i=1,2,…,N-1满足以下条件 (PNAN+ANPN)A:+A7(PNAN+ATPN)- max(y）0 若不等式(15)条件成立，则i=1,2,…,N-1, 则Pw是A的鲁棒二次CLF矩阵，即ieN满足Ric (PiN+UiN)AN+Ak (PiN+UiN)>0 cati不等式： 成立，表明两个矩阵Pw+Uw和Aw的转置积正定。 PNA:+ATPy+PNG,PN+Li<0 (13) 已知Aw是稳定的，因此Pw+Uw<0成立，也即 证明 i=1,2,…,N-1式(17)成立 (PiN+UiN)(AN+yiI/2)+(AN+yI/2)'x(PiN +UiN)= PNA:+A PN+PNG,Px+Li<0 (17) (PNA:+ATPN+UiN)Ax+Ar(PNA;+ 那么Pw是A的一个CQLF,且Pw对于每一个矩阵
matrix inequality, LMI） [ PiAi + A T i P+ Li PiHa,i ∗ −εiI ] 0 有不等式： Pi∆Ai + ∆A T i Pi ⩽ Gi = ε −1 i PiHa,iH T a,iPi +εiE T a,iEa,i V˙ 成立。将其代入 i(x(t)) 有不等式： V˙ i(x(t)) ⩽ x T [ PiAi + A T i Pi + PiGiPi + Li ] x 成立。根据引理 7，显然若满足，则有 V˙ i(x(t)) 0 PN−1 > 0 若鲁棒稳定矩阵集 中的矩阵是对合的，即仍 然认为 ， ，这里 是标量 系数参数。对于任选 ，仍然设定 PN AN + A T N PN+UN,N = −PN−1 (11) 根据上述 CQLF 引理 3，我们得到以下推论。 A={A1, A2,···, AN} ∀i=1,2,···,N −1 推论 1 对于满足引理 5 的鲁棒稳定矩阵集 ，如果 满足以下条件 max( γ i i ) 0 (12) 则 PN是 A 的鲁棒二次 CLF 矩阵，即 ∀i ∈ N 满足 Riccati 不等式： PN Ai + A T i PN + PNGiPN + Li 0 Pi,N +Ui,N AN AN Pi,N +Ui,N < 0 ∀i = 1,2,··· ,N −1 成立，表明两个矩阵 和 的转置积正定。 已 知 是稳定的，因此 成立，也即 式（17）成立 PN Ai + A T i PN + PNGiPN + Li < 0 (17) 那么 PN 是 A 的一个 CQLF，且 PN 对于每一个矩阵 第 6 期 张晓宇，等：切换系统的鲁棒二次公共 Lyapunov 函数矩阵寻找算法 ·901·
·902· 智能系统学报 第12卷 A,都满足包含不确定项Uw的Riccati不等式(17)， (PA+ATP)A,+AT(PA+ATP)- 因此Px是A的鲁棒COLF。 PCLi-Ci Pt+UAr+ArU= 3.3递推CQLF矩阵 AT Pek+PA;-PiCLi-CLP+ 根据引理4，我们进一步得到稳定矩阵集的如 UAt+ATU 下CQLF的构造算法定理。 如果不等式(19)满足，则显然有 定理1若稳定矩阵集A={A1,A2,·,Aw存在 (Pix+Ui)A+A:(Pix+Ui)>0 CLF,则i=1,2,·,k-1,keN满足 因为A是稳定的，则i=1,2,…,k-1有 ∫Pu0 成立。因此P是Ak={A1,A2,…,A}的鲁棒二次 的正定对称阵Pk,即A={A1,A2,·,A}的CQLF矩 CLF。 阵。其中C是矩阵集两两矩阵交换差： 由于实际系统矩阵往往不容易两两可交换，或 Ci=AiAi-AA 者说构成对合矩阵集。因此，在实际控制应用中， 证明 引理3、推论1并不实用。而引理4和本文给出的 PixAr+AtP=(PA:+ATP)Ax+ 定理1、定理2、推论2满足大多数实际应用计算 AI(PA:+ATP)=P:(ALA:-Cu)+ 情况。 ATPA:+ATPA:+(AkA:-C)'P= 3.4鲁棒二次Lyapunov函数矩阵寻找算法 (PA:+ATP)A:+AT(PA:+AIP)- 定理2在实际应用中更加广泛，因此我们进一 PCki-CuPk=AT Pe+PkA;- 步给出实用的鲁棒二次CLF寻找算法。 PCu-CLP 推论3给定系统(2)的鲁棒稳定矩阵集 如果不等式(18)满足，则显然有 A={A1,A2,…,Aw。若A存在CQLF,则k∈N(k>1), PiA+ArPi>0 若有矩阵P4=PI,P>0及任意s>0满足LMs 因为A是稳定的，则有 PrAx+ATP+L P.Hak -8LI 0,i=1,2…,k-1 假设一个鲁棒稳定矩阵集A,其中的每个稳定 那么P是矩阵集Ak={A1,A2,…,A}的鲁棒二次 矩阵是鲁棒稳定的，即满足Lyapunov方程(7)。仍 CLF矩阵。其中 然定义(9)，（10)，但是不定义(11)。而且矩阵集 三k=ATPu+PkA-PCk 4不是对合的。根据上述CQLF定理1，我们得到以 (22) Cr P&+LiAk+ArL 下鲁棒二次CLF的构造算法定理。 证明式(21)中第1个LMI证明P是A的鲁 定理2假设鲁棒稳定矩阵集A={A1,A2,·,Aw} 棒二次Lyapunov函数矩阵，等价于式(19)的第 存在CLF。若存在任意正数81,82，…，8以及i= 1个不等式。若式(21)第二个LM满足，有 1,2,…,k-1,k∈N满足不等式 三4-(I-A)PGP4I-A)>0 Pux+U0 LiA:+AIL:+ATP G P+ 的正定对称阵P,则P是A={A1,A2,…,Ak}的鲁棒 PG,PAk-PG:P-ATPG:PAk>0 二次CLF矩阵。即yi=l,2,·,k满足Riccati不等式 再根据，上式即 PA;+ATP+Ux0 证明 由式(8)可见，G=G,G:≥0，L=L,L≥0。由上 (Pi+U)Ar+Ar (Pik+Ui)= 不等式显而易见，不等式 (PA;+ATP:+U)Ax+ AT Pex PxA:-PCki-Ch P+ AI(PA:+ATP+U)= UikA:+ArUi>0 P&(AkA-Cu)+A:PA&+A:PA+ 成立。这样LMI(21)就等价于定理2中式(19)。 (AA;-Cki)P:+UA+ArUik= 那么推论3与定理2是等价的
Ai Ui,N PN A 都满足包含不确定项 的 Riccati 不等式（17）， 因此 是 的鲁棒 CQLF。 3.3 递推 CQLF 矩阵 根据引理 4，我们进一步得到稳定矩阵集的如 下 CQLF 的构造算法定理。 A = {A1, A2,··· , AN} ∀i = 1,2,··· , k−1, k ∈ N 定理 1 若稳定矩阵集 存在 CLF，则 满足 { Pk,k 0 (18) Pk Ak = {A1, A2,··· , Ak} Ci, j 的正定对称阵 ，即 的 CQLF 矩 阵。其中 是矩阵集两两矩阵交换差： Ci, j = AiAj − AjAi 证明 Pi,kAk + A T k Pi,k = ( PkAi + A T i Pk ) Ak+ A T k ( PkAi + A T i Pk ) = Pk ( AkAi −Ck,i ) + A T i PkAk + A T k PkAi + ( AkAi −Ck,i )T Pk = ( PkAk + A T k Pk ) Ai + A T i ( PkAk + A T k Pk ) − PkCk,i −C T k,iPk = A T i Pk,k + Pk,kAi− PkCk,i −C T k,iPk 如果不等式（18）满足，则显然有 Pi,kAk + A T k Pi,k > 0 因为 Ak是稳定的，则有 Pi,k = A T i Pk + PkAi 0 (19) Pk Pk Ak = {A1, A2,··· , Ak} ∀i = 1,2,··· , k 的正定对称阵 ，则 是 的鲁棒 二次 CLF 矩阵。即 满足 Riccati 不等式 PkAi + A T i Pk +Ui,k 0 因为 Ak是稳定的，则 ∀i = 1,2,··· , k−1 有 Pi,k+Ui,k = A T i Pk + PkAi+Ui,k 1) Pk = P T k , Pk > 0 εi > 0 推论 3 给定系统（ 2 ）的鲁棒稳定矩阵集 。若 存在 CQLF，则 ， 若有矩阵 及任意 满足 LMIs [ PkAk + A T k Pk + Lk PkHa,k ∗ −εk I ] 0,i = 1,2,··· , k−1 (21) 那 么 Pk 是矩阵集 Ak = {A1, A2,··· , Ak} 的鲁棒二 次 CLF 矩阵。其中 Ξi,k = A T i Pk,k + Pk,kAi − PkCk,i− C T k,iPk + LiAk + A T k Li (22) 证明 式（21）中第 1 个 LMI 证明 Pk是 Ak的鲁 棒二次 Lyapunov 函数矩阵，等价于式（19）的第 1 个不等式。若式（21）第二个 LMI 满足，有 Ξi,k − ( I− A T k ) PkGiPk (I− Ak) > 0 将式（22）代入，有不等式： A T i Pk,k + Pk,kAi − PkCk,i −C T k,iPk+ LiAk + A T k Li + A T k PkGiPk+ PkGiPkAk − PkGiPk − A T k PkGiPkAk > 0 再根据，上式即 A T i Pk,k + Pk,kAi − PkCk,i −C T k,iPk +Ui,kAk+ A T k Ui,k − PkGiPk − A T k PkGiPkAk > 0 G T i = Gi Gi ⩾ 0 L T 由式（8）可见， ， ， i = Li，Li ⩾ 0 。由上 不等式显而易见，不等式 A T i Pk,k + Pk,kAi − PkCk,i −C T k,iPk+ Ui,kAk + A T k Ui,k > 0 成立。这样 LMI（21）就等价于定理 2 中式（19）。 那么推论 3 与定理 2 是等价的。 ·902· 智 能 系 统 学 报 第 12 卷
第6期 张晓宇，等：切换系统的鲁棒二次公共Lyapunov函数矩阵寻找算法 ·903· 推论3给出了便于计算机计算寻找CQLF x1=-(b1+b3+ba)x1+b1u1+(-b2x10+b22)+ 矩阵的递推算法。我们可以首先给出某一个子系统 bsvs+b3v+b4v4 的鲁棒二次Lyapunov函数矩阵P,然后令k=2,3,, =CaX+C1X2+C8l+C2V2u2+C2X2042+C6V2+ CsVI+C3V4+C7 运用MATLAB的LMI工具箱求解LMIs,每次求 根据文献[15]，我们简单以温度、湿度的3个工 出的P即是子系统A={A1,A2,…,A}的鲁棒二次 作点：S(26,20)、S(26,28)、S(28,28)来进行线性化 CLF矩阵。 (在文献[15]基础上增加一个工作点)。设计其反馈 需要指出的是，定理1、定理2、推论3均是充 控制器，得到闭环控制后系统的3个参数矩阵： 分条件，如果这些定理不能满足，并不能说明鲁棒 -0.0389 0 A1= 二次CLF矩阵不存在。 -0.082 -0.1632 (这里设计反馈控制系数与文献[15]不同) 4 应用仿真 -0.158 0.0022 A2= -0.0674-0.3391 现代农业中，温室大棚提供了经济作物适宜的 (这里设计最优反馈控制系数与文献[15]相同) 生长环境。其中温度和湿度是最为重要的因素，各 -0.158 0.0022 A3= 类农作物的需求各不相同。因此，合理的温室温度 -0.0674-0.3391 和湿度控制成为智能温室大棚的主要和关键工程问 这样，对于这个温室大棚的控制问题，我们看 题。文献[15]选择较为传统的近似线性化方法，在 做是一个在不同工作点线性化后的线性不确定切换 选取的温湿度工作点对非线性模型进行泰勒展开， 系统。在各个不同工作点进行了最优反馈控制设计 这样就获得了所有工作点的线性化模型组。针对每 后的闭环系统，是多个工作点附近的稳定子系统。 个子模型设计相应的最优跟踪控制器，根据然后进 这样，各个工作点闭环控制后的系统参数矩阵 行了跟踪切换控制。 A1、A2、A3就构成一个稳定矩阵集以及具有3个子 系统的切换系统(1)，N兰{1,2,3。 本文依据文献[15]，考虑大棚的温度T,和湿度 注：这里闭环控制后的参数矩阵A不再沿用文 仙：为温室大棚的状态变量，对温室大棚建模为 献[15]中的数值，是因为在文献[15]中声称A和A,闭 C:T-Ci(T,-T)-(C:(C.G+)+C0)x 环后参数为 (T;-T)+Cs(T1-T)+C6Trd [0.14820.3746 0.14820.3746 A1= 4三 =C.C.(CuCuT-w)-Cp(T,-T)- 0.37461.8927 0.37461.8927 CH dI 的CLF是 (C3G+p1)(@:-@o)+CH(CsT1+C14) 式中：管道加热温度G,通风率G,土壤表层温度 P= 0.14820.3746 0.37461.8927 T,室外温度ω。，室外湿度ω。，太阳辐射能量Td、泄 但经过验证P不满足ATP+PA1<0以及AP+ATP+, 漏风量1。选择状态变量G为G和G,输入变量 因此P并不是CLF。 G分别为G和G,其余视作干扰，2，，4，且假定 我们把本文的理论和方法，进行应用，目标是 上述所有变量均可测，状态空间模型为 判断在各个工作点线性化、最优反馈控制后的各个 x1=-(b1+b3+ba)x1+b141+(-b2x1+b22)u2+ 子系统构成的整体是否是鲁棒稳定的。我们把各个 bsv3+b3v+b4vs 干扰部分进行取近似化为 x2=C4X1+C13+C62+C8ll1+C2W2V2+C2l2+ △A1= 0.001sin(0.02元t) 0 CsVI+C3V4+C7 0 0.014e-0.u 式中： 0.0001cos(0.01)0.0002cos(0.01i △A2= b1=C1/CT,b2=C2C3/CT 0 0.005e0.2 「0 0 b3=(C21+C)/CT:ba=Cs/CT △A3= 00.026e-0012 bs=C6/CT 根据假设1，将各个子系统不确定性分解。各 C1=(Cis-CsC9-)/C C2=C3/C 个不确定性矩阵为 C4=C8C9C10/CH,cs =Cis/CH 子系统1中： C6=1/CH 0.10 sin(0.02t) 0 各个参数物理意义及数值参考文献[15]。将上 Ha. 01 ,fa1= 0 e-0.Ir 述模型在工作点S(x1o,x20)近似线性化，可得线性化 0.01 0 后模型为 0 0.014
P1 k=2,3,··· Pk A = {A1, A2,··· , Ak} 推论 3 给出了便于计算机计算寻找 CQLF 矩阵的递推算法。我们可以首先给出某一个子系统 的鲁棒二次 Lyapunov 函数矩阵 ，然后令 ， 运用 MATLAB 的 LMI 工具箱求解 LMIs，每次求 出的 即是子系统 的鲁棒二次 CLF 矩阵。 需要指出的是，定理 1、定理 2、推论 3 均是充 分条件，如果这些定理不能满足，并不能说明鲁棒 二次 CLF 矩阵不存在。 4 应用仿真 现代农业中，温室大棚提供了经济作物适宜的 生长环境。其中温度和湿度是最为重要的因素，各 类农作物的需求各不相同。因此，合理的温室温度 和湿度控制成为智能温室大棚的主要和关键工程问 题。文献[15]选择较为传统的近似线性化方法，在 选取的温湿度工作点对非线性模型进行泰勒展开， 这样就获得了所有工作点的线性化模型组。针对每 个子模型设计相应的最优跟踪控制器，根据然后进 行了跟踪切换控制。 Ti ωi 本文依据文献[15]，考虑大棚的温度 和湿度 为温室大棚的状态变量，对温室大棚建模为 CT dTi dt = C1 ( Tp −Ti ) −(C2 (C3G +φ1)+C4)× (Ti −To)+C5 (T1 −Ti)+C6Trad CH dωi dt = C8C9 (C10C11Ti −ωi)−C12 ( Tp −Ti ) − (C3G +φ1) (ωi −ωo)+CH (C5T1 +C14) ωo ωo Trad φ1 v1, v2, v3, v4 式中：管道加热温度 G，通风率 G，土壤表层温度 T1，室外温度 ，室外湿度 ，太阳辐射能量 、泄 漏风量 。选择状态变量 G 为 G 和 G，输入变量 G 分别为 G 和 G，其余视作干扰 ，且假定 上述所有变量均可测，状态空间模型为 x˙1 = −(b1 +b3 +b4) x1 +b1u1 +(−b2 x1 +b2v2)u2+ b5v3 +b3v1 +b4v4 x˙2 = c4 x1 +c1 x2 +c6v2 +c8u1 +c2u2v2 +c2u2 x2+ c5v1 +c3v4 +c7 式中： b1 = C1/CT , b2 = C2C3/CT b3 = (C21φ+C4) /CT , b4 = C5/CT b5 = C6/CT c1 = (C15 −C8C9 −φ1) /CH, c2 = C3/CH c4 = C8C9C10/CH, c5 = C15/CH c6 = φ1/CH S (x10, x20) 各个参数物理意义及数值参考文献[15]。将上 述模型在工作点 近似线性化，可得线性化 后模型为 x˙1 = −(b1 +b3 +b4) x1 +b1u1 +(−b2 x10 +b2v2)u2+ b5v3 +b3v1 +b4v4 x˙2 = c4 x1 +c1 x2 +c8u1 +c2v2u2 +c2 x20u2 +c6v2+ c5v1 +c3v4 +c7 S (26,20) S (26,28) S (28,28) 根据文献[15]，我们简单以温度、湿度的 3 个工 作点： 、 、 来进行线性化 （在文献[15]基础上增加一个工作点）。设计其反馈 控制器，得到闭环控制后系统的 3 个参数矩阵： A1 = [ −0.038 9 0 −0.082 −0.163 2 ] （这里设计反馈控制系数与文献[15]不同） A2 = [ −0.158 0.002 2 −0.067 4 −0.339 1 ] （这里设计最优反馈控制系数与文献[15]相同） A3 = [ −0.158 0.002 2 −0.067 4 −0.339 1 ] A1、A2、A3 N ∆ = {1,2,3} 这样，对于这个温室大棚的控制问题，我们看 做是一个在不同工作点线性化后的线性不确定切换 系统。在各个不同工作点进行了最优反馈控制设计 后的闭环系统，是多个工作点附近的稳定子系统。 这样，各个工作点闭环控制后的系统参数矩阵 就构成一个稳定矩阵集以及具有 3 个子 系统的切换系统（1）， 。 A1 A1 A2 注：这里闭环控制后的参数矩阵 不再沿用文 献[15]中的数值，是因为在文献[15]中声称 和 闭 环后参数为 A1 = [ 0.148 2 0.374 6 0.374 6 1.892 7 ] , A2 = [ 0.148 2 0.374 6 0.374 6 1.892 7 ] 的 CLF 是 P = [ 0.148 2 0.374 6 0.374 6 1.892 7 ] A T 1 P+ PA1 < 0 A T 2 P+A T 但经过验证 P 不满足 以及 2 P+， 因此 P 并不是 CLF。 我们把本文的理论和方法，进行应用，目标是 判断在各个工作点线性化、最优反馈控制后的各个 子系统构成的整体是否是鲁棒稳定的。我们把各个 干扰部分进行取近似化为 ∆A1 = [ 0.001 sin (0.02πt) 0 0 0.014e−0.1t ] , ∆A2 = [ 0.000 1 cos (0.01t) 0.000 2 cos (0.01t) 0 0.005e−0.2t ] , ∆A3 = [ 0 0 0 0.026e−0.01t 2 ] . 根据假设 1，将各个子系统不确定性分解。各 个不确定性矩阵为 子系统 1 中： Ha,1 = [ 0.1 0 0 1 ] ,Fa,1 = [ sin (0.02πt) 0 0 e −0.1t ] Ea,1 = [ 0.01 0 0 0.014 ] 第 6 期 张晓宇，等：切换系统的鲁棒二次公共 Lyapunov 函数矩阵寻找算法 ·903·
·904· 智能系统学报 第12卷 子系统2中： 5结束语 [0.010 cos(0.01t） 0 0.1 ,Fa2= 0 e-0.2 对不确定线性切换系统的CLF问题进行了讨 Ea2= 0.01 0.02 论。若系统矩阵构成鲁棒稳定矩阵集，给出了 0 0.05 CQLF矩阵的递推判定方法和构造算法。构造算法 子系统3中： 是递推式的LMI形式，求解方便，实用性强。在温 ,Fa3=e0or,Ea3=[00.26 室大棚的温湿度控制问题的典型应用仿真验证了结 0.1 果的可行性。 k=2时子系统1、2的公共Lyapunuov矩阵为 99.7989 15.5099 参考文献： P2= 15.509911.8976 [1]LIBERZON D,MORSE A S.Basic problems in stability k=3时子系统1、2、3的公共Lyapunuov矩阵为 and design of switched systems[J].IEEE transaction on con- P3= 39.14492.71411 2.7141 1.5411 trol systems.1999,19(5):59-70 这样，找到了温室大棚这3个工作点的鲁棒二 [2]DOGRUEL M,OZGUNER U.Stability of a set of matrices: 次CLF,说明在任意切换规则下系统渐近稳定。 an application to hybrid systems[Cl/Proc of IEEE Interna- tional Symposium on Intelligent Control.[S.1.],1995: 我们不考虑设计跟踪设定温度、湿度曲线问 59-64 题，只考虑镇定问题。因此为了验证CQLF方法的 [3]BELDIMAN O,BUSHNELL L.Stability,linearization and 有效和正确性，设系统的初始状态为x(o)=3040', control of switched systems[Cl//Proc of American Control 开始以工作点S(28,28)的模型A3运行，20s后以工作 Conference.San Diego,CA,1999:2950-2955. 点S(26,28)的模型A2运行，再经过20s以工作点 [4]OOBA T,FUNAHASHI Y.Two conditions concerning S(26,20)的模型A运行。随后我们任意切换。系统 common quadratic Lyapunov functions for linear syste- ms[].IEEE trasactions on automatic control,1997,42(5): 仿真结果如图1、2所示。从图中可以看出，在不确 719-721. 定参数存在的情况下切换系统状态在任意切换信号 [5]NARENDRA K S,BALAKRISHNAN J A.A common 下状态都能镇定。 Lyapimov function for stable LTI systems with commuting 40 A-matrices[J].IEEE transactions on automatic control, 1994,3912):2469-2471 0 [6]LIBERZON D,MORSE J P.Stability of switched systems: -20 0 20 40 60 80 100 a Lie algebraic condition[J].Systems and control letters, 1999,37(3):117-122 40 [7]MARGALIOTA M,LIBERZON D.Lie-algebraic stability 0 conditions for nonlinear switched systems and differential 20 inclusions[J].Systems and control letters,2006,55(1): 20 40 60 80 100 s 8-16 [8]CHENG DZ,ZHU Y H,HU Q X.Stabilization of switched 图1切换规则下系统状态曲线 systems via common Lyapunov function[C]//Proc of the Fig.1 The state curves under switching signal World Congress on Intelligent Control and Automation 4.0 (WCICA).[S.1],2006:183-187. 3.5 [9]DAYAWANSA W P,MARTIN C F.A converse Lyapunov 3.0 25 theorem for a class of dynamical systems which undergo 2.0 switching[J].IEEE transactions on automatic control,1999. 1.5 44(4):751-760 1.0 [10]LIN H,ANTSAKLIS P J.Stability and stabilizability of 0.5 switched linear systems:a survey of recent results[J].IEEE 0 20 40 6080100 transactions on automatic control,2009,54(2):308-322. [11]CHENG DZ,GUO L,HUANG J.On quadratic Lyapunov 图2切换信号曲线 functions[J].IEEE transactions on automatic control,2003. Fig.2 The switching signal curve 48(5):885-890
子系统 2 中： Ha,2 = [ 0.01 0 0 0.1 ] ,Fa,2 = [ cos (0.01t) 0 0 e−0.2t ] Ea,2 = [ 0.01 0.02 0 0.05 ] 子系统 3 中： Ha,3 = [ 0 0.1 ] ,Fa,3 = e −0.01t 2 ,Ea,3 = [ 0 0.26 ] P2 = [ 99.798 9 15.509 9 15.509 9 11.897 6 ] k=2 时子系统 1、2 的公共 Lyapunuov 矩阵为 。 P3 = [ 39.144 9 2.714 1 2.714 1 1.541 1 ] k=3 时子系统 1、2、3 的公共 Lyapunuov 矩阵为 。 这样，找到了温室大棚这 3 个工作点的鲁棒二 次 CLF，说明在任意切换规则下系统渐近稳定。 x(t0) = [ 30 40 ]T S(28,28) A3 S(26,28) A2 S(26,20) A1 我们不考虑设计跟踪设定温度、湿度曲线问 题，只考虑镇定问题。因此为了验证 CQLF 方法的 有效和正确性，设系统的初始状态为 ， 开始以工作点 的模型 运行，20 s 后以工作 点 的模型 运行，再经过 20 s以工作点 的模型 运行。随后我们任意切换。系统 仿真结果如图 1、2 所示。从图中可以看出，在不确 定参数存在的情况下切换系统状态在任意切换信号 下状态都能镇定。 5 结束语 对不确定线性切换系统的 CLF 问题进行了讨 论。若系统矩阵构成鲁棒稳定矩阵集，给出了 CQLF 矩阵的递推判定方法和构造算法。构造算法 是递推式的 LMI 形式，求解方便，实用性强。在温 室大棚的温湿度控制问题的典型应用仿真验证了结 果的可行性。 参考文献： LIBERZON D, MORSE A S. Basic problems in stability and design of switched systems[J]. IEEE transaction on control systems, 1999, 19(5): 59–70. [1] DOGRUEL M, OZGUNER U. Stability of a set of matrices: an application to hybrid systems[C]//Proc of IEEE International Symposium on Intelligent Control. [S.l.], 1995: 59–64. [2] BELDIMAN O, BUSHNELL L. Stability, linearization and control of switched systems[C]//Proc of American Control Conference. San Diego, CA, 1999: 2950–2955. [3] OOBA T, FUNAHASHI Y. Two conditions concerning common quadratic Lyapunov functions for linear systems[J]. IEEE trasactions on automatic control, 1997, 42(5): 719–721. [4] NARENDRA K S, BALAKRISHNAN J A. A common Lyapimov function for stable LTI systems with commuting A-matrices[J]. IEEE transactions on automatic control, 1994, 39(12): 2469–2471. [5] LIBERZON D, MORSE J P. Stability of switched systems: a Lie algebraic condition[J]. Systems and control letters, 1999, 37(3): 117–122. [6] MARGALIOTA M, LIBERZON D. Lie-algebraic stability conditions for nonlinear switched systems and differential inclusions[J]. Systems and control letters, 2006, 55(1): 8–16. [7] CHENG D Z, ZHU Y H, HU Q X. Stabilization of switched systems via common Lyapunov function[C]//Proc of the World Congress on Intelligent Control and Automation (WCICA). [S.l.], 2006: 183–187. [8] DAYAWANSA W P, MARTIN C F. A converse Lyapunov theorem for a class of dynamical systems which undergo switching[J]. IEEE transactions on automatic control, 1999, 44(4): 751–760. [9] LIN H, ANTSAKLIS P J. Stability and stabilizability of switched linear systems: a survey of recent results[J]. IEEE transactions on automatic control, 2009, 54(2): 308–322. [10] CHENG D Z, GUO L, HUANG J. On quadratic Lyapunov functions[J]. IEEE transactions on automatic control, 2003, 48(5): 885–890. [11] x1 (t)/°C x2 (t)/% t/s 40 40 60 80 100 20 20 0 0 −20 40 40 60 80 100 20 20 0 0 −20 图 1 切换规则下系统状态曲线 Fig. 1 The state curves under switching signal σ (t) 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0 t/s 0 20 40 60 80 100 图 2 切换信号曲线 Fig. 2 The switching signal curve ·904· 智 能 系 统 学 报 第 12 卷
第6期 张晓字，等：切换系统的鲁棒二次公共Lyapunov函数矩阵寻找算法 ·905· [12]ZHU Y H,CHENG D Z,QIN H S.Constructing conm- 作者简介： mon Lyapunov functions for a class of stable matrices[J]. 张晓宇，男，1978年生，教授，博 Acta automatica sinica,2007,33(2):202-204. 士，主要研究方向为滑模变结构控制、 [13]BOYD S,GHAOUI L E,FERON E,et al.Linear Matrix 非线性系统智能自适应控制、复杂动 Inequalities in system and control theory[M].Philadelphia: 态系统分析、综合及应用。主持完成 SIAM,1994:7-35. 国家自然科学基金青年基金项目1项 [14俞立.鲁棒控制一线性矩阵不等式处理方法[M.北京： 河北省自然科学基金项目1项、河北 省科技计划项目1项、各类纵向科研 清华大学出版社，2002. 项目5项横向科研项目3项。已发表学术论文70余篇，其 YU Li.Robust control-linear matrix inequality methods 中有20余篇被SCI、EI检索。 [M].Beijing:Tsinghua University Press,2002. [15)王向东，何南思.温室大棚温湿度跟踪切换最优控制器 李平，女，1992年生，硕士研究 [).沈阳工业大学学报，2014,36(5)：543-549. 生，主要研究方向为安全生产自动化 和信息化。 WANG Xiangdong,HE Nansi.Tracking switching optim- al controller for temperature and humidity of greenhouse [J].Journal of Shenyang university of technology,2014, 36(5):543-549 2018年第三届IEEE图像、视觉与计算国际会议(ICIVC2018) 2018 3rd IEEE International Conference on Image, Vision and Computing I1CIVC2018由EEE与重庆邮电大学主办，重邮通信与信息工程学院承办，重庆计算机学会，四川省计算机 学会与Digital Communications and Networks期刊协办，并将邀请重庆大学，西南大学，四川大学，电子科技大学， 西南交通大学等国内外高校作为支持单位。ICIVC2018大会录用论文将收录到会议论文集，该论文集被Ei核 心，Scopus与其他检索。ICIVC2016和ICIVC2017所有文章均被收录至IEEE Xplore数据库，并已被EI核心， Scopus检索。 会场地点： 重庆邮电大学 地址：中国重庆市南岸区崇文路2号 征稿： 征稿范围：自适应信号处理；阵列信号处理，图像采集；雷达图像处理等 详细请参照http:lwww.icive.org/cfp.html 投稿： 1.直接把文章发到会议邮箱：icive(@young.ac.cn 2.上传文章到电子投稿系统--htp:www.easychair..org/conferences/?conf=icivc2018 详细信息请见--http:/www.icive.org/author.html 会议联系方式 会议秘书：周老师 Email:icivc@young.ac.cn Te:+86-28-86527868
ZHU Y H, CHENG D Z, QIN H S. Constructing conmmon Lyapunov functions for a class of stable matrices[J]. Acta automatica sinica, 2007, 33(2): 202–204. [12] BOYD S, GHAOUI L E, FERON E, et al. Linear Matrix Inequalities in system and control theory[M]. Philadelphia: SIAM, 1994: 7–35. [13] 俞立. 鲁棒控制—线性矩阵不等式处理方法[M]. 北京: 清华大学出版社, 2002. YU Li. Robust control-linear matrix inequality methods [M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2002. [14] 王向东, 何南思. 温室大棚温湿度跟踪切换最优控制器 [J]. 沈阳工业大学学报, 2014, 36(5): 543–549. WANG Xiangdong, HE Nansi. Tracking switching optimal controller for temperature and humidity of greenhouse [J]. Journal of Shenyang university of technology, 2014, 36(5): 543–549. [15] 作者简介： 张晓宇，男，1978 年生，教授，博 士，主要研究方向为滑模变结构控制、 非线性系统智能自适应控制、复杂动 态系统分析、综合及应用。主持完成 国家自然科学基金青年基金项目 1 项、 河北省自然科学基金项目 1 项、河北 省科技计划项目 1 项、各类纵向科研 项目 5 项、横向科研项目 3 项。已发表学术论文 70 余篇，其 中有 20 余篇被 SCI、EI 检索。 李平，女，1992 年生，硕士研究 生，主要研究方向为安全生产自动化 和信息化。 2018 年第三届 IEEE 图像、视觉与计算国际会议 (ICIVC 2018) 2018 3rd IEEE International Conference on Image, Vision and Computing ICIVC 2018 由 IEEE 与重庆邮电大学主办，重邮通信与信息工程学院承办，重庆计算机学会，四川省计算机 学会与 Digital Communications and Networks 期刊协办，并将邀请重庆大学，西南大学，四川大学，电子科技大学， 西南交通大学等国内外高校作为支持单位。ICIVC 2018 大会录用论文将收录到会议论文集，该论文集被 Ei 核 心，Scopus 与其他检索。ICIVC 2016 和 ICIVC 2017 所有文章均被收录至 IEEE Xplore 数据库，并已被 EI 核心， Scopus 检索。 会场地点： 重庆邮电大学 地址：中国重庆市南岸区崇文路 2 号 征稿： 征稿范围: 自适应信号处理; 阵列信号处理; 图像采集; 雷达图像处理等 详细请参照 http://www.icivc.org/cfp.html 投稿： 1. 直接把文章发到会议邮箱: icivc@young.ac.cn 2. 上传文章到电子投稿系统----http://www.easychair.org/conferences/?conf=icivc2018 详细信息请见----http://www.icivc.org/author.html 会议联系方式: 会议秘书：周老师 Email: icivc@young.ac.cn Tel: +86-28-86527868 第 6 期 张晓宇，等：切换系统的鲁棒二次公共 Lyapunov 函数矩阵寻找算法 ·905·