第12卷第3期 智能系统学报 Vol.12 No.3 2017年6月 CAAl Transactions on Intelligent Systems Jun.2017 D0I:10.11992/is.201606037 网络出版地址：http:/kns.cmki.ne/kcms/detail/23.1538.TP.20170404.1218.002.html 易于硬件实现的压缩感知观测矩阵的研究与构造 李霞丽，吴立成，樊艳明 (中央民族大学信息工程学院，北京100081) 摘要：在压缩感知过程中，观测矩阵在信号采样及重构中具有重要作用，构造易于硬件实现、结构简单且占内存较 小的观测矩阵是压缩感知理论能否实际应用的关键问题之一。提出两种易于硬件实现的观测矩阵，即顺序部分哈 达玛观测矩阵和循环伪随机观测矩阵，其中循环伪随机观测矩阵可分为循环m序列和循环g序列，并证明了伪随 机序列所构造的观测矩阵满足有限等距准则。为验证上述两种观测矩阵性能，对二维图像信号进行仿真，结果表 明，在较低的采样率下顺序部分哈达玛观测矩阵的重构效果最优，但是采样信号长度必须是2的k次幂：循环伪随机 观测矩阵的重构效果虽然弱于顺序部分哈达玛观测矩阵，但是明显优于高斯随机观测矩阵，克服了顺序部分哈达玛 矩阵观测信号必须是2的k次幂的限制。提出的两种观测矩阵易于硬件实现，避免了随机矩阵的不确定性且克服了 随机矩阵浪费存储资源的缺陷，具有良好的实际应用价值。 关键词：图像处理；机器视觉：压缩感知：采样及重构：观测矩阵：顺序部分哈达玛：循环伪随机矩阵：有限等距 中图分类号：TP391文献标志码：A文章编号：1673-4785(2017)03-0279-07 中文引用格式：李覆丽，吴立成，樊艳明.易于硬件实现的压缩感知观测矩阵的研究与构造[J].智能系统学报，2017,12(3)： 279-285. 英文引用格式：LI Xiali,WU Licheng,FAN Yanming..Study and construction of a compressed sensing measurement matrix that is easy to implement in hardware[J].CAAI transactions on intelligent systems,2017,12(3):279-285. Study and construction of a compressed sensing measurement matrix that is easy to implement in hardware LI Xiali,WU Licheng,FAN Yanming (School of Information Engineering,Minzu University of China,Beijing 100081,China) Abstract:In the compressed sensing process,the measurement matrix plays a significant role in signal sampling and reconstruction.Therefore,a measurement matrix that is simple in structure,has a small memory,and is easy to implement in hardware is the key to applying compressed sensing theory.Based on the partial Hadamard measurement matrix and a circulating pseudo-random sequence,this paper presents two measurement matrixes that are easy to implement in hardware,namely the sequence partial Hadamard measurement matrix and the recycled pseudo-random sequence measurement matrix.The latter consists of a recycled m sequence and a recycled gold sequence measurement matrix.This further proves that a measurement matrix constructed by a pseudo-random sequence complies with the RIP principle.To test the performance of the two measurement matrixes,a two- dimensional image signal was simulated.It was found that under a low sampling rate,the reconstruction of the sequence partial Hadamard measurement matrix is optimal provided that the length of the sampling signal is 2. Although reconstruction of the recycled pseudo-random sequence measurement matrix is inferior to the sequence partial Hadamard measurement matrix,it exceeds the Gaussian random measurement matrix,and also overcomes the sequence partial Hadamard measurement matrix's limitation of a 2 signal length.These two types of measurement matrix are easy to implement in hardware,and avoid the uncertainty and storage waste of a random matrix.Therefore,they are suitable for practical application. Keywords:image processing;machine vision;compressed sensing;sampling and reconstruction;measurement matrix;sequence partial Hadamard;sequence pseudo-random;restricted isometry property 压缩感知(compressed sensing,CS)[-)通过利 下，用随机采样获取信号的离散样本，然后通过非 用信号的稀疏特性，在远小于Nyquist采样率的条件 线性重建算法重建信号。由于压缩感知理论具有 “轻编码、重解码”的特点，压缩感知理论应用到低 收稿日期：2016-06-21.网络出版日期：2017-04-04. 功耗无线传输的硬件系统中是一个比较合理的选 基金项目：国家自然科学基金项目(51375504,61602539) 通信作者：吴立成.E-mail:wulicheng@tsinghua.edu.cn. 择。压缩感知主要解决的3个问题分别为信号的稀
第 １２ 卷第 ３ 期 智 能 系 统 学 报 Ｖｏｌ．１２ №．３ ２０１７ 年 ６ 月 ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｊｕｎ． ２０１７ ＤＯＩ：１０．１１９９２ ／ ｔｉｓ． ２０１６０６０３７ 网络出版地址：ｈｔｔｐ： ／ ／ ｋｎｓ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ ／ ｋｃｍｓ／ ｄｅｔａｉｌ ／ ２３．１５３８．ＴＰ．２０１７０４０４．１２１８．００２．ｈｔｍｌ 易于硬件实现的压缩感知观测矩阵的研究与构造 李霞丽， 吴立成， 樊艳明 （中央民族大学 信息工程学院， 北京 １０００８１） 摘 要：在压缩感知过程中，观测矩阵在信号采样及重构中具有重要作用，构造易于硬件实现、结构简单且占内存较 小的观测矩阵是压缩感知理论能否实际应用的关键问题之一。 提出两种易于硬件实现的观测矩阵，即顺序部分哈 达玛观测矩阵和循环伪随机观测矩阵，其中循环伪随机观测矩阵可分为循环 ｍ 序列和循环 ｇｏｌｄ 序列，并证明了伪随 机序列所构造的观测矩阵满足有限等距准则。 为验证上述两种观测矩阵性能，对二维图像信号进行仿真，结果表 明，在较低的采样率下顺序部分哈达玛观测矩阵的重构效果最优，但是采样信号长度必须是 ２ 的 ｋ 次幂；循环伪随机 观测矩阵的重构效果虽然弱于顺序部分哈达玛观测矩阵，但是明显优于高斯随机观测矩阵，克服了顺序部分哈达玛 矩阵观测信号必须是 ２ 的 ｋ 次幂的限制。 提出的两种观测矩阵易于硬件实现，避免了随机矩阵的不确定性且克服了 随机矩阵浪费存储资源的缺陷，具有良好的实际应用价值。 关键词：图像处理；机器视觉；压缩感知；采样及重构；观测矩阵；顺序部分哈达玛；循环伪随机矩阵；有限等距 中图分类号：ＴＰ３９１ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３－４７８５（２０１７）０３－０２７９－０７ 中文引用格式：李霞丽，吴立成，樊艳明．易于硬件实现的压缩感知观测矩阵的研究与构造［ Ｊ］． 智能系统学报， ２０１７， １２ （ ３）： ２７９－２８５． 英文引用格式：ＬＩ Ｘｉａｌｉ， ＷＵ Ｌｉｃｈｅｎｇ， ＦＡＮ Ｙａｎｍｉｎｇ． Ｓｔｕｄｙ ａｎｄ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｔｈａｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔ ｉｎ ｈａｒｄｗａｒｅ［Ｊ］． ＣＡＡＩ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１７， １２（３）： ２７９－２８５． Ｓｔｕｄｙ ａｎｄ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｔｈａｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔ ｉｎ ｈａｒｄｗａｒｅ ＬＩ Ｘｉａｌｉ， ＷＵ Ｌｉｃｈｅｎｇ， ＦＡＮ Ｙａｎｍｉｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， Ｍｉｎｚｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｃｈｉｎａ， Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００８１， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓ， ｔｈｅ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｐｌａｙｓ ａ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ｒｏｌｅ ｉｎ ｓｉｇｎａｌ ｓａｍｐｌｉｎｇ ａｎｄ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ． Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ， ａ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｔｈａｔ ｉｓ ｓｉｍｐｌｅ ｉｎ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ， ｈａｓ ａ ｓｍａｌｌ ｍｅｍｏｒｙ， ａｎｄ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔ ｉｎ ｈａｒｄｗａｒｅ ｉｓ ｔｈｅ ｋｅｙ ｔｏ ａｐｐｌｙｉｎｇ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ ｔｈｅｏｒｙ． Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｐａｒｔｉａｌ Ｈａｄａｍａｒｄ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ ａ ｃｉｒｃｕｌａｔｉｎｇ ｐｓｅｕｄｏ⁃ｒａｎｄｏｍ ｓｅｑｕｅｎｃｅ， ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ｔｗｏ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘｅｓ ｔｈａｔ ａｒｅ ｅａｓｙ ｔｏ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔ ｉｎ ｈａｒｄｗａｒｅ， ｎａｍｅｌｙ ｔｈｅ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｐａｒｔｉａｌ Ｈａｄａｍａｒｄ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｃｙｃｌｅｄ ｐｓｅｕｄｏ⁃ｒａｎｄｏｍ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ． Ｔｈｅ ｌａｔｔｅｒ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ａ ｒｅｃｙｃｌｅｄ ｍ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ａｎｄ ａ ｒｅｃｙｃｌｅｄ ｇｏｌｄ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ． Ｔｈｉｓ ｆｕｒｔｈｅｒ ｐｒｏｖｅｓ ｔｈａｔ ａ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｂｙ ａ ｐｓｅｕｄｏ⁃ｒａｎｄｏｍ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｃｏｍｐｌｉｅｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ＲＩＰ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ． Ｔｏ ｔｅｓｔ ｔｈｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｔｗｏ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘｅｓ， ａ ｔｗｏ⁃ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｉｍａｇｅ ｓｉｇｎａｌ ｗａｓ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ． Ｉｔ ｗａｓ ｆｏｕｎｄ ｔｈａｔ ｕｎｄｅｒ ａ ｌｏｗ ｓａｍｐｌｉｎｇ ｒａｔｅ， ｔｈｅ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｐａｒｔｉａｌ Ｈａｄａｍａｒｄ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｉｓ ｏｐｔｉｍａｌ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｌｅｎｇｔｈ ｏｆ ｔｈｅ ｓａｍｐｌｉｎｇ ｓｉｇｎａｌ ｉｓ ２ ｋ ． Ａｌｔｈｏｕｇｈ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｃｙｃｌｅｄ ｐｓｅｕｄｏ⁃ｒａｎｄｏｍ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｉｓ ｉｎｆｅｒｉｏｒ ｔｏ ｔｈｅ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｐａｒｔｉａｌ Ｈａｄａｍａｒｄ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ， ｉｔ ｅｘｃｅｅｄｓ ｔｈｅ Ｇａｕｓｓｉａｎ ｒａｎｄｏｍ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ， ａｎｄ ａｌｓｏ ｏｖｅｒｃｏｍｅｓ ｔｈｅ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｐａｒｔｉａｌ Ｈａｄａｍａｒｄ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ’ ｓ ｌｉｍｉｔａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ２ ｋ ｓｉｇｎａｌ ｌｅｎｇｔｈ． Ｔｈｅｓｅ ｔｗｏ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ａｒｅ ｅａｓｙ ｔｏ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔ ｉｎ ｈａｒｄｗａｒｅ， ａｎｄ ａｖｏｉｄ ｔｈｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ａｎｄ ｓｔｏｒａｇｅ ｗａｓｔｅ ｏｆ ａ ｒａｎｄｏｍ ｍａｔｒｉｘ． Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ， ｔｈｅｙ ａｒｅ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｆｏｒ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： ｉｍａｇｅ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ； ｍａｃｈｉｎｅ ｖｉｓｉｏｎ； ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ； ｓａｍｐｌｉｎｇ ａｎｄ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ； ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ； ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｐａｒｔｉａｌ Ｈａｄａｍａｒｄ； ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｐｓｅｕｄｏ⁃ｒａｎｄｏｍ； ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ ｉｓｏｍｅｔｒｙ ｐｒｏｐｅｒｔｙ 收稿日期：２０１６－０６－２１． 网络出版日期：２０１７－０４－０４． 基金项目：国家自然科学基金项目（５１３７５５０４，６１６０２５３９）． 通信作者：吴立成．Ｅ⁃ｍａｉｌ：ｗｕｌｉｃｈｅｎｇ＠ ｔｓｉｎｇｈｕａ．ｅｄｕ．ｃｎ． 压缩感知（ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ，ＣＳ） ［１－３］ 通过利 用信号的稀疏特性，在远小于 Ｎｙｑｕｉｓｔ 采样率的条件 下，用随机采样获取信号的离散样本，然后通过非 线性重建算法重建信号。 由于压缩感知理论具有 “轻编码、重解码”的特点，压缩感知理论应用到低 功耗无线传输的硬件系统中是一个比较合理的选 择。 压缩感知主要解决的 ３ 个问题分别为信号的稀
·280 智能系统学报 第12卷 疏表示、观测矩阵的构造以及重构算法的设计)。 加减法运算，没有复杂的乘法运算，因此，确定性观 观测矩阵性能的好坏直接关系到是否可以精确重 测矩阵的这些优势可以作为构造易于硬件实现观 构出原始的数据，因此观测矩阵在压缩感知过程中 测矩阵的出发点。 的数据采样和信号重构环节起着至关重要的作用。 1.1顺序部分哈达玛观测矩阵的构造 目前，从观测矩阵元素构造分析，观测矩阵可 部分哈达玛观测矩阵具有优良的观测性能，可 分为两类：1)随机观测矩阵，如高斯随机、伯努利 以在更少的观测值下重构出原始信号，并且在同样 等，元素都服从相互独立的同分布，与稀疏矩阵的 采样率下，信号的重构效果明显优于其他观测矩 非相干性较强，能够以较大的概率满足RP[)条件， 阵。哈达玛矩阵的元素由1和-1构成，其构造过程 但是计算量和时间复杂度较大，存储量大的缺点使 如下： 其难以在硬件上实现：2)确定性观测矩阵，如托普 H1=[1] (1) 利兹矩阵、多项式矩阵等6-刃，它们元素确定且结构 「11 固定，适合硬件实现，但是重建效果一般。另外，还 H2= (2) -1 有一些针对特定信号的测量矩阵，例如部分哈达玛 「11 1 1 观测矩阵[】、雷达信号的卷积观测矩阵9)、语音信 H 1 -1 -1 号的观测矩阵[]等。虽然这些矩阵在特定条件下 H (3) H, -H2 1 1 -1 -1 优于高斯随机观测矩阵，但是其普适性不高，比如 1-1 -1 1 部分哈达玛观测矩阵的观测数据必须是2的k次 HN=H2a=H2×H2a1= 幂。目前，也有学者基于伪随机序列来构建观测矩 [H2a1 H2x- H H 阵-)]，并验证了伪随机序列的性能要优于高斯随 (4) H2n-1 -H-1 -Hx 机矩阵，但是相关观测矩阵的构造方式较为烦琐。 因此，需要研究易于硬件实现、构造简单且重构效 由上述构造过程可以发现，其构造方式是生成 果较好的观测矩阵，这种研究对于压缩感知理论能 N·N大小的哈达玛正交矩阵，N=2,k=1,2,…,然 够应用于实际具有重要价值。 后在随机选取M行后，形成M·N大小的部分哈达 本文在深入研究确定性观测矩阵的基础上，对 玛观测矩阵，但是通过此种方式所构成的观测矩阵 在硬件上容易实现且重构效果好的观测矩阵进行 与稀疏矩阵之间的非相干性会减弱。在重点分析 重点研究。首先，针对部分哈达玛观测矩阵提出一 哈达玛观测矩阵后，本文提出一种简化的构造方 种改进的构造方式，即顺序选取行向量构造观测矩 式，即在选取M行向量时，不是随机选取，而是连续 阵，经过仿真验证采用这种简单的构造方式，在相 顺序选取，比如可以选取1：M行或者N-M+1:N行 同的重构算法下信号重构效果更优。然后，依据伪 向量形成观测矩阵，这样形成的观测矩阵更能保持 随机序列的特点和循环思想，提出了构造简单的观 哈达玛矩阵的正交性和不相干性，并且构造方式简 测矩阵一循环m序列观测矩阵和循环gold序列 单更加易于硬件实现，仿真结果表明这种构造方式 观测矩阵。最后，经过仿真验证本文所提出的两种 能够达到更好的重构效果，仿真结果详见3.1节。 观测矩阵具有良好的适应性和实用性。 本文将顺序选取行向量构造的部分哈达玛观测矩 阵称为顺序部分哈达玛观测矩阵。 1观测矩阵的改进与构造 1.2循环伪随机序列观测矩阵的构造 目前，嵌入式硬件系统面临的主要问题包括能 部分哈达玛矩阵虽然能够在采样率较低的情 源受限、计算能力较弱、存储有限。因此，设计易于 况下精确重建原始信号，但是信号的长度必须是2 硬件实现的观测矩阵需要遵循如下原则： 的k次幂，应用范围受到了限制。有没有既可以突 1)观测矩阵的存储空间较少，元素简单： 破信号长度限制又可以满足RP条件和非相干性 2)计算尽量只涉及加减法，元素必须是实数： 原则的确定性观测矩阵呢？ 3)观测矩阵与稀疏矩阵不相干性较强； 已有相关文献证明，当观测矩阵Φ的元素满足 4)能够快速采样和重建。 式(5)和式(6)平衡均匀分布时，能够满足P条 确定性观测矩阵如托普利兹、哈达玛等，它们 件[160)。比如部分哈达玛矩阵就是满足式(5)的特 的元素都是由±1或者0、1构成，矩阵的计算只涉及 殊均匀分布的观测矩阵，其中元素±1各占1/2
疏表示、观测矩阵的构造以及重构算法的设计［４］ 。 观测矩阵性能的好坏直接关系到是否可以精确重 构出原始的数据，因此观测矩阵在压缩感知过程中 的数据采样和信号重构环节起着至关重要的作用。 目前，从观测矩阵元素构造分析，观测矩阵可 分为两类：１） 随机观测矩阵，如高斯随机、伯努利 等，元素都服从相互独立的同分布，与稀疏矩阵的 非相干性较强，能够以较大的概率满足 ＲＩＰ ［５］条件， 但是计算量和时间复杂度较大，存储量大的缺点使 其难以在硬件上实现；２） 确定性观测矩阵，如托普 利兹矩阵、多项式矩阵等［６－７］ ，它们元素确定且结构 固定，适合硬件实现，但是重建效果一般。 另外，还 有一些针对特定信号的测量矩阵，例如部分哈达玛 观测矩阵［８］ 、雷达信号的卷积观测矩阵［９］ 、语音信 号的观测矩阵［１０］ 等。 虽然这些矩阵在特定条件下 优于高斯随机观测矩阵，但是其普适性不高，比如 部分哈达玛观测矩阵的观测数据必须是 ２ 的 ｋ 次 幂。 目前，也有学者基于伪随机序列来构建观测矩 阵［１１－１５］ ，并验证了伪随机序列的性能要优于高斯随 机矩阵，但是相关观测矩阵的构造方式较为烦琐。 因此，需要研究易于硬件实现、构造简单且重构效 果较好的观测矩阵，这种研究对于压缩感知理论能 够应用于实际具有重要价值。 本文在深入研究确定性观测矩阵的基础上，对 在硬件上容易实现且重构效果好的观测矩阵进行 重点研究。 首先，针对部分哈达玛观测矩阵提出一 种改进的构造方式，即顺序选取行向量构造观测矩 阵，经过仿真验证采用这种简单的构造方式，在相 同的重构算法下信号重构效果更优。 然后，依据伪 随机序列的特点和循环思想，提出了构造简单的观 测矩阵———循环 ｍ 序列观测矩阵和循环 ｇｏｌｄ 序列 观测矩阵。 最后，经过仿真验证本文所提出的两种 观测矩阵具有良好的适应性和实用性。 １ 观测矩阵的改进与构造 目前，嵌入式硬件系统面临的主要问题包括能 源受限、计算能力较弱、存储有限。 因此，设计易于 硬件实现的观测矩阵需要遵循如下原则： １）观测矩阵的存储空间较少，元素简单； ２）计算尽量只涉及加减法，元素必须是实数； ３）观测矩阵与稀疏矩阵不相干性较强； ４）能够快速采样和重建。 确定性观测矩阵如托普利兹、哈达玛等，它们 的元素都是由±１ 或者 ０、１ 构成，矩阵的计算只涉及 加减法运算，没有复杂的乘法运算，因此，确定性观 测矩阵的这些优势可以作为构造易于硬件实现观 测矩阵的出发点。 １．１ 顺序部分哈达玛观测矩阵的构造 部分哈达玛观测矩阵具有优良的观测性能，可 以在更少的观测值下重构出原始信号，并且在同样 采样率下，信号的重构效果明显优于其他观测矩 阵。 哈达玛矩阵的元素由 １ 和－１ 构成，其构造过程 如下： Ｈ１ ＝ [１] （１） Ｈ２ ＝ １ １ １ － １ é ë ê ê ù û ú ú （２） Ｈ４ ＝ Ｈ２ Ｈ２ Ｈ２ － Ｈ２ é ë ê ê ù û ú ú ＝ １ １ １ １ １ － １ １ － １ １ １ － １ － １ １ － １ － １ １ é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú （３） ＨＮ ＝ Ｈ２ ｎ ＝ Ｈ２ × Ｈ２ ｎ－１ ＝ Ｈ２ ｎ－１ Ｈ２ ｎ－１ Ｈ２ ｎ－１ － Ｈ２ ｎ－１ é ë ê ê ù û ú ú ＝ ＨＮ ２ ＨＮ ２ ＨＮ ２ － ＨＮ ２ é ë ê ê ê ù û ú ú ú （４） 由上述构造过程可以发现，其构造方式是生成 Ｎ·Ｎ 大小的哈达玛正交矩阵，Ｎ＝ ２ ｋ ，ｋ ＝ １，２，…，然 后在随机选取 Ｍ 行后，形成 Ｍ·Ｎ 大小的部分哈达 玛观测矩阵，但是通过此种方式所构成的观测矩阵 与稀疏矩阵之间的非相干性会减弱。 在重点分析 哈达玛观测矩阵后，本文提出一种简化的构造方 式，即在选取 Ｍ 行向量时，不是随机选取，而是连续 顺序选取，比如可以选取 １：Ｍ 行或者 Ｎ－Ｍ＋１：Ｎ 行 向量形成观测矩阵，这样形成的观测矩阵更能保持 哈达玛矩阵的正交性和不相干性，并且构造方式简 单更加易于硬件实现，仿真结果表明这种构造方式 能够达到更好的重构效果，仿真结果详见 ３． １ 节。 本文将顺序选取行向量构造的部分哈达玛观测矩 阵称为顺序部分哈达玛观测矩阵。 １．２ 循环伪随机序列观测矩阵的构造 部分哈达玛矩阵虽然能够在采样率较低的情 况下精确重建原始信号，但是信号的长度必须是 ２ 的 ｋ 次幂，应用范围受到了限制。 有没有既可以突 破信号长度限制又可以满足 ＲＩＰ 条件和非相干性 原则的确定性观测矩阵呢？ 已有相关文献证明，当观测矩阵 Φ 的元素满足 式（５）和式（６） 平衡均匀分布时，能够满足 ＲＩＰ 条 件［１６－２０］ 。 比如部分哈达玛矩阵就是满足式（５）的特 殊均匀分布的观测矩阵，其中元素±１ 各占 １ ／ ２。 ·２８０· 智 能 系 统 学 报 第 １２ 卷
第3期 李霞丽，等：易于硬件实现的压缩感知观测矩阵的研究与构造 ·281· -1,p=2 根据m序列的性质所生成序列1元素比-1元素多 一个，可以认为各个元素都占1/2，因此可以推测m (5) p= 序列构成的观测矩阵能够精确重建原始信号。 1, 如果把两个码长相等，码速相同的m序列发生 「-1 1 P= 器产生的优选对序列作模2加运算，生成的新的码 6 序列即为gold序列。每改变两个m序列相对位移 1 0. p3 (6) 就可得到一个新的gold序列。因为总共有2"-1个 Pij= 不同的相对位移，加上原来的两个m序列本身，所 1 1 (3 p6 以两个n级移位寄存器可以产生2”+1个Gold序 列。该序列的自相关函数具有三值特性，虽然这三 本文将伪随机序列m序列和gold序列作为压 个值出现的概率不同，却仍然具有良好的自相关和 缩感知观测矩阵构造的突破点，提出一种由简单的 互相关特性，生产的序列-1和1的次数相差不大， m序列和gold序列构造观测矩阵的方式。 可以近似认为各占1/2，而且形成gold序列的数量 如果一个序列，一方面它是可以预先确定的， 要比m序列大很多，一对m序列优选对就能够生成 并且是可以重复地生产和复制的，另一方面它又具 2"+1条gold码，这也是gold序列的优点之一。 有某种随机序列的随机特性（即统计特性），这种序 简单地介绍了上述两种序列的产生过程和性 列即为伪随机序列。伪随机序列又称为伪噪声序 质，下面详细介绍用m序列和gold序列构造观测矩 列，即PN码，它具有3个特点： 阵的具体方法。 1)序列中各元素接近等概率出现，即元素0与 m序列观测矩阵构造方法，主要利用循环矩阵 1出现的个数相差不超过1个； 的思想，将生成的m序列每次循环右移一位，构成 2)序列中连续出现相同元素被称为游程，在同 N列，最后再顺序选取M行构成观测矩阵。 长度的游程中，“0”的游程数和“1”的游程数大致 1)首先生成周期L=2-1的m序列（元素为 相等： ±1)，其中L>N(N为原始信号长度)，作为观测矩阵 3)具有类似白噪声的自相关特性。 的第一列； m序列和gold序列同属于伪随机序列，满足上 2)将m序列元素循环右移一位，产生新的序 述序列的特点。m序列是最长线性移位寄存器序 列，作为观测矩阵的第二列： 列，线性移位寄存器是由移位寄存器加上反馈系数 3)依次将前一行的m序列右移一位，产生新的 后所产生的（见图1），反馈系数c,一旦确定，产生的 序列，作为观测矩阵的下一列： m序列就确定了。产生的m序列根据反馈系数不 4)重复步骤3，直到生成N列，构成L×N的 同而变化，序列的长度与线性移位寄存器（反馈系 矩阵； 数)的级数有关，即长度len=2”-1。每一个级数n 5)顺序选取1：M行构成观测矩阵Mx。 都有一个与之对应的多项式： 生成的矩阵形式如式(8)所示，可以看成循环 f(x)= ∑c, (7) m序列矩阵，本文称为循环m序列观测矩阵。 m m m. m, m m。-1 M,= (8) c=1 a .a 输出 mm- Gold序列观测矩阵的构造方法与循环m序列 图1n位线性反馈移位寄存器结构 观测矩阵类似。利用循环矩阵的思想生成god序 Fig.1 n-bit linear feedback shift register structure 列观测矩阵的步骤如下： 多项式(7)为级数n的本原多项式，即反馈系 1)首先生成周期L=2"-1的gold序列（元素为 数多项式。文中讨论的序列均由(0,1)或者(-1,1) ±1)，gold序列是两个m序列优选对，其中L>N(原 组成，这两种序列所产生伪随机序列的相关性是相 始信号长度)，作为观测矩阵的第1列： 同的，本文构成的观测矩阵元素选用的是(-1,1)。 2)将m序列元素循环右移一位，产生新的序
φｉ，ｊ ＝ － １， ｐ ＝ １ ２ １， ｐ ＝ １ ２ ì î í ï ï ï ï （５） φｉ，ｊ ＝ － １ ３ ， ｐ ＝ １ ６ ０， ｐ ＝ １ ３ １ ３ ， ｐ ＝ １ ６ ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï （６） 本文将伪随机序列 ｍ 序列和 ｇｏｌｄ 序列作为压 缩感知观测矩阵构造的突破点，提出一种由简单的 ｍ 序列和 ｇｏｌｄ 序列构造观测矩阵的方式。 如果一个序列，一方面它是可以预先确定的， 并且是可以重复地生产和复制的，另一方面它又具 有某种随机序列的随机特性（即统计特性），这种序 列即为伪随机序列。 伪随机序列又称为伪噪声序 列，即 ＰＮ 码，它具有 ３ 个特点： １）序列中各元素接近等概率出现，即元素 ０ 与 １ 出现的个数相差不超过 １ 个； ２）序列中连续出现相同元素被称为游程，在同 长度的游程中，“０” 的游程数和“１” 的游程数大致 相等； ３）具有类似白噪声的自相关特性。 ｍ 序列和 ｇｏｌｄ 序列同属于伪随机序列，满足上 述序列的特点。 ｍ 序列是最长线性移位寄存器序 列，线性移位寄存器是由移位寄存器加上反馈系数 后所产生的（见图 １），反馈系数 ｃｉ一旦确定，产生的 ｍ 序列就确定了。 产生的 ｍ 序列根据反馈系数不 同而变化，序列的长度与线性移位寄存器（反馈系 数）的级数有关，即长度 ｌｅｎ ＝ ２ ｎ －１。 每一个级数 ｎ 都有一个与之对应的多项式： ｆ（ｘ） ＝ ∑ ｎ ｉ ｃｉ ｘ ｉ （７） 图 １ ｎ 位线性反馈移位寄存器结构 Ｆｉｇ．１ ｎ⁃ｂｉｔ ｌｉｎｅａｒ ｆｅｅｄｂａｃｋ ｓｈｉｆｔ ｒｅｇｉｓｔｅｒ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ 多项式（７）为级数 ｎ 的本原多项式，即反馈系 数多项式。 文中讨论的序列均由（０，１）或者（－１，１） 组成，这两种序列所产生伪随机序列的相关性是相 同的，本文构成的观测矩阵元素选用的是（－１，１）。 根据 ｍ 序列的性质所生成序列 １ 元素比－１ 元素多 一个，可以认为各个元素都占 １ ／ ２，因此可以推测 ｍ 序列构成的观测矩阵能够精确重建原始信号。 如果把两个码长相等，码速相同的 ｍ 序列发生 器产生的优选对序列作模 ２ 加运算，生成的新的码 序列即为 ｇｏｌｄ 序列。 每改变两个 ｍ 序列相对位移 就可得到一个新的 ｇｏｌｄ 序列。 因为总共有 ２ ｎ －１ 个 不同的相对位移，加上原来的两个 ｍ 序列本身，所 以两个 ｎ 级移位寄存器可以产生 ２ ｎ ＋１ 个 Ｇｏｌｄ 序 列。 该序列的自相关函数具有三值特性，虽然这三 个值出现的概率不同，却仍然具有良好的自相关和 互相关特性，生产的序列－１ 和 １ 的次数相差不大， 可以近似认为各占 １ ／ ２，而且形成 ｇｏｌｄ 序列的数量 要比 ｍ 序列大很多，一对 ｍ 序列优选对就能够生成 ２ ｎ＋１ 条 ｇｏｌｄ 码，这也是 ｇｏｌｄ 序列的优点之一。 简单地介绍了上述两种序列的产生过程和性 质，下面详细介绍用 ｍ 序列和 ｇｏｌｄ 序列构造观测矩 阵的具体方法。 ｍ 序列观测矩阵构造方法，主要利用循环矩阵 的思想，将生成的 ｍ 序列每次循环右移一位，构成 Ｎ 列，最后再顺序选取 Ｍ 行构成观测矩阵。 １）首先生成周期 Ｌ ＝ ２ Ｎ －１ 的 ｍ 序列（元素为 ±１），其中 Ｌ＞Ｎ（Ｎ 为原始信号长度），作为观测矩阵 的第一列； ２） 将 ｍ 序列元素循环右移一位，产生新的序 列，作为观测矩阵的第二列； ３）依次将前一行的 ｍ 序列右移一位，产生新的 序列，作为观测矩阵的下一列； ４） 重复步骤 ３，直到生成 Ｎ 列，构成 Ｌ ×Ｎ 的 矩阵； ５）顺序选取 １：Ｍ 行构成观测矩阵 Ｍｘ。 生成的矩阵形式如式（８） 所示，可以看成循环 ｍ 序列矩阵，本文称为循环 ｍ 序列观测矩阵。 Ｍｘ ＝ ｍ１ ｍｎ … ｍｎ ｍ２ ｍ１ … ｍｎ－１ ︙ ︙ ︙ ｍｎ ｍｎ－１ … ｍ１ é ë ê ê ê ê êê ù û ú ú ú ú úú （８） Ｇｏｌｄ 序列观测矩阵的构造方法与循环 ｍ 序列 观测矩阵类似。 利用循环矩阵的思想生成 ｇｏｌｄ 序 列观测矩阵的步骤如下： １）首先生成周期 Ｌ ＝ ２ ｎ－１ 的 ｇｏｌｄ 序列（元素为 ±１），ｇｏｌｄ 序列是两个 ｍ 序列优选对，其中 Ｌ＞Ｎ（原 始信号长度），作为观测矩阵的第 １ 列； ２） 将 ｍ 序列元素循环右移一位，产生新的序 第 ３ 期 李霞丽，等：易于硬件实现的压缩感知观测矩阵的研究与构造 ·２８１·
·282 智能系统学报 第12卷 列，作为观测矩阵的第2列： (382-83) log2(12/8) (15) 3)其他步骤参见循环m序列观测矩阵的构造 48 log2(N/k) 方法。 式中k为信号的稀疏度。 生成的矩阵形式如式(9)所示，同样可以看成 从矩阵的构造方法来看，循环m序列和循环 循环gold序列矩阵，本文称为循环gold序列观测 gold序列观测矩阵具有良好的互相关特性，与非相 矩阵。 干性条件恰好吻合，由于构造的观测矩阵满足一定 「g1 8n gn 的线性独立随机性，符合观测传感对观测矩阵的 82 81 8n-1 要求。 G.= (9) 3 仿真验证与分析 8m-1 81」 上述步骤中之所以要顺序选取M行向量构成 本文通过改进部分哈达玛观测矩阵的构造方 观测矩阵，也是出于计算能力的考虑，毕竞嵌入式 式，构造了顺序部分哈达玛观测矩阵：利用伪随机 系统硬件计算能力较弱，随机选取会增加计算消耗。 序列中的m序列和gold序列的特性构造了循环m 序列和循环gold序列观测矩阵，并给出了简单的数 2伪随机观测矩阵相关证明 学证明来说明伪随机序列可以作为观测矩阵。下 m序列和gold序列都是伪随机序列，1与0出 面通过仿真来验证所构造的观测矩阵的性能。首 现的概率约为1/2，可以认为伪随机序列是二值序 先，将顺序部分哈达玛矩阵与部分哈达玛矩阵进行 列，因此由伪随机序列构成的观测矩阵元素是服从 对比：然后，将所构造的循环伪随机序列的可用性 均匀分布的。上一个章节已经说明，当观测矩阵Φ 与其他观测矩阵进行对比；最后，将所构造的观测 满足式(5)分布时，将以极大的概率满足RP条件。 矩阵在常用重构算法上进行对比分析。 本文可以将按照式(5)分布的观测矩阵划分为两个 本文仿真采用二维Lena标准图像进行分块压 随机二进制矩阵： 缩采样和重建，选取大小为8×8块，采用离散余弦 Φ.=Φ。-Φ。 变换(DCT)进行稀疏变换，采样率分别为0.25,0.5 (10) 压缩感知观测过程为 和0.75。 y=Φ (11) 3.1顺序部分哈达玛观测矩阵仿真分析 将其等价成如下形式： 对顺序部分哈达玛观测矩阵进行仿真实验分 y:=〈x,9〉，i=1,2,…,n (12) 析，重建算法选用的是正交匹配追踪(OMP)算法， 则对于每一个观测值有 其仿真结果如表1所示。 表1重构图像PSNR值 y(x,Φ)=y(x,Φ)- Table 1 PSNR value of reconstructed image dB y.(x,Φ)，1≤i≤n(13) 由式(13)可以看出，当Φ获取原始信号x的全 部分哈达玛矩阵 0.25 0.5 0.75 部信息时，Φ。只获取了一部分信息。假设Φ，所获 顺序1：M 25.10 29.82 29.92 取的信息量为1，则当n足够大的时候，Φ。获取的 顺序N-M+1:N 25.06 29.82 29.92 信息量将以(14)式所示的概率变化： 随机选取 20.07 24.92 29.37 1-(1/2)"=1-2-4 (14) 通过表1可以看出，当采样率较低时，顺序部分 最终获得的信息量也接近1。根据文献 哈达玛观测矩阵重建后图像的PSNR值要比随机选 [14-15]可以得出结论：④。是一个服从随机二进制 取的部分哈达玛矩阵明显高出近5dB:当采样率较 分布的大小为n×N的矩阵，给定n,N,6∈(0,1)和 高时，两者之间的差距就不大了。这种顺序选取的 k≤cm/Iog2(N/k),存在c1,c2>0,则当存在一个相应 部分哈达玛矩阵，结构固定，无需多次测量，可以在 的服从式(5)的随机均匀分布矩阵重，以概率p≥ 采样率较低的情况下达到很好的重构效果。另外， 1-2exp(-nc2)满足RIP时，随机二进制矩阵④。能 哈达玛观测矩阵存在蝶型快速算法，非常适用于硬 使可压缩信号以概率p≥[1-2exp(-nc2)](1-2") 件系统，从而减少系统的能源消耗，为硬件实现压 精确重构。其中： 缩感知原理提供了较好的支持
列，作为观测矩阵的第 ２ 列； ３）其他步骤参见循环 ｍ 序列观测矩阵的构造 方法。 生成的矩阵形式如式（９） 所示，同样可以看成 循环 ｇｏｌｄ 序列矩阵，本文称为循环 ｇｏｌｄ 序列观测 矩阵。 Ｇｘ ＝ ｇ１ ｇｎ … ｇｎ ｇ２ ｇ１ … ｇｎ－１ ︙ ︙ ︙ ｇｎ ｇｎ－１ … ｇ１ é ë ê ê ê ê êê ù û ú ú ú ú úú （９） 上述步骤中之所以要顺序选取 Ｍ 行向量构成 观测矩阵，也是出于计算能力的考虑，毕竟嵌入式 系统硬件计算能力较弱，随机选取会增加计算消耗。 ２ 伪随机观测矩阵相关证明 ｍ 序列和 ｇｏｌｄ 序列都是伪随机序列，１ 与 ０ 出 现的概率约为 １ ／ ２，可以认为伪随机序列是二值序 列，因此由伪随机序列构成的观测矩阵元素是服从 均匀分布的。 上一个章节已经说明，当观测矩阵 Φ 满足式（５）分布时，将以极大的概率满足 ＲＩＰ 条件。 本文可以将按照式（５）分布的观测矩阵划分为两个 随机二进制矩阵： Φｓ ＝ Φａ － Φｂ （１０） 压缩感知观测过程为 ｙ ＝ Φｘ （１１） 将其等价成如下形式： ｙｉ ＝ 〈ｘ， φｉ〉，ｉ ＝ １，２，…，ｎ （１２） 则对于每一个观测值有 ｙｉ（ｘ，Φｓ） ＝ ｙｉ（ｘ，Φａ ） － ｙｉ（ｘ，Φｂ）， １ ≤ ｉ ≤ ｎ （１３） 由式（１３）可以看出，当Φｓ 获取原始信号 ｘ 的全 部信息时，Φａ 只获取了一部分信息。 假设Φｓ 所获 取的信息量为 １，则当 ｎ 足够大的时候，Φａ 获取的 信息量将以（１４）式所示的概率变化： １ － （１ ／ ２） ｎ ＝ １ － ２ －ｎ （１４） 最 终 获 得 的 信 息 量 也 接 近 １。 根 据 文 献 ［１４－１５］可以得出结论：Φａ 是一个服从随机二进制 分布的大小为 ｎ×Ｎ 的矩阵，给定 ｎ，Ｎ，δ∈（０，１）和 ｋ≤ｃｎ ／ ｌｏｇ２（Ｎ／ ｋ），存在 ｃ１ ，ｃ２ ＞０，则当存在一个相应 的服从式（５） 的随机均匀分布矩阵 Φｓ 以概率 ｐ≥ １－２ｅｘｐ（ －ｎｃ２ ） 满足 ＲＩＰ 时，随机二进制矩阵Φａ 能 使可压缩信号以概率 ｐ≥［１－２ｅｘｐ（ －ｎｃ２ ）］ （１－２ －ｎ ） 精确重构。 其中： ｃ２ ≤ （３δ ２ － δ ３ ） ４８ － ｃ１ １ ＋ ｌｏｇ２（１２／ δ） ｌｏｇ２（Ｎ／ ｋ） é ë ê ê ù û ú ú （１５） 式中 ｋ 为信号的稀疏度。 从矩阵的构造方法来看，循环 ｍ 序列和循环 ｇｏｌｄ 序列观测矩阵具有良好的互相关特性，与非相 干性条件恰好吻合，由于构造的观测矩阵满足一定 的线性独立随机性，符合观测传感对观测矩阵的 要求。 ３ 仿真验证与分析 本文通过改进部分哈达玛观测矩阵的构造方 式，构造了顺序部分哈达玛观测矩阵；利用伪随机 序列中的 ｍ 序列和 ｇｏｌｄ 序列的特性构造了循环 ｍ 序列和循环 ｇｏｌｄ 序列观测矩阵，并给出了简单的数 学证明来说明伪随机序列可以作为观测矩阵。 下 面通过仿真来验证所构造的观测矩阵的性能。 首 先，将顺序部分哈达玛矩阵与部分哈达玛矩阵进行 对比；然后，将所构造的循环伪随机序列的可用性 与其他观测矩阵进行对比；最后，将所构造的观测 矩阵在常用重构算法上进行对比分析。 本文仿真采用二维 Ｌｅｎａ 标准图像进行分块压 缩采样和重建，选取大小为 ８×８ 块，采用离散余弦 变换（ＤＣＴ）进行稀疏变换，采样率分别为 ０．２５，０．５ 和 ０．７５。 ３．１ 顺序部分哈达玛观测矩阵仿真分析 对顺序部分哈达玛观测矩阵进行仿真实验分 析，重建算法选用的是正交匹配追踪（ＯＭＰ） 算法， 其仿真结果如表 １ 所示。 表 １ 重构图像 ＰＳＮＲ 值 Ｔａｂｌｅ １ ＰＳＮＲ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｉｍａｇｅ ｄＢ 部分哈达玛矩阵 ０．２５ ０．５ ０．７５ 顺序 １：Ｍ ２５．１０ ２９．８２ ２９．９２ 顺序 Ｎ－Ｍ＋１：Ｎ ２５．０６ ２９．８２ ２９．９２ 随机选取 ２０．０７ ２４．９２ ２９．３７ 通过表 １ 可以看出，当采样率较低时，顺序部分 哈达玛观测矩阵重建后图像的 ＰＳＮＲ 值要比随机选 取的部分哈达玛矩阵明显高出近 ５ ｄＢ；当采样率较 高时，两者之间的差距就不大了。 这种顺序选取的 部分哈达玛矩阵，结构固定，无需多次测量，可以在 采样率较低的情况下达到很好的重构效果。 另外， 哈达玛观测矩阵存在蝶型快速算法，非常适用于硬 件系统，从而减少系统的能源消耗，为硬件实现压 缩感知原理提供了较好的支持。 ·２８２· 智 能 系 统 学 报 第 １２ 卷
第3期 李霞丽，等：易于硬件实现的压缩感知观测矩阵的研究与构造 .283. 3.2循环伪随机序列构造的观测矩阵可用性验证 3.3构造的观测矩阵在常用重构算法上的对比分析 文中简单证明了循环伪随机可以作为观测矩 仿真实验依然沿用上文的条件，测试图像为 阵的理论可能性，下面通过仿真来验证构造的观测 256×256的Lena图像，重构算法选用的是求解最小 矩阵的适应性和实用性。表2列出了高斯随机观测 L。-范数和L,-范数各类别中有代表性的BP算法 矩阵、托普利兹观测矩阵、顺序部分哈达玛观测矩 OMP算法以及OMP算法的改进算法分段正交匹配 追踪算法(SOMP),对比的观测矩阵包括高斯随机 阵的对比结果，重建算法选用的是OMP算法；并且 矩阵、顺序部分哈达玛矩阵、循环m序列矩阵和循 展示了这几种观测矩阵在不同采样率下，重建后的 环gold序列矩阵，m序列采用7级反馈系数，选用 图像的PSNR值。 的本原多项式为f(x)=x'+x+x3+x,即各寄存器的 表2同观测矩阵重构时的PSNR值 初始状态为[1100101]。 Table 2 PSNR value of different measurement 本次仿真与上文不同的是，稀疏基为小波变 matrix reconstruction dB 换，每次处理256个像素，采样率从0.2到0.8变化， 高斯托普 顺序部分 循环m 循环gold 步长为0.05。高斯随机观测矩阵、顺序部分哈达玛 采样率 随机利兹 哈达玛 序列 序列 观测矩阵、循环m序列观测矩阵和循环gold序列观 测矩阵在不同的重建算法下的PSNR仿真结果分别 0.25 16.3120.91 25.10 20.56 20.09 如图3~6所示。 0.50 23.5624.30 29.82 24.98 24.66 20.5 0.75 27.7628.40 29.97 29.69 29.17 BP 20.0 OMP StOMP 图2展示了采样率为0.25时，各观测矩阵采样 19.5 19.0 时重建的图像仿真效果图。由表2和图2可知，当 9185 采样率较低时，顺序部分哈达玛的观测效果最佳， 18.0 17.5 比高斯随机矩阵高出将近9dB,其他确定性观测矩 17.04 阵也比高斯随机矩阵高出4dB:当采样率提升到 16.5 0.50时，顺序部分哈达玛矩阵也要高出6dB,而其他 16.0 0.20.30.40.50.60.70.80.91.0 观测矩阵也高出1dB:随着采样率提高到0.75时， 采样率 各个观测矩阵的重建效果差距就较小了。通过仿 图3 高斯随机矩阵在不同重建算法下的PSNR仿真结果 真结果可以看出，在采样率较低时，确定性观测矩 Fig.3 PSNR simulation result of Gaussian random matrix under different reconstruction algorithm 阵的重建效果较好，其中改进的顺序部分哈达玛矩 阵采样效果最好，而构造的循环伪随机（循环m序 22.0 BP 列和循环gold序列)观测矩阵也表现出较好的采样 21.5 OMP -StOMP 效果。 21.0 20.5 至200 19.5 19.0 (a)lena原图像 (b)高斯随机矩阵 (c)托普利兹矩阵 18230.4050607080.910 采样率 图4顺序部分哈达玛矩阵在不同重建算法下的PSNR仿真结果 Fig4 PSNR simulation result of partial order Hadamard matrix under different reconstruction algorithm (d顺序部分 (e)循环m序列矩阵 (D循环gold序列矩阵 哈达玛矩阵 由图3~6可知，顺序部分哈达玛观测矩阵的重 图2采样率为0.25时仿真结果图 建效果最好，比高斯随机矩阵高出近2dB,4种观测 Fig.2 Simulation result at sampling rate 0.25 矩阵在BP算法和OMP算法上的重建效果总体趋
３．２ 循环伪随机序列构造的观测矩阵可用性验证 文中简单证明了循环伪随机可以作为观测矩 阵的理论可能性，下面通过仿真来验证构造的观测 矩阵的适应性和实用性。 表 ２ 列出了高斯随机观测 矩阵、托普利兹观测矩阵、顺序部分哈达玛观测矩 阵的对比结果，重建算法选用的是 ＯＭＰ 算法；并且 展示了这几种观测矩阵在不同采样率下，重建后的 图像的 ＰＳＮＲ 值。 表 ２ 同观测矩阵重构时的 ＰＳＮＲ 值 Ｔａｂｌｅ ２ ＰＳＮＲ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｄＢ 采样率 高斯 随机 托普 利兹 顺序部分 哈达玛 循环 ｍ 序列 循环 ｇｏｌｄ 序列 ０．２５ １６．３１ ２０．９１ ２５．１０ ２０．５６ ２０．０９ ０．５０ ２３．５６ ２４．３０ ２９．８２ ２４．９８ ２４．６６ ０．７５ ２７．７６ ２８．４０ ２９．９７ ２９．６９ ２９．１７ 图 ２ 展示了采样率为 ０．２５ 时，各观测矩阵采样 时重建的图像仿真效果图。 由表 ２ 和图 ２ 可知，当 采样率较低时，顺序部分哈达玛的观测效果最佳， 比高斯随机矩阵高出将近９ ｄＢ，其他确定性观测矩 阵也比高斯随机矩阵高出４ ｄＢ；当采样率提升到 ０．５０时，顺序部分哈达玛矩阵也要高出６ ｄＢ，而其他 观测矩阵也高出１ ｄＢ；随着采样率提高到 ０．７５ 时， 各个观测矩阵的重建效果差距就较小了。 通过仿 真结果可以看出，在采样率较低时，确定性观测矩 阵的重建效果较好，其中改进的顺序部分哈达玛矩 阵采样效果最好，而构造的循环伪随机（循环 ｍ 序 列和循环 ｇｏｌｄ 序列）观测矩阵也表现出较好的采样 效果。 图 ２ 采样率为 ０．２５ 时仿真结果图 Ｆｉｇ．２ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔ ａｔ ｓａｍｐｌｉｎｇ ｒａｔｅ ０．２５ ３．３ 构造的观测矩阵在常用重构算法上的对比分析 仿真实验依然沿用上文的条件，测试图像为 ２５６×２５６ 的 Ｌｅｎａ 图像，重构算法选用的是求解最小 ｌ ０ －范数和 ｌ １ －范数各类别中有代表性的 ＢＰ 算法、 ＯＭＰ 算法以及 ＯＭＰ 算法的改进算法分段正交匹配 追踪算法（ＳｔＯＭＰ），对比的观测矩阵包括高斯随机 矩阵、顺序部分哈达玛矩阵、循环 ｍ 序列矩阵和循 环 ｇｏｌｄ 序列矩阵，ｍ 序列采用 ７ 级反馈系数，选用 的本原多项式为 ｆ（ｘ）＝ ｘ ７ ＋ｘ ６ ＋ｘ ３ ＋ｘ １ ，即各寄存器的 初始状态为［１ １ ０ ０ １ ０ １］。 本次仿真与上文不同的是，稀疏基为小波变 换，每次处理 ２５６ 个像素，采样率从 ０．２ 到 ０．８ 变化， 步长为 ０．０５。 高斯随机观测矩阵、顺序部分哈达玛 观测矩阵、循环 ｍ 序列观测矩阵和循环 ｇｏｌｄ 序列观 测矩阵在不同的重建算法下的 ＰＳＮＲ 仿真结果分别 如图 ３～６ 所示。 图 ３ 高斯随机矩阵在不同重建算法下的 ＰＳＮＲ 仿真结果 Ｆｉｇ．３ ＰＳＮＲ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ Ｇａｕｓｓｉａｎ ｒａｎｄｏｍ ｍａｔｒｉｘ ｕｎｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ 图４ 顺序部分哈达玛矩阵在不同重建算法下的ＰＳＮＲ 仿真结果 Ｆｉｇ．４ ＰＳＮＲ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｐａｒｔｉａｌ ｏｒｄｅｒ Ｈａｄａｍａｒｄ ｍａｔｒｉｘ ｕｎｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ 由图 ３～６ 可知，顺序部分哈达玛观测矩阵的重 建效果最好，比高斯随机矩阵高出近２ ｄＢ，４ 种观测 矩阵在 ＢＰ 算法和 ＯＭＰ 算法上的重建效果总体趋 第 ３ 期 李霞丽，等：易于硬件实现的压缩感知观测矩阵的研究与构造 ·２８３·
·284. 智能系统学报 第12卷 势一样，都是随着采样率的提升而提升，在StOMP 高斯随机矩阵少。由上述对比可以验证，顺序部分 算法上顺序部分哈达玛观测矩阵重建效果成跳跃 哈达玛矩阵和循环伪随机序列矩阵的性能要优于 变化，而其他两种观测矩阵重建效果趋于稳定提 高斯随机观测矩阵。 高。循环伪随机观测矩阵的重建效果也要优于高 斯随机矩阵。 4 结束语 22.0 本文针对嵌入式硬件系统能源有限，存储较 -+BP 21.5 --OMP 小，计算能力差的特点，提出了两种易于硬件实现， -StOMP 21.0 且占内存较小的观测矩阵，即顺序部分哈达玛观测 号20.5 矩阵和循环伪随机观测矩阵（循环m序列矩阵和循 环gold序列矩阵)。经过仿真分析可知，这两类观 19.5 测矩阵在重建效果上要比高斯随机矩阵优越。另 19.04 外，这两类矩阵在构造上也比较简单，具有递推特 18.5 性，易于硬件实现，避免了随机矩阵的不确定性且 0.20.30.40.50.60.70.80.91.0 克服了随机矩阵浪费存储资源的缺陷，节省大量存 采样率 储空间。其中，循环伪随机观测矩阵还克服了部分 图5循环m序列矩阵的PSNR仿真结果 哈达玛矩阵对信号长度的限制，构造的观测矩阵不 Fig.5 PSNR simulation result of recycled m sequence 但具有一定的理论意义，还为硬件实现压缩感知观 measurement matrix 测矩阵提供了一种新的思路，具有良好的实际应用 22.5 +-BP 价值。 22.0 OMP 21.5 -StOMP 参考文献： 21.0 20.5 [1]CANDES E,ROMBERG J.Robust signal recovery from 至2004 incomplete observations C//Proceedings of International 19.5 Conference on Image Processing.Atlanta,GA:IEEE, 19.0 2006:1281-1284. 18.5 18. Y7个文平女月 [2]CANDES E J,TAO T.Decoding by linear programming[J]. 0.20.30.40.50.60.70.80.91.0 采样率 IEEE transactions on information theory,2005,51(12): 4203-4215. 图6循环old序列矩阵在不同重建算法下的PSNR仿真结果 Fig.6 PSNR simulation result of recycled gold sequence [3]DONOHO D L.Compressed sensing[J].IEEE transactions measurement matrix under different reconstruction on information theory,2006,52(4):1289-1306. algorithm [4]戴琼海，付长军，季向阳.压缩感知研究[J].计算机学 报，2011,34(3)：425-434. 本文对4种观测矩阵在重建算法重构时间上进 DAI Qionghai,FU Changjun,JI Xiangyang.Research on 行对比分析，如表3所示。 表3观测矩阵重建耗时对比表 compressed sensing [J].Chinese journal of computers, 2011,34(3):425-434. Table 3 Construction consuming time comparison among [5]CANDES E J,TAO T.Near-optimal signal recovery from diffetent measurement matrix random projections:universal encoding strategies?[J]. 观测矩阵名称 BP OMP StOMP IEEE transactions on information theory,2007,52(12): 高斯随机 33.5 4.4 3.2 5406-5425. 顺序部分哈达玛 19.8 2.7 2.6 [6]HAUPT J,BAJWA W U,RAZ G,et al.Toeplitz 循环m序列 28.4 3.6 2.8 compressed sensing matrices with applications to sparse channel estimation[J].IEEE transactions on information 循环gold序列 28.8 3.7 2.9 theory,2010,56(11):5862-5875. 表3是在采样率为0.6条件下的记录，通过表3 [7]DEVORE R A.Deterministic constructions of compressed 对比分析，可以得出在同等条件下顺序部分哈达玛 sensing matrices[J].Journal of complexity,2007,23(4/5/ 矩阵和循环伪随机序列矩阵的重建运行时间要比 6):918-925
势一样，都是随着采样率的提升而提升，在 ＳｔＯＭＰ 算法上顺序部分哈达玛观测矩阵重建效果成跳跃 变化，而其他两种观测矩阵重建效果趋于稳定提 高。 循环伪随机观测矩阵的重建效果也要优于高 斯随机矩阵。 图 ５ 循环 ｍ 序列矩阵的 ＰＳＮＲ 仿真结果 Ｆｉｇ．５ ＰＳＮＲ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｒｅｃｙｃｌｅｄ ｍ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ 图６ 循环 ｇｏｌｄ 序列矩阵在不同重建算法下的 ＰＳＮＲ 仿真结果 Ｆｉｇ．６ ＰＳＮＲ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｒｅｃｙｃｌｅｄ ｇｏｌｄ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｕｎｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ 本文对 ４ 种观测矩阵在重建算法重构时间上进 行对比分析，如表 ３ 所示。 表 ３ 观测矩阵重建耗时对比表 Ｔａｂｌｅ ３ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｃｏｎｓｕｍｉｎｇ ｔｉｍｅ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ａｍｏｎｇ ｄｉｆｆｅｔｅｎｔ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｓ 观测矩阵名称 ＢＰ ＯＭＰ ＳｔＯＭＰ 高斯随机 ３３．５ ４．４ ３．２ 顺序部分哈达玛 １９．８ ２．７ ２．６ 循环 ｍ 序列 ２８．４ ３．６ ２．８ 循环 ｇｏｌｄ 序列 ２８．８ ３．７ ２．９ 表 ３ 是在采样率为 ０．６ 条件下的记录，通过表 ３ 对比分析，可以得出在同等条件下顺序部分哈达玛 矩阵和循环伪随机序列矩阵的重建运行时间要比 高斯随机矩阵少。 由上述对比可以验证，顺序部分 哈达玛矩阵和循环伪随机序列矩阵的性能要优于 高斯随机观测矩阵。 ４ 结束语 本文针对嵌入式硬件系统能源有限，存储较 小，计算能力差的特点，提出了两种易于硬件实现， 且占内存较小的观测矩阵，即顺序部分哈达玛观测 矩阵和循环伪随机观测矩阵（循环 ｍ 序列矩阵和循 环 ｇｏｌｄ 序列矩阵）。 经过仿真分析可知，这两类观 测矩阵在重建效果上要比高斯随机矩阵优越。 另 外，这两类矩阵在构造上也比较简单，具有递推特 性，易于硬件实现，避免了随机矩阵的不确定性且 克服了随机矩阵浪费存储资源的缺陷，节省大量存 储空间。 其中，循环伪随机观测矩阵还克服了部分 哈达玛矩阵对信号长度的限制，构造的观测矩阵不 但具有一定的理论意义，还为硬件实现压缩感知观 测矩阵提供了一种新的思路，具有良好的实际应用 价值。 参考文献： ［１］ ＣＡＮＤＥＳ Ｅ， ＲＯＭＢＥＲＧ Ｊ． Ｒｏｂｕｓｔ ｓｉｇｎａｌ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｆｒｏｍ ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎｓ ［ Ｃ］ ／ ／ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｉｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ． Ａｔｌａｎｔａ， ＧＡ： ＩＥＥＥ， ２００６： １２８１－１２８４． ［２］ＣＡＮＤＥＳ Ｅ Ｊ， ＴＡＯ Ｔ． Ｄｅｃｏｄｉｎｇ ｂｙ ｌｉｎｅａｒ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ［Ｊ］． ＩＥＥＥ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ， ２００５， ５１（ １２）： ４２０３－４２１５． ［３］ＤＯＮＯＨＯ Ｄ Ｌ． Ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ［ Ｊ］． ＩＥＥＥ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ， ２００６， ５２（４）： １２８９－１３０６． ［４］戴琼海， 付长军， 季向阳． 压缩感知研究［ Ｊ］． 计算机学 报， ２０１１， ３４（３）： ４２５－４３４． ＤＡＩ Ｑｉｏｎｇｈａｉ， ＦＵ Ｃｈａｎｇｊｕｎ， ＪＩ Ｘｉａｎｇｙａｎｇ． Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ ［ Ｊ ］． Ｃｈｉｎｅｓｅ ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ， ２０１１， ３４（３）： ４２５－４３４． ［５］ＣＡＮＤＥＳ Ｅ Ｊ， ＴＡＯ Ｔ． Ｎｅａｒ－ｏｐｔｉｍａｌ ｓｉｇｎａｌ ｒｅｃｏｖｅｒｙ ｆｒｏｍ ｒａｎｄｏｍ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ： ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｅｎｃｏｄｉｎｇ ｓｔｒａｔｅｇｉｅｓ？ ［ Ｊ ］． ＩＥＥＥ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ， ２００７， ５２ （ １２）： ５４０６－５４２５． ［６ ］ ＨＡＵＰＴ Ｊ， ＢＡＪＷＡ Ｗ Ｕ， ＲＡＺ Ｇ， ｅｔ ａｌ． Ｔｏｅｐｌｉｔｚ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｗｉｔｈ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｔｏ ｓｐａｒｓｅ ｃｈａｎｎｅｌ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ［ Ｊ］． ＩＥＥＥ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ， ２０１０， ５６（１１）： ５８６２－５８７５． ［７］ ＤＥＶＯＲＥ Ｒ Ａ． Ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ ｍａｔｒｉｃｅｓ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ， ２００７， ２３（４ ／ ５ ／ ６）： ９１８－９２５． ·２８４· 智 能 系 统 学 报 第 １２ 卷
第3期 李霞丽，等：易于硬件实现的压缩感知观测矩阵的研究与构造 ·285. [8]蒋留兵，黄韬，沈翰宁，等.基于局部随机化哈达玛矩 [15]ZHANG G S,JIAO S H,XU X L.Compressed sensing 阵的正交多匹配追踪算法[J].系统工程与电子技术， and reconstruction with Semi-Hadamard matrices [C]// 2013,35(5):914-919. Proceedings of 2010 2nd International Conference on JIANG Liubing,HUANG Tao,SHEN Hanning,et al. Signal Processing Systems (ICSPS).Dalian:IEEE, Orthogonal multi matching pursuit algorithm based on local 2010:V1-194-V1-197. randomized Hadamard matrix[].Systems engineering and [16]SONG,YUN CAO Wei,SHEN Yanfei,et al.Compressed electronics,2013,35(5):914-919. sensing image reconstruction using intra prediction[J]. [9]刘记红，徐少坤，高勋章，等.基于随机卷积的压缩感 Neurocomputing,151(3):1171-1179. 知雷达成像[J].系统工程与电子技术，2011,33(7)： [17 WU X,HUANG G,WANG J,et al.Image 1485-1490. reconstruction method of electrical capacitance tomography LIU Jihong,XU Shaokun,GAO Xunzhang,et al. based on compressed sensing principle[].Measurement Compressed sensing radar imaging based on random science and technology,2013,24 (7):075-085. convolution[].Systems engineering and electronics,2011, [18]LANGET H RIDDELL C,TROUSSET Y et al. 33(7):1485-1490. Compressed sensing dynamic reconstruction in rotational [10]徐皓波，于凤芹.基于稀疏预处理和循环观测的语音压 angiography[].Med image comput comput assist interv, 缩感知[J].计算机工程与应用，2014,50(23)： 2012,7510(1):223-230. 220-224」 [19]SHCHUCKINA A,KASPRZAK P,DASS R,et al.Pitfalls XU Haobo,YU Fengqin.Speech compressed sensing based in compressed sensing reconstruction and how to avoid on sparse pre-treatment and circulant measurement[J]. them[J].Journal of biomolecular Nmr,2016:1-20. Computer engineering and applications,2014,50(23): [20]PARK JY,YAP HL,ROZELL CJ,et al.Concentration of 220-224. measure for block diagonal matrices with applications to [11]党骙，马林华，田雨，等.M序列压缩感知测量矩阵构 compressive signal processing[J].IEEE transactions on 造[J刀.西安电子科技大学学报：自然科学版，2015 8 signal processing,2011,59(12):5859-5875. (2):186-192. 作者简介： DANG Kui,MA Linhua,TIAN Yu,et al.Construction of 李霞丽，女，1979年生，副教授，研 the compressive sensing measurement matrix based on m 究方向为计算机博弈、智能系统及其应 sequences[J].Journal of Xidian University:Natural 用。主持国家自然科学基金项目1项， Science,2015(2):186-192. 发表学术论文20余篇，出版专著1部。 [12]王学伟，崔广伟，王琳，等.基于平衡G0LD序列的压 缩感知测量矩阵的构造[J].仪器仪表学报，2014,35 (1):97-102. WANG Xuewei,CUI Guangwei,WANG Lin,et al. 吴立成，男，1972年生，教授，主要 Construction of measurement matrix in compressed sensing 研究方向为智能系统及其应用、机器 based on balanced Gold sequence[].Chinese joural of 人。主持国家级项目5项，发表学术论 scientific instrument,2014,35(1):97-102. 文50余篇，出版专著2部。 [13]BARANIUK R.DAVENPORT M,DEVORE R,et al.A Simple proof of the restricted isometry property for random matrices[J].Constructive approximation,2008,28(3): 253-263. 樊艳明，男，1991年生，硕士研究 [14]ZHANG G S,JIAO S H,XU X L,et al.Compressed 生，主要研究方向为机器视觉。发表学 sensing and reconstruction with bernoulli matrices[C]/ 术论文3篇。 Proceedings of 2010 IEEE International Conference on Information and Automation (ICIA).Harbin:IEEE, 2010:455-460
［８］蒋留兵， 黄韬， 沈翰宁， 等． 基于局部随机化哈达玛矩 阵的正交多匹配追踪算法［ Ｊ］． 系统工程与电子技术， ２０１３， ３５（５）： ９１４－９１９． ＪＩＡＮＧ Ｌｉｕｂｉｎｇ， ＨＵＡＮＧ Ｔａｏ， ＳＨＥＮ Ｈａｎｎｉｎｇ， ｅｔ ａｌ． Ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｍｕｌｔｉ ｍａｔｃｈｉｎｇ ｐｕｒｓｕｉｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｌｏｃａｌ ｒａｎｄｏｍｉｚｅｄ Ｈａｄａｍａｒｄ ｍａｔｒｉｘ［ Ｊ］． Ｓｙｓｔｅｍｓ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ， ２０１３， ３５（５）： ９１４－９１９． ［９］刘记红， 徐少坤， 高勋章， 等． 基于随机卷积的压缩感 知雷达成像［ Ｊ］． 系统工程与电子技术， ２０１１， ３３（ ７）： １４８５－１４９０． ＬＩＵ Ｊｉｈｏｎｇ， ＸＵ Ｓｈａｏｋｕｎ， ＧＡＯ Ｘｕｎｚｈａｎｇ， ｅｔ ａｌ． Ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ ｒａｄａｒ ｉｍａｇｉｎｇ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｒａｎｄｏｍ ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎ［Ｊ］． Ｓｙｓｔｅｍｓ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ， ２０１１， ３３（７）： １４８５－１４９０． ［１０］徐皓波， 于凤芹． 基于稀疏预处理和循环观测的语音压 缩感 知 ［ Ｊ］． 计 算 机 工 程 与 应 用， ２０１４， ５０ （ ２３ ）： ２２０－２２４． ＸＵ Ｈａｏｂｏ， ＹＵ Ｆｅｎｇｑｉｎ． Ｓｐｅｅｃｈ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｓｐａｒｓｅ ｐｒｅ － ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ａｎｄ ｃｉｒｃｕｌａｎｔ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ［ Ｊ］． Ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ， ２０１４， ５０ （ ２３）： ２２０－２２４． ［１１］党骙， 马林华， 田雨， 等． Ｍ 序列压缩感知测量矩阵构 造［Ｊ］． 西安电子科技大学学报： 自然科学版， ２０１５ （２）： １８６－１９２． ＤＡＮＧ Ｋｕｉ， ＭＡ Ｌｉｎｈｕａ， ＴＩＡＮ Ｙｕ， ｅｔ ａｌ． Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅ ｓｅｎｓｉｎｇ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍ ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ ［ Ｊ ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｘｉｄｉａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ： Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ， ２０１５（２）： １８６－１９２． ［１２］王学伟， 崔广伟， 王琳， 等． 基于平衡 ＧＯＬＤ 序列的压 缩感知测量矩阵的构造［ Ｊ］． 仪器仪表学报， ２０１４， ３５ （１）： ９７－１０２． ＷＡＮＧ Ｘｕｅｗｅｉ， ＣＵＩ Ｇｕａｎｇｗｅｉ， ＷＡＮＧ Ｌｉｎ， ｅｔ ａｌ． Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｉｎ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｂａｌａｎｃｅｄ Ｇｏｌｄ ｓｅｑｕｅｎｃｅ［ Ｊ］． Ｃｈｉｎｅｓｅ ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔ， ２０１４， ３５（１）： ９７－１０２． ［１３］ＢＡＲＡＮＩＵＫ Ｒ， ＤＡＶＥＮＰＯＲＴ Ｍ， ＤＥＶＯＲＥ Ｒ， ｅｔ ａｌ． Ａ Ｓｉｍｐｌｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ ｉｓｏｍｅｔｒｙ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｆｏｒ ｒａｎｄｏｍ ｍａｔｒｉｃｅｓ［ Ｊ］． Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｖｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ， ２００８， ２８（ ３）： ２５３－２６３． ［１４］ ＺＨＡＮＧ Ｇ Ｓ， ＪＩＡＯ Ｓ Ｈ， ＸＵ Ｘ Ｌ， ｅｔ ａｌ． Ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ ａｎｄ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ ｍａｔｒｉｃｅｓ ［ Ｃ］ ／ ／ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ２０１０ ＩＥＥＥ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ （ ＩＣＩＡ ）． Ｈａｒｂｉｎ： ＩＥＥＥ， ２０１０： ４５５－４６０． ［１５］ＺＨＡＮＧ Ｇ Ｓ， ＪＩＡＯ Ｓ Ｈ， ＸＵ Ｘ Ｌ． Ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ ａｎｄ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ Ｓｅｍｉ⁃Ｈａｄａｍａｒｄ ｍａｔｒｉｃｅｓ ［ Ｃ］ ／ ／ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ２０１０ ２ｎｄ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｓｙｓｔｅｍｓ （ ＩＣＳＰＳ ）． Ｄａｌｉａｎ： ＩＥＥＥ， ２０１０： Ｖ１⁃１９４⁃Ｖ１⁃１９７． ［１６］ＳＯＮＧ， ＹＵＮ ＣＡＯ Ｗｅｉ， ＳＨＥＮ Ｙａｎｆｅｉ， ｅｔ ａｌ． Ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ ｉｍａｇｅ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ ｉｎｔｒａ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ［ Ｊ ］． Ｎｅｕｒｏｃｏｍｐｕｔｉｎｇ， １５１（３）：１１７１－１１７９． ［ １７ ］ ＷＵ Ｘ， ＨＵＡＮＧ Ｇ ， ＷＡＮＧ Ｊ ， ｅｔ ａｌ． Ｉｍａｇｅ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ ｃａｐａｃｉｔａｎｃｅ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ［ Ｊ］． Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ，２０１３ ，２４ （７）：０７５－０８５． ［１８］ ＬＡＮＧＥＴ Ｈ ， ＲＩＤＤＥＬＬ Ｃ ， ＴＲＯＵＳＳＥＴ Ｙ ， ｅｔ ａｌ． Ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ ｄｙｎａｍｉｃ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｉｎ ｒｏｔａｔｉｏｎａｌ ａｎｇｉｏｇｒａｐｈｙ［Ｊ］． Ｍｅｄ ｉｍａｇｅ ｃｏｍｐｕｔ ｃｏｍｐｕｔ ａｓｓｉｓｔ ｉｎｔｅｒｖ， ２０１２ ， ７５１０ （１）：２２３－２３０． ［１９］ＳＨＣＨＵＣＫＩＮＡ Ａ，ＫＡＳＰＲＺＡＫ Ｐ ，ＤＡＳＳ Ｒ，ｅｔ ａｌ． Ｐｉｔｆａｌｌｓ ｉｎ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｓｅｎｓｉｎｇ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｈｏｗ ｔｏ ａｖｏｉｄ ｔｈｅｍ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｂｉｏｍｏｌｅｃｕｌａｒ Ｎｍｒ，２０１６：１－２０． ［２０］ＰＡＲＫ ＪＹ， ＹＡＰ ＨＬ，ＲＯＺＥＬＬ ＣＪ，ｅｔ ａｌ． Ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｅａｓｕｒｅ ｆｏｒ ｂｌｏｃｋ ｄｉａｇｏｎａｌ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｗｉｔｈ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｔｏ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅ ｓｉｇｎａｌ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ［ Ｊ］． ＩＥＥＥ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ｓｉｇｎａｌ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ， ２０１１， ５９（１２） ： ５８５９－５８７５． 作者简介： 李霞丽，女，１９７９ 年生，副教授，研 究方向为计算机博弈、智能系统及其应 用。 主持国家自然科学基金项目 １ 项， 发表学术论文 ２０ 余篇，出版专著 １ 部。 吴立成，男，１９７２ 年生，教授，主要 研究方向为智能系统及其应用、机器 人。 主持国家级项目 ５ 项，发表学术论 文 ５０ 余篇，出版专著 ２ 部。 樊艳明，男，１９９１ 年生，硕士研究 生，主要研究方向为机器视觉。 发表学 术论文 ３ 篇。 第 ３ 期 李霞丽，等：易于硬件实现的压缩感知观测矩阵的研究与构造 ·２８５·