第11卷第4期 智能系统学报 Vol.11 No.4 2016年8月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Aug.2016 D0I:10.11992/is.201606011 网络出版地址：http:/www.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20160808.0830.006.html 基于证据理论刻画多粒度覆盖粗糙集的数值属性 车晓雅，李磊军12，米据生12 (1.河北师范大学数学与信息科学学院，河北石家庄050024：2.河北省计算数学与应用重点实验室，河北石家庄050024) 摘要：在经典多粒度粗糙集模型的基础上，基于论域中对象的极大描述和极小描述，定义了4种应用更为广泛的 悲观多粒度覆盖粗糙集模型。然后通过集合的交、并运算与关系划分函数，构造了对象关于覆盖族的单粒度的多元 覆盖及单粒度划分。在此基础上，基于证据理论，探讨了4种悲观多粒度覆盖粗糙集的上、下近似与信任函数和似然 函数之间关系，并描述了该模型所具备的相关数值属性。对比分析表明悲观多粒度覆盖粗糙集模型既具备经典多 粒度粗糙集模型能够融合多源信息的优势，又克服了其应用范围狭窄的缺点。实例分析验证了所提模型的有效性。 关键词：粗糙集理论：覆盖：粒度：证据理论：近似：特性描述 中图分类号：TP18文献标志码：A文章编号：1673-4785(2016)04-0481-06 中文引用格式：车晓雅，李磊军，米据生.基于证据理论刻画多粒度覆盖粗糙集的数值属性[J].智能系统学报，2016,11(4)：481-486. 英文引用格式：CHE Xiaoya,LI Leijun,MI Jusheng..Evidence-theory-based numerical characterization of multi-granulation cover- ing rough sets[J].CAAI Transactions on Intelligent Systems,2016,11(4):481-486. Evidence-theory-based numerical characterization of multi-granulation covering rough sets CHE Xiaoya',LI Leijun'2,MI Jusheng'.2 (1.College of Mathematics and Information Science,Hebei Normal University,Shijiazhuang 050024,China;2.Hebei Key Laboratory of Computational Mathematics and Applications,Shijiazhuang 050024,China) Abstract:Considering classical multi-granulation rough sets and using the maximal and minimal descriptors of ob- jects in a given universe,this paper proposes four pessimistic multi-granulation covering rough set models,suitable for extensive application.Based on set union and portion functions,the notion of multi-granularity covering connect- ed to a number of coverings and a single granularity partition in the domain are defined.On this basis,belief and plausibility functions from evidence theory are employed to define the relationship between the upper and lower ap- proximations,the belief function,and the likelihood function,and to characterize the set approximations in the four models.Compared with classical multi-granulation rough sets,the pessimistic multi-granulation covering rough set models not only have distinct advantages and combine multi-source information,but also avoid the shortcomings of a narrow application range.Finally,a real example is used to demonstrate the effectiveness of the presented models. Keywords:rough sets theory;covering;granulation;evidence theory;approximation;characterization 粗糙集理论由Pawlak)于1982年提出，是一机器学习、模式识别、决策分析和数据挖掘等领域得 种有效处理模糊和不确定性知识的数学工具，其在 到广泛应用2-。经典粗糙集理论基于等价关系定 义集合的上、下近似，然而随着现实世界中的数据在 收稿日期：2016-06-03.网络出版日期：2016-08-08. 结构和形式上日益复杂化和多样化，经典粗糙集有 基金项目：国家自然科学基金项目(61573127,61502144,61300121,6147 2463):河北省自然科学基金项目(A2014205157):河北省高 时不再能满足实际问题的处理需求。为此众多学者 校创新团队领军人才培育计划项目(LURC022):河北省高校 从不同角度对经典粗糙集模型进行了扩展[5=)，提 自然科学基金项目(QN2016133):河北师范大学博士科学基 金项目(L2015B01):河北省教育厅研究生创新项目 出了覆盖粗糙集、多粒度粗糙集、变精度粗糙集、概 (sj2015001). 通信作者：车晓雅.E-mail:chexiaoya@163.com 率粗糙集、模糊粗糙集等。其中，覆盖粗糙集是将经
第 １１ 卷第 ４ 期 智 能 系 统 学 报 Ｖｏｌ．１１ №．４ ２０１６ 年 ８ 月 ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ａｕｇ． ２０１６ ＤＯＩ：１０．１１９９２ ／ ｔｉｓ．２０１６０６０１１ 网络出版地址：ｈｔｔｐ： ／ ／ ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ ／ ｋｃｍｓ／ ｄｅｔａｉｌ ／ ２３．１５３８．ＴＰ．２０１６０８０８．０８３０．００６．ｈｔｍｌ 基于证据理论刻画多粒度覆盖粗糙集的数值属性 车晓雅１ ，李磊军１，２ ，米据生１，２ （１．河北师范大学 数学与信息科学学院，河北 石家庄 ０５００２４； ２．河北省计算数学与应用重点实验室，河北 石家庄 ０５００２４） 摘 要：在经典多粒度粗糙集模型的基础上，基于论域中对象的极大描述和极小描述，定义了 ４ 种应用更为广泛的 悲观多粒度覆盖粗糙集模型。 然后通过集合的交、并运算与关系划分函数，构造了对象关于覆盖族的单粒度的多元 覆盖及单粒度划分。 在此基础上，基于证据理论，探讨了 ４ 种悲观多粒度覆盖粗糙集的上、下近似与信任函数和似然 函数之间关系，并描述了该模型所具备的相关数值属性。 对比分析表明悲观多粒度覆盖粗糙集模型既具备经典多 粒度粗糙集模型能够融合多源信息的优势，又克服了其应用范围狭窄的缺点。 实例分析验证了所提模型的有效性。 关键词：粗糙集理论；覆盖；粒度；证据理论；近似；特性描述 中图分类号： ＴＰ１８ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３－４７８５（２０１６）０４－０４８１－０６ 中文引用格式：车晓雅，李磊军，米据生． 基于证据理论刻画多粒度覆盖粗糙集的数值属性［Ｊ］． 智能系统学报， ２０１６， １１（４）： ４８１－４８６． 英文引用格式：ＣＨＥ Ｘｉａｏｙａ， ＬＩ Ｌｅｉｊｕｎ， ＭＩ Ｊｕｓｈｅｎｇ． Ｅｖｉｄｅｎｃｅ⁃ｔｈｅｏｒｙ⁃ｂａｓｅｄ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｕｌｔｉ⁃ｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ ｃｏｖｅｒ⁃ ｉｎｇ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ［Ｊ］． ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１６， １１（４）： ４８１－４８６． Ｅｖｉｄｅｎｃｅ⁃ｔｈｅｏｒｙ⁃ｂａｓｅｄ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｕｌｔｉ⁃ｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ ｃｏｖｅｒｉｎｇ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ＣＨＥ Ｘｉａｏｙａ １ ， ＬＩ Ｌｅｉｊｕｎ １，２ ， ＭＩ Ｊｕｓｈｅｎｇ １，２ （１．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ， Ｈｅｂｅｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ ０５００２４， Ｃｈｉｎａ； ２． Ｈｅｂｅｉ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ， Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ ０５００２４， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｍｕｌｔｉ⁃ｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｍａｘｉｍａｌ ａｎｄ ｍｉｎｉｍａｌ ｄｅｓｃｒｉｐｔｏｒｓ ｏｆ ｏｂ⁃ ｊｅｃｔｓ ｉｎ ａ ｇｉｖｅｎ ｕｎｉｖｅｒｓｅ， ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｏｐｏｓｅｓ ｆｏｕｒ ｐｅｓｓｉｍｉｓｔｉｃ ｍｕｌｔｉ⁃ｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ ｃｏｖｅｒｉｎｇ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ｍｏｄｅｌｓ， ｓｕｉｔａｂｌｅ ｆｏｒ ｅｘｔｅｎｓｉｖｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ． Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｓｅｔ ｕｎｉｏｎ ａｎｄ ｐｏｒｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ， ｔｈｅ ｎｏｔｉｏｎ ｏｆ ｍｕｌｔｉ⁃ｇｒａｎｕｌａｒｉｔｙ ｃｏｖｅｒｉｎｇ ｃｏｎｎｅｃｔ⁃ ｅｄ ｔｏ ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｃｏｖｅｒｉｎｇｓ ａｎｄ ａ ｓｉｎｇｌｅ ｇｒａｎｕｌａｒｉｔｙ ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｄｏｍａｉｎ ａｒｅ ｄｅｆｉｎｅｄ． Ｏｎ ｔｈｉｓ ｂａｓｉｓ， ｂｅｌｉｅｆ ａｎｄ ｐｌａｕｓｉｂｉｌｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ ｅｖｉｄｅｎｃｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｒｅ ｅｍｐｌｏｙｅｄ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｕｐｐｅｒ ａｎｄ ｌｏｗｅｒ ａｐ⁃ ｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ， ｔｈｅ ｂｅｌｉｅｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ， ａｎｄ ｔｈｅ ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ， ａｎｄ ｔｏ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅ ｔｈｅ ｓｅｔ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｕｒ ｍｏｄｅｌｓ． Ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｍｕｌｔｉ⁃ｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ， ｔｈｅ ｐｅｓｓｉｍｉｓｔｉｃ ｍｕｌｔｉ⁃ｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ ｃｏｖｅｒｉｎｇ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ｍｏｄｅｌｓ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｈａｖｅ ｄｉｓｔｉｎｃｔ ａｄｖａｎｔａｇｅｓ ａｎｄ ｃｏｍｂｉｎｅ ｍｕｌｔｉ⁃ｓｏｕｒｃｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ， ｂｕｔ ａｌｓｏ ａｖｏｉｄ ｔｈｅ ｓｈｏｒｔｃｏｍｉｎｇｓ ｏｆ ａ ｎａｒｒｏｗ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｒａｎｇｅ． Ｆｉｎａｌｌｙ， ａ ｒｅａｌ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｍｏｄｅｌｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ｔｈｅｏｒｙ； ｃｏｖｅｒｉｎｇ； ｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ； ｅｖｉｄｅｎｃｅ ｔｈｅｏｒｙ； ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ； ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ 收稿日期：２０１６－０６－０３． 网络出版日期：２０１６－０８－０８． 基金项目：国家自然科学基金项目（６１５７３１２７，６１５０２１４４，６１３００１２１，６１４７ ２４６３）；河北省自然科学基金项目（Ａ２０１４２０５１５７）；河北省高 校创新团队领军人才培育计划项目（ ＬＪＲＣ０２２）；河北省高校 自然科学基金项目（ＱＮ２０１６１３３）；河北师范大学博士科学基 金项 目 （ Ｌ２０１５Ｂ０１ ）； 河 北 省 教 育 厅 研 究 生 创 新 项 目 （ｓｊ２０１５００１）． 通信作者：车晓雅．Ｅ⁃ｍａｉｌ：ｃｈｅｘｉａｏｙａ＠ １６３．ｃｏｍ． 粗糙集理论由 Ｐａｗｌａｋ ［１］ 于 １９８２ 年提出，是一 种有效处理模糊和不确定性知识的数学工具，其在 机器学习、模式识别、决策分析和数据挖掘等领域得 到广泛应用［２－５］ 。 经典粗糙集理论基于等价关系定 义集合的上、下近似，然而随着现实世界中的数据在 结构和形式上日益复杂化和多样化，经典粗糙集有 时不再能满足实际问题的处理需求。 为此众多学者 从不同角度对经典粗糙集模型进行了扩展［５－８］ ，提 出了覆盖粗糙集、多粒度粗糙集、变精度粗糙集、概 率粗糙集、模糊粗糙集等。 其中，覆盖粗糙集是将经
.482 智能系统学报 第11卷 典粗糙集中的划分推广成更一般的覆盖，增强了其 分之间的关系，进而建立了多粒度覆盖粗糙集和证 处理数据的能力[」 据理论之间联系。 从粒计算的角度来看，Pawlak粗糙集及推广形 1相关概念 式都是基于单一二元关系，均可被称做单粒度粗糙 集。然而，在许多实际应用中，需要由多个二元关系 1.1 Pawlak粗糙集相关概念 诱导出的多粒度结构对目标概念进行刻画。为此， 定义1令S=(U,CUD,V.)是信息系 钱宇华等[⑧，0提出了基于全域中多个等价关系的经 统，其中U={1,x2x3,…,x}是非空有限对象 典多粒度粗糙集模型。苗夺谦等)在覆盖近似空 集，称为论域：C是条件属性集，D是决策属性集， 间中提出4种乐观多粒度覆盖粗糙集模型，其中集 V=UV。,Vn是属性a的属性值，f:U×CUD→V 合的第一、二型近似分别基于论域中对象极小描述 是一个信息函数，它指定U中每一个对象的属性 的交和并，集合的第三、四型近似分别基于论域中对 值，即a∈A,x∈U,fx,a)∈V。。通常用S= 象极大描述的交和并。 (U,A)代替S=(U,CUD,V.)。 另一方面，Dempster--Shafer(DS)证据理论产生 HBCC决定一个二元不可辨识关系)R。,定 自20世纪60年代。Dempster!)提出了集值映射的 义为 概念，并定义了上、下概率。随后，Shafer!用信度 Rg={(x,y）∈U×U|Ha∈B,f(x,a)=fy,a)} 函数对上、下概率重新进行诠释，创立“证据的数学 显然，R是集合U上的等价关系，对于BCC, 理论”。Dempster还定义了著名的Dempster证据组 关系RB产生U的一个划分U/Rg={[x]Bx∈U}, 合规则，该理论中的基本概念是信度函数，包括信任 即[x]B={y∈Ul(x,y)∈Rg}。 函数和似然函数，并以此来度量知识的不确定性。 定义2令S=(U,R)为近似空间，R是U上 与粗糙集理论相类似，证据理论也是一种处理不确 定性的有力工具16。许多专家对粗糙集和证据 的等价关系，HXCU,称R(X)和R(X)为X关于 理论之间的关系进行了研究和推广。姚一豫[)指 R的上、下近似)，如果 出可以用信任函数和似然函数对粗糙集中的上、下 R(X)={x∈U川[x]RCU) 近似算子进行解读：吴伟志等[16]将信任结构与近似 R(X)={x∈Ul[x]R∩U≠O} 空间相结合，从证据理论的角度研究Pawlak粗糙集 若R(X)≠R(X),称X为粗糙集山，否则称X 的知识约简：陈德刚等1)在统一框架下对若干覆盖 为可定义集四。 近似算子进行分类，基于粒和证据理论对这些覆盖 1.2覆盖粗糙集相关概念 粗糙近似算子进行度量，并且用信任函数和似然函 定义3令U为论域，C是U的一族子集。如 数对邻域覆盖粗糙集中上、下近似算子进行了度量， 果⑦C且UC=,则称C是U的一个覆盖[2)； 进而建立了上述函数与邻域信息系统属性约简之间 称序对(U,C)是覆盖近似空间2】。 的关系[ 定义4令(U,C)为覆盖近似空间，其中C= 将证据理论与多粒度粗糙集模型相结合是目前 的研究热点之一[202，谭安辉2基于证据理论刻 {C1,C2,…,C}。HXSU,称C(X)和C(X)为X 画了不完备信息系统中多粒度粗糙集的数值属性， 关于C的上、下近似2]，如果 指出只有悲观多粒度粗糙集的数值属性可以由信任 C(X)=U{C:CX,i∈{1,2，…，p}} 结构刻画，并构建了一种多粒度粗糙集的属性约简 C(X)=U{C:∩X≠☑，i∈{1,2，…，p}} 算法：林国平1)结合证据理论和多粒度粗糙集，提 定义5令(U,C)为覆盖近似空间，Hx∈U, 出一种新的融合多源信息的方法。然而，上述研究 集合mdc(x)和MDc(x)分别称x关于C的极小描 都没有考虑过如何构建多粒度覆盖粗糙集的信任结 述和极大描述四，如果 构以及如何用证据理论刻画多粒度覆盖粗糙集的数 mdc(x)={K∈Clx∈K∧(HS∈CAx∈S∧ 值属性。基于上述启发，本文首先在苗夺谦等提 SCK→K=S)} 出的4种乐观多粒度覆盖粗糙集模型的基础上定义 MDc(x)={K∈Clx∈KA(HS∈CAx∈SA 4种悲观多粒度覆盖粗糙集模型，然后基于证据理 KCS→K=S)} 论给出多粒度覆盖粗糙集的信任结构。通过集合的 1.3多粒度粗糙集相关概念 交运算和关系划分函数建立多粒度覆盖与单粒度划 下面简要给出多粒度粗糙集的两种模型，即乐
典粗糙集中的划分推广成更一般的覆盖，增强了其 处理数据的能力［７，９］ 。 从粒计算的角度来看，Ｐａｗｌａｋ 粗糙集及推广形 式都是基于单一二元关系，均可被称做单粒度粗糙 集。 然而，在许多实际应用中，需要由多个二元关系 诱导出的多粒度结构对目标概念进行刻画。 为此， 钱宇华等［８，１０］提出了基于全域中多个等价关系的经 典多粒度粗糙集模型。 苗夺谦等［１１］ 在覆盖近似空 间中提出 ４ 种乐观多粒度覆盖粗糙集模型，其中集 合的第一、二型近似分别基于论域中对象极小描述 的交和并，集合的第三、四型近似分别基于论域中对 象极大描述的交和并。 另一方面，Ｄｅｍｐｓｔｅｒ⁃Ｓｈａｆｅｒ（ＤＳ） 证据理论产生 自 ２０ 世纪 ６０ 年代。 Ｄｅｍｐｓｔｅｒ ［１２］提出了集值映射的 概念，并定义了上、下概率。 随后， Ｓｈａｆｅｒ ［１３］ 用信度 函数对上、下概率重新进行诠释， 创立“证据的数学 理论”。 Ｄｅｍｐｓｔｅｒ 还定义了著名的 Ｄｅｍｐｓｔｅｒ 证据组 合规则，该理论中的基本概念是信度函数，包括信任 函数和似然函数，并以此来度量知识的不确定性。 与粗糙集理论相类似，证据理论也是一种处理不确 定性的有力工具［１４－１６］ 。 许多专家对粗糙集和证据 理论之间的关系进行了研究和推广。 姚一豫［１７］ 指 出可以用信任函数和似然函数对粗糙集中的上、下 近似算子进行解读；吴伟志等［１６］ 将信任结构与近似 空间相结合，从证据理论的角度研究 Ｐａｗｌａｋ 粗糙集 的知识约简；陈德刚等［１８］在统一框架下对若干覆盖 近似算子进行分类，基于粒和证据理论对这些覆盖 粗糙近似算子进行度量，并且用信任函数和似然函 数对邻域覆盖粗糙集中上、下近似算子进行了度量， 进而建立了上述函数与邻域信息系统属性约简之间 的关系［１９］ 。 将证据理论与多粒度粗糙集模型相结合是目前 的研究热点之一［２０－２１］ ，谭安辉［２２］ 基于证据理论刻 画了不完备信息系统中多粒度粗糙集的数值属性， 指出只有悲观多粒度粗糙集的数值属性可以由信任 结构刻画，并构建了一种多粒度粗糙集的属性约简 算法；林国平［１４］ 结合证据理论和多粒度粗糙集，提 出一种新的融合多源信息的方法。 然而，上述研究 都没有考虑过如何构建多粒度覆盖粗糙集的信任结 构以及如何用证据理论刻画多粒度覆盖粗糙集的数 值属性。 基于上述启发，本文首先在苗夺谦等［１１］ 提 出的 ４ 种乐观多粒度覆盖粗糙集模型的基础上定义 ４ 种悲观多粒度覆盖粗糙集模型，然后基于证据理 论给出多粒度覆盖粗糙集的信任结构。 通过集合的 交运算和关系划分函数建立多粒度覆盖与单粒度划 分之间的关系，进而建立了多粒度覆盖粗糙集和证 据理论之间联系。 １ 相关概念 １．１ Ｐａｗｌａｋ 粗糙集相关概念 定义 １ 令 Ｓ ＝ (Ｕ，Ｃ ∪ Ｄ，Ｖａ ，ｆ) 是信息系 统［１］ ，其中 Ｕ ＝ ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ，…，ｘｎ { } 是非空有限对象 集，称为论域； Ｃ 是条件属性集， Ｄ 是决策属性集， Ｖ ＝ ∪ａ∈Ａ Ｖａ ， Ｖａ 是属性 ａ 的属性值， ｆ：Ｕ × Ｃ ∪ Ｄ → Ｖ 是一个信息函数，它指定 Ｕ 中每一个对象的属性 值，即 ∀ａ ∈ Ａ， ｘ ∈ Ｕ，ｆ(ｘ，ａ) ∈ Ｖａ 。 通常用 Ｓ ＝ (Ｕ，Ａ) 代替 Ｓ ＝ (Ｕ，Ｃ ∪ Ｄ，Ｖａ ，ｆ) 。 ∀Ｂ ⊆ Ｃ 决定一个二元不可辨识关系［１］ＲＢ ，定 义为 ＲＢ ＝ { (ｘ，ｙ) ∈ Ｕ × Ｕ ∀ａ ∈ Ｂ，ｆ(ｘ，ａ) ＝ ｆ(ｙ，ａ) } 显然， ＲＢ 是集合 Ｕ 上的等价关系，对于 Ｂ ⊆Ｃ ， 关系 ＲＢ 产生 Ｕ 的一个划分 Ｕ／ ＲＢ ＝ [ｘ] Ｂ { ｘ ∈ Ｕ} ， 即 [ｘ] Ｂ ＝ ｙ ∈ Ｕ （ｘ，ｙ） ∈ ＲＢ { } 。 定义 ２ 令 Ｓ ＝ (Ｕ，Ｒ) 为近似空间， Ｒ 是 Ｕ 上 的等价关系， ∀Ｘ ⊆ Ｕ ，称 Ｒ＿ （Ｘ） 和 Ｒ － (Ｘ) 为 Ｘ 关于 Ｒ 的上、下近似［１］ ，如果 Ｒ＿ (Ｘ) ＝ ｘ ∈ Ｕ [ｘ] { Ｒ ⊆ Ｕ} Ｒ － (Ｘ) ＝ ｘ ∈ Ｕ [ｘ] { Ｒ ∩ Ｕ ≠ ⌀} 若 Ｒ＿ (Ｘ) ≠ Ｒ － (Ｘ) ，称 Ｘ 为粗糙集［１］ ，否则称 Ｘ 为可定义集［１］ 。 １．２ 覆盖粗糙集相关概念 定义 ３ 令 Ｕ 为论域， Ｃ 是 Ｕ 的一族子集。 如 果 ⌀ ∉ Ｃ 且 ∪ Ｃ ＝ Ｕ ，则称 Ｃ 是 Ｕ 的一个覆盖［２３］ ； 称序对 (Ｕ，Ｃ) 是覆盖近似空间［２３］ 。 定义 ４ 令 (Ｕ，Ｃ) 为覆盖近似空间，其中 Ｃ ＝ Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｐ { } 。 ∀Ｘ ⊆ Ｕ ，称 Ｃ＿ (Ｘ) 和 Ｃ － (Ｘ) 为 Ｘ 关于 Ｃ 的上、下近似［２３］ ，如果 Ｃ＿ (Ｘ) ＝∪ {Ｃｉ ⊆ Ｘ，ｉ ∈ {１，２，…，ｐ} } Ｃ － (Ｘ) ＝∪ {Ｃｉ ∩ Ｘ ≠ ⌀，ｉ ∈ {１，２，…，ｐ} } 定义 ５ 令 (Ｕ，Ｃ) 为覆盖近似空间， ∀ｘ ∈ Ｕ， 集合 ｍｄＣ (ｘ) 和 ＭＤＣ (ｘ) 分别称 ｘ 关于 Ｃ 的极小描 述和极大描述［１１］ ，如果 ｍｄＣ (ｘ) ＝ {Ｋ ∈ Ｃ ｘ ∈ Ｋ ∧ (∀Ｓ ∈ Ｃ ∧ ｘ ∈ Ｓ ∧ Ｓ ⊆ Ｋ⇒Ｋ ＝ Ｓ) } ＭＤＣ (ｘ) ＝ {Ｋ ∈ Ｃ ｘ ∈ Ｋ ∧ (∀Ｓ ∈ Ｃ ∧ ｘ ∈ Ｓ ∧ Ｋ ⊆ Ｓ⇒Ｋ ＝ Ｓ) } １．３ 多粒度粗糙集相关概念 下面简要给出多粒度粗糙集的两种模型，即乐 ·４８２· 智 能 系 统 学 报 第 １１ 卷
第4期 车晓雅，等：基于证据理论刻画多粒度覆盖粗糙集的数值属性 ·483. 观多粒度粗糙集和悲观多粒度粗糙集。 2多粒度覆盖粗糙集(MGCRS) 定义6令S=(U,A)是信息系统，A是属性 集合，A1,A2,…,AnCA,其中m是自然数。HXC 本节选取苗夺谦等)提出的4种乐观多粒度 U,X关于A1,A2,…,Am的乐观多粒度上、下近 覆盖粗糙集模型。上述模型基于论域中极小描述或 似8,1o1为 极大描述的交或并定义。 谭安辉等[2]指出，在信息系统中，集合的悲观 2A(x)=ix eUlle]∈XV,S 多粒度近似可以由信度函数刻画，但是集合的乐观 多粒度近似一般不具备这种特性。因而本文首先基 XV…V[x]aSx} 于苗夺谦等[)提出的4种乐观多粒度覆盖粗糙集 豆m-豆4(-刘 模型定义悲观多粒度覆盖粗糙集模型。 对于给定的近似空间〈U,C),Hx∈U,x的 式中~X=U-X。 极小描述包含了近似空间中与x相关的核心对象， 定义7令S=(U,A)是信息系统，A是属性 当讨论近似空间〈U,C〉中集合近似的问题时，极小 集合，A1,A2,…,AmCA,其中m是自然数。HXC 描述可以提供关于x简单且关键的概括。 U,X关于A1,A2,…,A的悲观多粒度上、下近 定义10令〈U,C>为多粒度覆盖近似空间， 似[8,1o1为 C1,C2,…,Cm∈C,其中m是自然数。VXCU,其 A)=tx∈Ul∈XN[S 关于C1,C2,…,Cm的第一型上、下近似定义如下： f=1 FR吃sX)={xeU川nmd,(x)GXA XA…A[x]an∈X} nmdc(x)GX∧·∧nmde.(x)CX)} 三4W= (- FR(X)=-FRX) i1 定义11令〈U,C>为多粒度覆盖近似空间， 式中~X=U-X。 C1,C2,…,Cm∈C,其中m是自然数。XCU,其 2.4证据理论相关概念 关于C,C2,…,Cm的第二型上、下近似定义如下： 定义8令U为论域，2”是U的全体子集，集 SR(X)={xE UlU mdc,(x)XA 函数m:2”→[0,1】称为概率指派函数2】，即mass Umde(x)CXA…∧Umde(x)CX) 函数，如果 1)m(0)=0: SR(X)=-SR(-X) 2)∑cm0=1。 x的极大描述包含近似空间中所有与x相关的 对象，当讨论近似空间〈U,C)中集合近似的问题 若m()≠0，则称X为m的焦元。 时，极大描述可以提供一个详细且综合的对于x的 定义9令0为论域，m:2“→[0,1]是一个 概括。 基本概率指派函数。集函数Bl:2→[0,1]称为 定义12令〈U,C>为多粒度覆盖近似空间， U上的信任函数，如果Bl(X)=∑rcm(K'), C1,C2,…,Cm∈C,其中m是自然数。HXCU,其 HXC2“。集函数P:2”→[0,1]称为U上的似 关于C1,C2,…,Cm的第三型上、下近似定义如下： 然函数1，如果P(X)=∑m(X'),HX二2。 TR(X)=E UIn MDG,()SXA 基于相同的概率指派函数，信任函数和似然函 O MDc,()X A..An MDc.(x)X) 数是对偶的，即Bl(X)=~P(~X),其中~X= TR吃GW)=~TR2:6(~X) U-X。 定义13令〈U,C)>为多粒度覆盖近似空间， 信任函数满足下列性质： C1,C2,…,Cm∈C,其中m是自然数。HXCU,其 1)Bel(☑)=0： 中m是自然数。VXCU,其关于C,C2,…,Cm的 2)Bel(U)=1: 第4型上、下近似定义如下： 3）Bel(Ux)≥ ∑can（ LR吃(W)={x∈MDe()GXA l)1J1xBl(neX)X1,X2,…,XmCU。 UMD,(x)X A...AU MDc.(X)
观多粒度粗糙集和悲观多粒度粗糙集。 定义 ６ 令 Ｓ ＝ (Ｕ，Ａ) 是信息系统， Ａ 是属性 集合， Ａ１ ，Ａ２ ，…，Ａｍ ⊆ Ａ ，其中 ｍ 是自然数。 ∀Ｘ ⊆ Ｕ ， Ｘ 关于 Ａ１ ，Ａ２ ，…，Ａｍ 的乐观多 粒 度 上、 下 近 似［８，１０］为 ∑ ｍ ｉ ＝ １ Ａ Ｏ ｉ （Ｘ） ＝ ｘ ∈ Ｕ [ｘ] Ａ１ ⊆ Ｘ ∨ [ｘ] { Ａ２ ⊆ Ｘ ∨ … ∨ [ｘ] Ａｍ ⊆ Ｘ} ∑ ｍ ｉ ＝ １ Ａ Ｏ ｉ (Ｘ) ＝ ～ ∑ ｍ ｉ ＝ １ Ａ Ｏ ｉ ( ～ Ｘ) 式中 ～ Ｘ ＝ Ｕ － Ｘ 。 定义 ７ 令 Ｓ ＝ (Ｕ，Ａ) 是信息系统， Ａ 是属性 集合， Ａ１ ，Ａ２ ，…，Ａｍ ⊆ Ａ ，其中 ｍ 是自然数。 ∀Ｘ ⊆ Ｕ ， Ｘ 关于 Ａ１ ，Ａ２ ，…，Ａｍ 的悲观多 粒 度 上、 下 近 似［８，１０］为 ∑ ｍ ｉ ＝ １ Ａｉ Ｐ (Ｘ) ＝ ｘ ∈ Ｕ [ｘ] Ａ１ ⊆ Ｘ ∧ [ｘ] { Ａ２ ⊆ Ｘ ∧ … ∧ [ｘ] Ａｍ ⊆ Ｘ} ∑ ｍ ｉ ＝ １ Ａ Ｐ ｉ (Ｘ) ＝ ～ ∑ ｍ ｉ ＝ １ Ａ Ｐ ｉ ( ～ Ｘ) 式中 ～ Ｘ ＝ Ｕ － Ｘ 。 ２．４ 证据理论相关概念 定义 ８ 令 Ｕ 为论域， ２ Ｕ 是 Ｕ 的全体子集，集 函数 ｍ ：２ Ｕ → [０，１] 称为概率指派函数［２２］ ，即 ｍａｓｓ 函数，如果 １） ｍ(⌀) ＝ ０； ２） ∑Ｘ⊆Ｕ ｍ(Ｘ) ＝ １。 若 ｍ(Ｘ) ≠ ０，则称 Ｘ 为 ｍ 的焦元。 定义 ９ 令 Ｕ 为论域， ｍ ：２ Ｕ → [０，１] 是一个 基本概率指派函数。 集函数 Ｂｅｌ：２ Ｕ → [０，１] 称为 Ｕ 上的信任函数［１９］ ，如果 Ｂｅｌ（Ｘ） ＝ ∑Ｘ′⊆Ｘ ｍ(Ｘ′) ， ∀ Ｘ ⊆２ Ｕ 。 集函数 Ｐｌ：２ Ｕ → [０，１] 称为 Ｕ 上的似 然函数［１９］ ，如果 Ｐｌ（Ｘ） ＝ Ｘ′∩∑Ｘ≠⌀ ｍ(Ｘ′) ，∀Ｘ ⊆ ２ Ｕ 。 基于相同的概率指派函数，信任函数和似然函 数是对偶的，即 Ｂｅｌ(Ｘ) ＝ ～ Ｐｌ ( ～ Ｘ) ，其中 ～ Ｘ ＝ Ｕ －Ｘ 。 信任函数满足下列性质： １） Ｂｅｌ(⌀) ＝ ０； ２） Ｂｅｌ(Ｕ) ＝ １； ３ ） Ｂｅｌ ∪ｍ ｉ ＝ １Ｘｉ ( ) ≥ ∑Ｊ⊂{１，２，…，Ｍ} （ － １） Ｊ ＋１× Ｂｅｌ（∩ｉ∈ＪＸｉ） ∀Ｘ１ ，Ｘ２ ，…，Ｘｍ ⊆ Ｕ。 ２ 多粒度覆盖粗糙集（ＭＧＣＲＳ） 本节选取苗夺谦等［１１］ 提出的 ４ 种乐观多粒度 覆盖粗糙集模型。 上述模型基于论域中极小描述或 极大描述的交或并定义。 谭安辉等［２２］指出，在信息系统中，集合的悲观 多粒度近似可以由信度函数刻画，但是集合的乐观 多粒度近似一般不具备这种特性。 因而本文首先基 于苗夺谦等［１１］提出的 ４ 种乐观多粒度覆盖粗糙集 模型定义悲观多粒度覆盖粗糙集模型。 对于给定的近似空间 Ｕ，Ｃ ， ∀ｘ ∈ Ｕ ， ｘ 的 极小描述包含了近似空间中与 ｘ 相关的核心对象， 当讨论近似空间 Ｕ，Ｃ 中集合近似的问题时，极小 描述可以提供关于 ｘ 简单且关键的概括。 定义 １０ 令 Ｕ，Ｃ 为多粒度覆盖近似空间， Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｍ ∈ Ｃ ，其中 ｍ 是自然数。 ∀Ｘ ⊆ Ｕ ，其 关于 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｍ 的第一型上、下近似定义如下： ＦＲ Ｐ ∑ｍ ｉ ＝ １ Ｃｉ ＿ (Ｘ) ＝ ｘ ∈ Ｕ ∩ ｍｄＣ１ { (ｘ) ⊆ Ｘ ∧ ∩ ｍｄＣ２ (ｘ) ⊆ Ｘ ∧ … ∧∩ ｍｄＣｍ (ｘ) ⊆ Ｘ} ＦＲ Ｐ ∑ｍ ｉ ＝ １ Ｃｉ (Ｘ) ＝ ～ ＦＲ Ｐ ∑ｍ ｉ ＝ １ Ｃｉ ＿ ( ～ Ｘ) 定义 １１ 令 Ｕ，Ｃ 为多粒度覆盖近似空间， Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｍ ∈ Ｃ ，其中 ｍ 是自然数。 ∀Ｘ ⊆ Ｕ ，其 关于 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｍ 的第二型上、下近似定义如下： ＳＲ Ｐ ∑ｍ ｉ ＝ １ Ｃｉ ＿ (Ｘ) ＝ ｘ ∈ Ｕ ∪ ｍｄＣ１ { (ｘ) ⊆ Ｘ ∧ ∪ ｍｄＣ２ (ｘ) ⊆ Ｘ ∧ … ∧∪ ｍｄＣｍ (ｘ) ⊆ Ｘ} ＳＲ Ｐ ∑ｍ ｉ ＝ １ Ｃｉ (Ｘ) ＝ ～ ＳＲ Ｐ ∑ｍ ｉ ＝ １ Ｃｉ ＿ ( ～ Ｘ) ｘ 的极大描述包含近似空间中所有与 ｘ 相关的 对象，当讨论近似空间 Ｕ，Ｃ 中集合近似的问题 时，极大描述可以提供一个详细且综合的对于 ｘ 的 概括。 定义 １２ 令 Ｕ，Ｃ 为多粒度覆盖近似空间， Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｍ ∈ Ｃ ，其中 ｍ 是自然数。 ∀Ｘ ⊆ Ｕ ，其 关于 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｍ 的第三型上、下近似定义如下： ＴＲ Ｐ ∑ｍ ｉ ＝ １ Ｃｉ ＿ (Ｘ) ＝ ｘ ∈ Ｕ ∩ ＭＤＣ１ { (ｘ) ⊆ Ｘ ∧ ∩ ＭＤＣ２ (ｘ) ⊆ Ｘ ∧ … ∧∩ ＭＤＣｍ (ｘ) ⊆ Ｘ} ＴＲ Ｐ ∑ｍ ｉ ＝ １ Ｃｉ (Ｘ) ＝ ～ ＴＲ Ｐ ∑ｍ ｉ ＝ １ Ｃｉ ＿ ( ～ Ｘ) 定义 １３ 令 Ｕ，Ｃ 为多粒度覆盖近似空间， Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｍ ∈Ｃ ，其中 ｍ 是自然数。 ∀Ｘ⊆ Ｕ ，，其 中 ｍ 是自然数。 ∀Ｘ ⊆ Ｕ ，其关于 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｍ 的 第 ４ 型上、下近似定义如下： ＬＲ Ｐ ∑ｍ ｉ ＝ １ Ｃｉ ＿ (Ｘ) ＝ ｘ ∈ Ｕ ∪ ＭＤＣ１ { (ｘ) ⊆ Ｘ ∧ ∪ ＭＤＣ２ (ｘ) ⊆ Ｘ ∧ … ∧∪ ＭＤＣｍ (ｘ) ⊆ Ｘ} 第 ４ 期 车晓雅，等：基于证据理论刻画多粒度覆盖粗糙集的数值属性 ·４８３·
484 智能系统学报 第11卷 LR2.6(W)=~LR吃6(~X) V(x)=X=X'成立，与X≠X'矛盾。∴HX,X'S U,X≠X',f(X)∩f(X')=0成立。 显然，如果C是U上的一族划分，上述4种多 粒度覆盖粗糙集模型将退化为经典悲观多粒度粗糙 其次须证，有U=Uxc(X)成立。 集模型。因此，上述4种模型是对经典多粒度粗糙 Hx∈U,有x∈f(V(x)),V,(x)≠⑦， 集模型的推广，并且也是粗糙集模型和覆盖粗糙集 V,(x)CU,则Uxc(X)=U成立。 模型的推广。 由划分定义知，f(X)为U上划分。 定理2令S=(U,A)为信息系统，C= 3 MGCRS与证据理论之间联系 {C1,C2,…,Cm}是U上一族覆盖。HXCU,x∈ 本节讨论证据理论和多粒度覆盖粗糙集之间的 U,概率指派函数m:2"→[0,1]定义如下： 联系。由于基于信任结构所导出的信任函数和似然 P(fX),X=V,(x)∈， 函数是度量多粒度覆盖粗糙集中上、下近似的基础， mg(X)=了 j=1,2,3,4 因此首先给出上述4种类型悲观多粒度覆盖粗糙集 0,其他 模型相应的信任函数和似然函数来度量集合的上、 式中：V={V(x)x∈U,j=1,2,3,4},则U上 下近似（记作V,7G=1,2,3,4)）。 相应的信任函数Bl,(X)和似然函数Pv,(X)为 下面假设P是一个平均概率分布，即HXCU, Bel,(X)=P((X))j=1,2,3,4 P(x)=X|×|U|1,I·|是集合的势。 Pw(X)=P(V,(X))j=1,2,3,4 定义14令S=(U,A)为信息系统，C= 证明j=1,2,3,4 {C,C2,…,Cm}是U上一族覆盖，x∈U,用V(x) 1)xSU,显然有U=U∑cX)。则 (i=1,2,…,mj=1,2,3,4)分别表示∩md(x)、 Umd(x)、∩MD.(x)、UMD(x),称V(x)=U ∑emg,()=∑cP()=U× {7(x)i=1,2,…,m=1,2,3,4}为x关于覆盖 (∑c(x)l)=∑xc)IxIU'= 族C的多元覆盖。 IUP×|∑c)|=lU×IU=1 HX二U,x∈U,X在上述4种悲观多粒度覆 2)下证Bel,(X)=P(V,(X)) 盖粗糙集模型中上、下近似的定义分别基于论域中 x极小描述或极大描述的交或并所得x的相关元。 Ba,W=EmW)）=APW,X)= 因为X定义于多粒度环境中，所以无论x的极小描 E听xI×IU=∑x= 述还是x的极大描述均同时与覆盖C,C2,…,Cm相 关。即j∈11,2,3,4}如果集合{(V(x)i=1, lUre(X')|×IU|- 2,…,m}中所有元均为X子集，则x属于又(X), f(X)={x∈U川V,(x)=X 如果至少存在一个V(x)与X相交不为空，则x属 .Uxcxf(X')=Urcx(E UIV;(x)=X')= {x∈U川V(x)∈X} 于V,(X)。鉴于此，Hx∈U,本文对集族 .Belg(X)=lUred(X')|×IU1=lU1× {7(x)li=1,2,…,m}取并集后得V(x),V(x) |{x∈U|V,(x)≤X)| 是论域U上一个单粒度覆盖，从而悲观多粒度覆盖 进一步，可证V(x)CX台x∈V,(X) 粗糙集转化为单粒度覆盖粗糙集。进一步，定理1 借助关系划分函数，将覆盖与划分建立联系，将覆盖 .Bel,()=I{x∈UlV,(x)CX}|×|U|- 粗糙集转化为经典粗糙集，进而在定理2中得出证 1=|U-1|,(X)|=P(,(X)) 据理论与多粒度悲观覆盖粗糙集之间联系。 同理可证，P,(X)=P(,(X))。 定理1令U为论域，C为U上覆盖，Hx∈U, 其中，j=1,2,3,4代表用相应信度函数分别刻 j∈{1,2,3,4}，定义关系划分函数f:C→0， 画4种多粒度覆盖粗糙集的近似。 f(X)={x∈UlX=V,(x)j=1,2,3,4},Hx∈U, 下面用例子进一步解释其具体含义。 则f(X)是U上的一个划分。 例1考虑一个房子的评价问题。设U= 证明j∈{1,2,3,4}，首先须证，VX, {x1,x2,…,x6}是6所房子的集合，令A={公摊面 X'U,X≠X',有fX)nf(X')≠O成立。 积，颜色，价格，环境}是属性集合，B={购买意见} 假设，3x∈U,使x∈f(X)∩f(X'),则有 是决策集合。“公摊面积”的属性值是{较大，普通
ＬＲ Ｐ ∑ｍ ｉ ＝ １ Ｃｉ (Ｘ) ＝ ～ ＬＲ Ｐ ∑ｍ ｉ ＝ １ Ｃｉ ＿ ( ～ Ｘ) 显然，如果 Ｃ 是 Ｕ 上的一族划分，上述 ４ 种多 粒度覆盖粗糙集模型将退化为经典悲观多粒度粗糙 集模型。 因此，上述 ４ 种模型是对经典多粒度粗糙 集模型的推广，并且也是粗糙集模型和覆盖粗糙集 模型的推广。 ３ ＭＧＣＲＳ 与证据理论之间联系 本节讨论证据理论和多粒度覆盖粗糙集之间的 联系。 由于基于信任结构所导出的信任函数和似然 函数是度量多粒度覆盖粗糙集中上、下近似的基础， 因此首先给出上述 ４ 种类型悲观多粒度覆盖粗糙集 模型相应的信任函数和似然函数来度量集合的上、 下近似（记作 Ñｊ ＿ ，Ñｊ (ｊ ＝ １，２，３，４) ）。 下面假设 Ｐ 是一个平均概率分布，即 ∀Ｘ ⊆ Ｕ， Ｐ（ｘ） ＝ Ｘ × Ｕ －１ ， · 是集合的势。 定义 １４ 令 Ｓ ＝ (Ｕ，Ａ) 为 信 息 系 统， Ｃ ＝ Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃｍ { } 是Ｕ 上一族覆盖， ∀ｘ ∈Ｕ ，用 Ñｉｊ (ｘ) (ｉ ＝ １，２，…，ｍ；ｊ ＝ １，２，３，４) 分别表示 ∩ ｍｄｃｉ (ｘ) 、 ∪ ｍｄｃｉ (ｘ) 、 ∩ ＭＤｃｉ (ｘ) 、 ∪ ＭＤｃｉ (ｘ) ， 称 Ñｊ (ｘ) ＝ ∪ Ñｉｊ { (ｘ) ｉ ＝ １，２，…，ｍ；ｊ ＝ １，２，３，４} 为 ｘ 关于覆盖 族 Ｃ 的多元覆盖。 ∀Ｘ ⊆ Ｕ，ｘ ∈ Ｕ ， Ｘ 在上述 ４ 种悲观多粒度覆 盖粗糙集模型中上、下近似的定义分别基于论域中 ｘ 极小描述或极大描述的交或并所得 ｘ 的相关元。 因为 Ｘ 定义于多粒度环境中，所以无论 ｘ 的极小描 述还是 ｘ 的极大描述均同时与覆盖 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｍ 相 关。 即 ∀ｊ ∈ ｛１，２，３，４｝ 如果集合 ｛（Ñｉｊ（ｘ））ｉ ＝ １， ２，…，ｍ｝ 中所有元均为 Ｘ 子集，则 ｘ 属于 Ñｊ ＿ (Ｘ) ， 如果至少存在一个 Ñｉｊ (ｘ) 与 Ｘ 相交不为空，则 ｘ 属 于 Ñｊ (Ｘ) 。 鉴 于 此， ∀ｘ ∈ Ｕ ， 本 文 对 集 族 Ñｉｊ { (ｘ) ｉ ＝ １，２，…，ｍ} 取并集后得 Ñｊ (ｘ) ， Ñｊ (ｘ) 是论域 Ｕ 上一个单粒度覆盖，从而悲观多粒度覆盖 粗糙集转化为单粒度覆盖粗糙集。 进一步，定理 １ 借助关系划分函数，将覆盖与划分建立联系，将覆盖 粗糙集转化为经典粗糙集，进而在定理 ２ 中得出证 据理论与多粒度悲观覆盖粗糙集之间联系。 定理 １ 令 Ｕ 为论域， Ｃ 为 Ｕ 上覆盖， ∀ｘ ∈Ｕ， ｊ ∈ {１，２，３，４} ， 定 义 关 系 划 分 函 数 ｆ ｊ：Ｃ → Ｕ， ｆ ｊ (Ｘ) ＝ ｘ ∈ Ｕ Ｘ ＝ Ñｊ { (ｘ) ，ｊ ＝ １，２，３，４} ，∀ｘ ∈ Ｕ， 则 ｆ ｊ (Ｘ) 是 Ｕ 上的一个划分。 证明 ∀ｊ ∈ {１，２，３，４} ， 首 先 须 证， ∀Ｘ， Ｘ′ ⊆Ｕ，Ｘ ≠ Ｘ′， 有 ｆ ｊ (Ｘ) ∩ ｆ ｊ (Ｘ′) ≠ ⌀ 成立。 假设， ∃ｘ ∈ Ｕ ，使 ｘ ∈ ｆ ｊ (Ｘ) ∩ ｆ ｊ (Ｘ′) ，则有 Ñｊ (ｘ) ＝ Ｘ ＝ Ｘ′ 成立，与 Ｘ ≠ Ｘ′ 矛盾。 ∴ ∀Ｘ，Ｘ′ ⊆ Ｕ，Ｘ ≠ Ｘ′， ｆ ｊ (Ｘ) ∩ ｆ ｊ (Ｘ′) ＝ ⌀ 成立。 其次须证，有 Ｕ ＝ ∪Ｘ⊆Ｕ ｆ ｊ (Ｘ) 成立。 ∀ｘ ∈ Ｕ ， 有 ｘ ∈ ｆ ｊ Ñｊ ( (ｘ) ) ， Ñｊ (ｘ) ≠ ⌀， Ñｊ (ｘ) ⊆Ｕ， 则 ∪Ｘ⊆Ｕ ｆ ｊ (Ｘ) ＝ Ｕ 成立。 由划分定义知， ｆ ｊ (Ｘ) 为 Ｕ 上划分。 定理 ２ 令 Ｓ ＝ (Ｕ，Ａ) 为 信 息 系 统， Ｃ ＝ Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｍ { } 是 Ｕ 上一族覆盖。 ∀Ｘ ⊆ Ｕ，ｘ ∈ Ｕ ，概率指派函数 ｍ：２ Ｕ → [０，１] 定义如下： ｍÑｊ （Ｘ） ＝ Ｐ（ｆ ｊ（Ｘ））， Ｘ ＝ Ñｊ (ｘ) ∈ Ñ ∗ ｊ ， ｊ ＝ １，２，３，４ ０， 其他 ì î í ï ï ïï 式中： Ñ ∗ ｊ ＝ Ñｊ { (ｘ) ｘ ∈ Ｕ，ｊ ＝ １，２，３，４} ，则 Ｕ 上 相应的信任函数 ＢｅｌÑｊ (Ｘ) 和似然函数 Ｐｌ Ñｊ (Ｘ) 为 ＢｅｌÑｊ (Ｘ) ＝ Ｐ Ñｊ ＿ ( (Ｘ) ) ，ｊ ＝ １，２，３，４ Ｐｌ Ñｊ (Ｘ) ＝ Ｐ(Ñｊ (Ｘ) ) ，ｊ ＝ １，２，３，４ 证明 ∀ｊ ＝ １，２，３，４ １） ∀Ｘ ⊆ Ｕ ，显然有 Ｕ ＝∪ ∑Ｘ⊆Ｕ ｆ(Ｘ) 。 则 ∑Ｘ⊆Ｕ ｍÑｊ (Ｘ) ＝ ∑Ｘ⊆Ｕ Ｐ ｆ( ｊ (Ｘ) ) ＝ Ｕ －１ × ∑Ｘ⊆Ｕ ｆ ( ｊ（Ｘ） ) ＝ ∑Ｘ⊆Ｕ ｆ ｊ (Ｘ) × Ｕ －１ ＝ Ｕ －１ × ∑Ｘ⊆Ｕ ｆ ｊ (Ｘ) ＝ Ｕ × Ｕ －１ ＝ １ ２）下证 ＢｅｌÑｊ (Ｘ) ＝ Ｐ Ñｊ ＿ ( (Ｘ) ) ＢｅｌÑｊ (Ｘ) ＝ ∑Ｘ′⊆Ｘ ｍÑｊ (Ｘ′) ＝ ∑Ｘ′⊆Ｘ Ｐ ｆÑｊ ( (Ｘ′) ) ＝ ∑Ｘ′⊆Ｘ ｆ ｊ (Ｘ′) × Ｕ －１ ＝ ∑Ｘ′⊆Ｘ ｆ ｊ (Ｘ′) × Ｕ －１ ＝ ∪Ｘ′⊆Ｘ ｆ ｊ (Ｘ′) × Ｕ －１ ∵ ｆ ｊ (Ｘ) ＝ ｘ ∈ Ｕ Ñｊ { (ｘ) ＝ Ｘ} ∴ ∪Ｘ′⊆Ｘ ｆ ｊ (Ｘ′) ＝∪Ｘ′⊆Ｘ ｘ ∈ Ｕ Ñｊ { (ｘ) ＝ Ｘ′} ＝ ｘ ∈ Ｕ Ñｊ { (ｘ) ∈ Ｘ} ∴ ＢｅｌÑｊ (Ｘ) ＝ ∪Ｘ′⊆Ｘ ｆ ｊ (Ｘ′) × Ｕ －１ ＝ Ｕ －１ × ｘ ∈ Ｕ Ñｊ { (ｘ) ⊆ Ｘ} 进一步，可证 Ñｊ (ｘ) ⊆ Ｘ⇔ｘ ∈ Ñｊ ＿ (Ｘ) ∴ ＢｅｌÑｊ (Ｘ) ＝ {ｘ ∈ Ｕ Ñｊ（ｘ） ⊆ Ｘ} × Ｕ － １ ＝ Ｕ －１ Ñｊ ＿ (Ｘ) ＝ Ｐ Ñｊ ＿ ( (Ｘ) ) 同理可证， Ｐｌ Ñｊ (Ｘ) ＝ Ｐ(Ñｊ (Ｘ) ) 。 其中， ｊ ＝ １，２，３，４ 代表用相应信度函数分别刻 画 ４ 种多粒度覆盖粗糙集的近似。 下面用例子进一步解释其具体含义。 例 １ 考 虑 一 个 房 子 的 评 价 问 题。 设 Ｕ ＝ ｘ１ ，ｘ２ ，…，ｘ６ { } 是 ６ 所房子的集合，令 Ａ ＝ ｛公摊面 积，颜色，价格，环境｝是属性集合， Ｂ ＝ ｛购买意见｝ 是决策集合。 “公摊面积”的属性值是｛较大，普通， ·４８４· 智 能 系 统 学 报 第 １１ 卷
第4期 车晓雅，等：基于证据理论刻画多粒度覆盖粗糙集的数值属性 485· 较小}，“颜色”的属性值是{优，良，差}，“价格”的 对}。有3个专家{甲，乙，丙}对6所房子进行评 属性值是{高，中，低}，“环境”的属性值是{安静，较 价，他们的评价结果互相独立。评价结果列于表1。 吵，很吵}，“购买意见”的决策值是{支持，中立，反 表1一个关于房屋评价的信息系统 Table 1 An information system of a house evaluation problem U 公摊面积 颜色 价格 环境 购买意见 小 {较大，普通} {优} {高 {安静} 1支持，中立} y {较大，普通 1良} {高，中，低} {安静，较吵} {支持，中立，反对} % {较大，普通 {优，良 中，低} {较吵，很吵 {中立，反对} {普通} 差} {低} {很吵； {中立 X5 {普通} 差} 中1 {很吵 {反对 X6 {普通，较小 {优，良 1高，低} {很吵； 1支持，反对} 由属性集A诱导出的一族覆盖C={C:,i=1,2 V1(x6)={x2,x3,x4,x5,x6} …,4}和等价关系R={R,i=1,2,…,4}及由决策 是关于覆盖族C的多粒度覆盖。 集B诱导出覆盖的C5,如下：C,={x1,x2,x3},{x1, ③由关系划分函数知，{x1,x2,x3,x6}= x2,x3,x4,x5,x6},{x6}f,C2={x1,x3,x6},{x2,x3, f1(V(x)=V(x2)=V(x3))f(V(xa)= x6},{x4,x5}},C3={{x1,x2,x6},{x2,x3,x5},{x2, (V(x5)=U,1(V1(x6)=U-{x1},所以 x3,x4,x6}{,C4={x1,x2},{x2,x3},{x3,x4,x5, {x1,x2,x3},{x4,x5},{x6}}是U上一个划分。 x6}},C5={{x1,x2,x6},{x1,x2,x3,x4},{x2,x3,x5, 根据第1型模型知，V,(D)={x6}}, x6}},R1={x1,x2,x3},{x4,x5},{x6}},R2= 71(D)={x6},{x1,x2,x3}}。U上焦元为{x1, {x1},{x2},{x3,x6},{x4,x5}},R3={{x1},{x2}, x2,x3},{x4,x5},{x6}},其概率指派函数值分别为 {x3},{x4},{x5},{x6}},R4={x1},{x2},{x3}, m({x6})=6-,m({x1,x2,x3})=2-1,m({x4,x5})= x4,x5,x6} 3-1。 选定专家决策D,={x1,x2,x6},用信任函数和 似然函数刻画决策D,在经典悲观多粒度粗糙集模 相应的信任函数和似然函数值为，Bl,(D)= 型和四型悲观多粒度覆盖粗糙集模型中的信任区间 P((D))=6-,Pv(X)=P(1(X))=2×31。 及不确定性，为用户做购买决定提供不同参考意见。 则专家决策D,在第一型悲观多粒度覆盖粗糙集模 1)对x,∈U,t∈{1,2，…，6}。 型中的信任区间为[6,2×3]，其不确定性为 ①7a(x,)=nmdc,(x,),i∈{1,2,3,4}。 2×31-61=2。R中，D,的近似集为0U,则 C1中，V(x)={x1,x2,x3},71(x2)= 相应信任区间为[0,1] {x1,x2,x3},7(x3)={x1,x2,x3},V11(x4)=U, 显然，本文所提出的模型相较于经典多粒度粗 V(x5)={x1,x2,x3,x4,x5,x6},V1(x6)={x6}; 糙集模型，更具实际应用价值。 C2中，V2(x1)={x1,x3,x6},V2(x2)={x2,x3, 2)j=2,3,4时，分别有7a(x)=Umd(x),∩ x6},721(x3)={x3,x6},72(x)={x4,x5}, MD(x),UMD(x),i∈{1,2,3,4}。计算过程与 V(x3)={x4,5},V2(x6)={x3,x6}; 1)相似，本文不再一一计算。 C3中，71(x1)={x1,x2,x6},V3(x2)={x2}, 4结论 V31(x3)={x2,x3},V31(x4)={x2,x3,x4,x6}, V31(x5)={x2,x3,x5},71(x6)={x2,x6}; 经过上述讨论，本文得出以下结论： C4中，V41(x)={x1,x2},V41(x2)={x2} 1)通过对现有多粒度覆盖粗糙集模型进行分 V41(x3)={x3},V41(x4)={x3,x4,x5,x6},V41(x5)= 析，构造了4种悲观多粒度覆盖粗糙集模型，以使其 {x3,x4,x5,x6},V41(x6)={x3,x4,x5,x6}。 能够与证据理论更好地结合： ②V(x,)=U{7(x,)i=1,2,…,m},则 2)基于集合的交、并运算和关系划分函数，实现 V1(x1)={x1,x2,x3,x6} 了悲观多粒度覆盖粗糙集到单粒度多元覆盖粗糙集 71(x2)={x1,x2,x3,x6} 再到单粒度经典粗糙集的转化，进而实现简化上述 V1(x3)={x1,x2,x3,x6},7(x4)=U 4种模型的目的： 7,(x5)=U 3)结合证据理论，刻画了上述模型的近似及其
较小｝，“颜色”的属性值是｛优，良，差｝，“价格” 的 属性值是｛高，中，低｝，“环境”的属性值是｛安静，较 吵，很吵｝，“购买意见”的决策值是｛支持，中立，反 对｝。 有 ３ 个专家｛甲，乙，丙｝ 对 ６ 所房子进行评 价，他们的评价结果互相独立。 评价结果列于表 １。 表 １ 一个关于房屋评价的信息系统 Ｔａｂｌｅ １ Ａｎ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ａ ｈｏｕｓｅ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ Ｕ 公摊面积 颜色 价格 环境 购买意见 ｘ１ ｛较大，普通｝ ｛优｝ ｛高｝ ｛安静｝ ｛支持，中立｝ ｘ２ ｛较大，普通｝ ｛良｝ ｛高，中，低｝ ｛安静，较吵｝ ｛支持，中立，反对｝ ｘ３ ｛较大，普通｝ ｛优，良｝ ｛中，低｝ ｛较吵，很吵｝ ｛中立，反对｝ ｘ４ ｛普通｝ ｛差｝ ｛低｝ ｛很吵｝ ｛中立｝ ｘ５ ｛普通｝ ｛差｝ ｛中｝ ｛很吵｝ ｛反对｝ ｘ６ ｛普通，较小｝ ｛优，良｝ ｛高，低｝ ｛很吵｝ ｛支持，反对｝ 由属性集 Ａ 诱导出的一族覆盖 Ｃ ＝ ｛Ｃｉ，ｉ ＝ １，２， …，４｝ 和等价关系 Ｒ ＝ ｛Ｒｉ，ｉ ＝ １，２，…，４｝ 及由决策 集 Ｂ 诱导出覆盖的 Ｃ５ ，如下： Ｃ１ ＝ ｛｛ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ｝，｛ｘ１ ， ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ４ ，ｘ５ ，ｘ６ ｝，｛ｘ６ ｝｝， Ｃ２ ＝ ｛｛ｘ１ ，ｘ３ ，ｘ６ ｝，｛ｘ２ ，ｘ３ ， ｘ６ ｝，｛ｘ４ ，ｘ５ ｝｝， Ｃ３ ＝ ｛｛ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ６ ｝，｛ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ５ ｝，｛ｘ２ ， ｘ３ ，ｘ４ ，ｘ６ ｝｝， Ｃ４ ＝ ｛｛ｘ１ ，ｘ２ ｝， ｛ｘ２ ，ｘ３ ｝， ｛ｘ３ ，ｘ４ ，ｘ５ ， ｘ６ ｝｝， Ｃ５ ＝ ｛｛ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ６ ｝，｛ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ４ ｝，｛ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ５ ， ｘ６ ｝｝， Ｒ１ ＝ ｛｛ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ｝， ｛ｘ４ ，ｘ５ ｝， ｛ｘ６ ｝｝， Ｒ２ ＝ ｛｛ｘ１ ｝，｛ｘ２ ｝，｛ｘ３ ，ｘ６ ｝，｛ｘ４ ，ｘ５ ｝｝， Ｒ３ ＝ ｛｛ｘ１ ｝，｛ｘ２ ｝， ｛ｘ３ ｝，｛ｘ４ ｝， ｛ｘ５ ｝， ｛ｘ６ ｝｝， Ｒ４ ＝ ｛｛ｘ１ ｝， ｛ｘ２ ｝， ｛ｘ３ ｝， ｛ｘ４ ，ｘ５ ，ｘ６ ｝｝ 选定专家决策 Ｄ１ ＝ ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ６ { } ，用信任函数和 似然函数刻画决策 Ｄ１ 在经典悲观多粒度粗糙集模 型和四型悲观多粒度覆盖粗糙集模型中的信任区间 及不确定性，为用户做购买决定提供不同参考意见。 １）对 ∀ｘｔ ∈ Ｕ，ｔ ∈ {１，２，…，６} 。 ① Ñｉ１ ｘｔ ( ) ＝∩ ｍｄＣｉ ｘｔ ( ) ，ｉ ∈ {１，２，３，４} 。 Ｃ１ 中， Ñ １１ ｘ１ ( ) ＝ ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ { } ， Ñ １１ ｘ２ ( ) ＝ ｘ{ １ ，ｘ２ ，ｘ３ } ， Ñ１１ ｘ３ ( ) ＝ ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ { } ， Ñ １１ ｘ４ ( ) ＝ Ｕ， Ñ１１ ｘ５ ( ) ＝ ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ４ ，ｘ５ ，ｘ６ { } ， Ñ１１ ｘ６ ( ) ＝ ｘ６ { } ； Ｃ２ 中， Ñ２１ ｘ１ ( ) ＝ ｘ１ ，ｘ３ ，ｘ６ { } ， Ñ２１ ｘ２ ( ) ＝ ｘ{ ２ ，ｘ３ ， ｘ６ } ， Ñ ２１ ｘ３ ( ) ＝ ｘ３ ，ｘ６ { } ， Ñ ２１ ｘ４ ( ) ＝ ｘ４ ，ｘ５ { } ， Ñ２１ ｘ５ ( ) ＝ ｘ４ ，ｘ５ { } ， Ñ２１ ｘ６ ( ) ＝ ｘ３ ，ｘ６ { } ； Ｃ３ 中， Ñ３１ ｘ１ ( ) ＝ ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ６ { } ， Ñ３１ ｘ２ ( ) ＝ ｘ２ { } ， Ñ３１ ｘ３ ( ) ＝ ｘ２ ，ｘ３ { } ， Ñ ３１ ｘ４ ( ) ＝ ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ４ ，ｘ６ { } ， Ñ３１ ｘ５ ( ) ＝ ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ５ { } ， Ñ３１ ｘ６ ( ) ＝ ｘ２ ，ｘ６ { } ； Ｃ４ 中， Ñ ４１ ｘ１ ( ) ＝ ｘ１ ，ｘ２ { } ， Ñ ４１ ｘ２ ( ) ＝ ｘ２ { } ， Ñ４１ ｘ３ ( ) ＝ ｘ３ { } ，Ñ４１ ｘ４ ( ) ＝ ｘ３ ，ｘ４ ，ｘ５ ，ｘ６ { } ， Ñ４１ ｘ５ ( ) ＝ ｘ３ ，ｘ４ ，ｘ５ ，ｘ６ { } ，Ñ４１ ｘ６ ( ) ＝ ｘ３ ，ｘ { ４ ，ｘ５ ，ｘ６ } 。 ② Ñ１ ｘｔ ( ) ＝∪ Ñｉ１ ｘｔ { ( ) ｉ ＝ １，２，…，ｍ} ，则 Ñ１ ｘ１ ( ) ＝ ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ６ { } Ñ１ ｘ２ ( ) ＝ ｘ１ ，ｘ { ２ ，ｘ３ ，ｘ６ } Ñ１ ｘ３ ( ) ＝ ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ６ { } ，Ñ１ ｘ４ ( ) ＝ Ｕ Ñ１ ｘ５ ( ) ＝ Ｕ Ñ１ ｘ６ ( ) ＝ ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ４ ，ｘ５ ，ｘ６ { } 是关于覆盖族 Ｃ 的多粒度覆盖。 ③ 由 关 系 划 分 函 数 知， ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ６ { } ＝ ｆ １ Ñ１ ｘ１ ( ) ＝ Ñ１ ｘ２ ( ) ＝ Ñ１ ｘ３ ( ( ) ) ，ｆ １（ Ñ １（ｘ４ ）） ＝ （Ñ１（ｘ５ ）） ＝ Ｕ，ｆ １（ Ñ １（ｘ６ ）） ＝ Ｕ － ｛ｘ１ ｝， 所 以 ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ { } ， ｘ４ ，ｘ５ { } ， ｘ６ { { } } 是 Ｕ 上一个划分。 根 据 第 １ 型 模 型 知， Ñ１ ＿ Ｄ１ ( ) ＝ ｘ６ {{ } } ， Ñ１ Ｄ１ ( ) ＝ ｘ６ { } ， ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ { { } } 。 Ｕ 上焦元为 ｛｛ ｘ１ ， ｘ２ ，ｘ３ ｝，｛ｘ４ ，ｘ５ ｝，｛ ｘ６ ｝｝，其概率指派函数值分别为 ｍ（｛ｘ６ ｝） ＝６ －１ ，ｍ（｛ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ｝） ＝ ２ －１ ，ｍ（｛ｘ４ ，ｘ５ ｝） ＝ ３ －１ 。 相应的信任函数和似然函数值为， ＢｅｌÑ１ Ｄ１ ( ) ＝ Ｐ Ñ１ ＿ Ｄ１ ( ( ) ) ＝ ６ －１ ， Ｐｌ Ñ１ (Ｘ) ＝ Ｐ(Ñ１ (Ｘ) ) ＝ ２ × ３ －１ 。 则专家决策 Ｄ１ 在第一型悲观多粒度覆盖粗糙集模 型中的信任区间为 ６ －１ [ ，２ ×３ －１ ] ，其不确定性为 ２ ×３ －１ － ６ －１ ＝ ２ －１ 。 Ｒ 中， Ｄ１ 的近似集为 ⌀、Ｕ， 则 相应信任区间为 [０，１] 显然，本文所提出的模型相较于经典多粒度粗 糙集模型，更具实际应用价值。 ２） ｊ ＝ ２，３，４ 时，分别有 Ñｉ１ (ｘ) ＝∪ ｍｄｃｉ (ｘ) ， ∩ ＭＤｃｉ (ｘ) ， ∪ ＭＤｃｉ (ｘ) ，ｉ ∈ {１，２，３，４} 。 计算过程与 １）相似，本文不再一一计算。 ４ 结论 经过上述讨论，本文得出以下结论： １）通过对现有多粒度覆盖粗糙集模型进行分 析，构造了 ４ 种悲观多粒度覆盖粗糙集模型，以使其 能够与证据理论更好地结合； ２）基于集合的交、并运算和关系划分函数，实现 了悲观多粒度覆盖粗糙集到单粒度多元覆盖粗糙集 再到单粒度经典粗糙集的转化，进而实现简化上述 ４ 种模型的目的； ３）结合证据理论，刻画了上述模型的近似及其 第 ４ 期 车晓雅，等：基于证据理论刻画多粒度覆盖粗糙集的数值属性 ·４８５·
·486. 智能系统学报 第11卷 不确定性。 and evidence theory[J].Information sciences,2015,314: 在后续研究中，可以进一步给出基于信任函数 184-199. 和似然函数的多粒度覆盖粗糙集属性约简算法。 [15]林国平.覆盖广义粗糙集与信任函数[J].漳州师范学 院学报：自然科学版，2010(2)：1-4. 参考文献： LIN Guoping.Connections between covering generization rough set and dempster-shafer theory of evidence[J].Jour- [1]PALAWK Z.Rough set[J].International journal of comput- nal of Zhangzhou normal university:natural science,2010 er information sciences,1982,11(5):341-356. (2):1-4. [2]CHEN Degang,KWONG S,HE Qiang,et al.Geometrical [16]WU Weizhi,MI Jushneg.Knowledge reduction in incom- interpretation and applications of membership functions with plete information systems based on dempster-shafer theory fuzzy rough sets[J].Fuzzy sets and systems,2012,193: of evidence[M]//WANG Guoying,PETERS J F,SKOW- 122-135. RON A,et al.Rough Sets and Knowledge Technology.Ber- [3]LIANG Jiye,CHIN K S,Dang Chuangyin,et al.A new lin Heidelberg:Springer,2006:254-261. method for measuring uncertainty and fuzziness in rough set [17]YAO YY,LINGRAS P J.Interpretations of belief func- theory[J].International journal of general systems,2002, tions in the theory of rough sets[].Information sciences, 31(4):331-342. 1998,104(1/2):81-106. [4]LIANG Jiye,WANG Feng,DANG Chaungyin,et al.A [18 CHEN Degang,ZHANG Xiaoxia,LI Wanlu.On measure- group incremental approach to feature selection applying ments of covering rough sets based on granules and evidence rough set technique[J].IEEE transactions on knowledge theory[J].Information sciences,2015,317:329-348. and data engineering,2014,26(2):294-308. [19]CHEN Degang,LI Wanlu,ZHANG Xiao,et al.Evidence- [5]TAN Anhui,LI Jinjin,LIN Guoping.Extended results on theory-based numerical algorithms of attribute reduction the relationship between information systems[].Information with neighborhood-covering rough sets[J].International sciences,2015,290:156-173. journal of approximate reasoning,2014,55(3):908-923. [6]BONIKOWSKI Z,BRYNIARSKI E,WYBRANIEC-SKAR- [20]WU Weizhi,LEUNG Y,ZHANG Wenxiu.Connections be- DOWSKA U.Extensions and intentions in the rough set theory tween rough set theory and Dempster-Shafer theory of evi- [J].Information sciences,1998,107(1/2/3/4):149-167. dence[J].International journal of general systems,2002, [7]FENG Tao,MI Jusheng,WU Weizhi.Covering-based gener- 31(4)：405-430. alized rough fuzzy sets [M]//WANG Guoying,PETERS J [21]吴伟志，米据生，李同军.无限论域中的粗糙近似空间 F,SKOWRON A,et al.Rough Sets and Knowledge Tech- 与信任结构[J].计算机研究与发展，2012,49(2)：327 nology.Berlin Heidelberg:Springer,2006:208-215. -336. [8]QIAN Y H,LIANG J Y.Rough set method based on multi- WU Weizhi,MI Jusheng,LI Tongjun.Rough approxima- granulations[C]//Proceedings of the 5th IEEE International tion spaces and belief structures in infinite universes of dis- Conference on Cognitive Informatics.Beijing:IEEE,2006: course[J].Journal of computer research and development, 297-304 2012,49(2):327-336. [9]徐伟华，刘士虎，张文修.一般二元关系下信息系统知 [22]TAN Anhui,WU Weizhi,LI Jinjin,et al.Evidence-theo- 识的粒度描述[J刀].计算机工程与应用，2011,47(18)： ry-based numerical characterization of multi-granulation 40-44. rough sets in incomplete information systems[.Fuzzy sets XU Weihua,LIU Shihu,ZHANG Wenxiu.Granularity rep- and systems,2016,294:18-35. resentation of knowledge in information system based on gen- [23]ZAKOWSKI B W.Approximations in the space (u,) eral binary-relation[J].Computer engineering and applica- [J].Demonstratio mathematica,1983,16(3):761-769. tions,2011,47(18):40-44. 作者简介： [10]QIAN Yuhua,LIANG Jiye,YAO Yiyu,et al.MGRS:a 车晓雅，女，1991年生，硕士研究 multi-granulation rough set [J].Information sciences, 生，主要研究方向为人工智能的数学基 2010.180(6):949-970. 础。 [11]LIU Caihui,MIAO Duoqian,QIAN Jin.On multi-granula- tion covering rough sets[].International joumal of approx- imate reasoning,.2014,55(6):1404-1418. [12]DEMPSTER A P.Upper and lower probability inferences based on a sample from a finite univariate population[. 李磊军，男，1985年生，讲师，博士， Biometrika,1967,54(3/4):515-528. 主要研究方向为粗糙集，概念格，粒计 [13]SHAFER G.A mathematical theory of evidence[J].Techn- 算与集成学习等，已发表学术论文10余 ometrics,1978,20(1):242. 篇，其中被SCI检索5篇。 [14]LIN Guoping,LIANG Jiye,QIAN Yuhua.An information fusion approach by combining multigranulation rough sets
不确定性。 在后续研究中，可以进一步给出基于信任函数 和似然函数的多粒度覆盖粗糙集属性约简算法。 参考文献： ［１］ＰＡＬＡＷＫ Ｚ． Ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ［Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｃｏｍｐｕｔ⁃ ｅｒ ＆ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｃｉｅｎｃｅｓ， １９８２， １１（５）： ３４１－３５６． ［２］ＣＨＥＮ Ｄｅｇａｎｇ， ＫＷＯＮＧ Ｓ， ＨＥ Ｑｉａｎｇ， ｅｔ ａｌ． Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｅｍｂｅｒｓｈｉｐ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ［ Ｊ］． Ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１２， １９３： １２２－１３５． ［３］ ＬＩＡＮＧ Ｊｉｙｅ， ＣＨＩＮ Ｋ Ｓ， Ｄａｎｇ Ｃｈｕａｎｇｙｉｎ， ｅｔ ａｌ． Ａ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｍｅａｓｕｒｉｎｇ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ａｎｄ ｆｕｚｚｉｎｅｓｓ ｉｎ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｙ［ Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｇｅｎｅｒａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ， ２００２， ３１（４）： ３３１－３４２． ［４］ ＬＩＡＮＧ Ｊｉｙｅ， ＷＡＮＧ Ｆｅｎｇ， ＤＡＮＧ Ｃｈａｕｎｇｙｉｎ， ｅｔ ａｌ． Ａ ｇｒｏｕｐ ｉｎｃｒｅｍｅｎｔａｌ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｆｅａｔｕｒｅ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ａｐｐｌｙｉｎｇ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ［ Ｊ］． ＩＥＥＥ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ａｎｄ ｄａｔａ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， ２０１４， ２６（２）： ２９４－３０８． ［５］ ＴＡＮ Ａｎｈｕｉ， ＬＩ Ｊｉｎｊｉｎ， ＬＩＮ Ｇｕｏｐｉｎｇ． Ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｎ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｃｉｅｎｃｅｓ， ２０１５， ２９０： １５６－１７３． ［６ ］ ＢＯＮＩＫＯＷＳＫＩ Ｚ， ＢＲＹＮＩＡＲＳＫＩ Ｅ， ＷＹＢＲＡＮＩＥＣ⁃ＳＫＡＲ⁃ ＤＯＷＳＫＡ Ｕ． Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓ ａｎｄ ｉｎｔｅｎｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｙ ［Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｃｉｅｎｃｅｓ， １９９８， １０７（１／ ２／ ３／ ４）： １４９－１６７． ［７］ＦＥＮＧ Ｔａｏ， ＭＩ Ｊｕｓｈｅｎｇ， ＷＵ Ｗｅｉｚｈｉ． Ｃｏｖｅｒｉｎｇ⁃ｂａｓｅｄ ｇｅｎｅｒ⁃ ａｌｉｚｅｄ ｒｏｕｇｈ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ［ Ｍ］ ／ ／ ＷＡＮＧ Ｇｕｏｙｉｎｇ， ＰＥＴＥＲＳ Ｊ Ｆ， ＳＫＯＷＲＯＮ Ａ， ｅｔ ａｌ． Ｒｏｕｇｈ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ Ｔｅｃｈ⁃ ｎｏｌｏｇｙ． Ｂｅｒｌｉｎ Ｈｅｉｄｅｌｂｅｒｇ： Ｓｐｒｉｎｇｅｒ， ２００６： ２０８－２１５． ［８］ＱＩＡＮ Ｙ Ｈ， ＬＩＡＮＧ Ｊ Ｙ． Ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍｕｌｔｉ⁃ ｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎｓ［Ｃ］ ／ ／ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ５ｔｈ ＩＥＥＥ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｃｏｇｎｉｔｉｖｅ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｃｓ． Ｂｅｉｊｉｎｇ： ＩＥＥＥ， ２００６： ２９７－３０４． ［９］徐伟华， 刘士虎， 张文修． 一般二元关系下信息系统知 识的粒度描述［Ｊ］． 计算机工程与应用， ２０１１， ４７（１８）： ４０－４４． ＸＵ Ｗｅｉｈｕａ， ＬＩＵ Ｓｈｉｈｕ， ＺＨＡＮＧ Ｗｅｎｘｉｕ． Ｇｒａｎｕｌａｒｉｔｙ ｒｅｐ⁃ ｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｉｎ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｇｅｎ⁃ ｅｒａｌ ｂｉｎａｒｙ⁃ｒｅｌａｔｉｏｎ［ Ｊ］． Ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａ⁃ ｔｉｏｎｓ， ２０１１， ４７（１８）： ４０－４４． ［１０］ＱＩＡＮ Ｙｕｈｕａ， ＬＩＡＮＧ Ｊｉｙｅ， ＹＡＯ Ｙｉｙｕ， ｅｔ ａｌ． ＭＧＲＳ： ａ ｍｕｌｔｉ⁃ｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ［ Ｊ ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｃｉｅｎｃｅｓ， ２０１０， １８０（６）： ９４９－９７０． ［１１］ＬＩＵ Ｃａｉｈｕｉ， ＭＩＡＯ Ｄｕｏｑｉａｎ， ＱＩＡＮ Ｊｉｎ． Ｏｎ ｍｕｌｔｉ⁃ｇｒａｎｕｌａ⁃ ｔｉｏｎ ｃｏｖｅｒｉｎｇ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ［Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ａｐｐｒｏｘ⁃ ｉｍａｔｅ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ， ２０１４， ５５（６）： １４０４－１４１８． ［１２］ ＤＥＭＰＳＴＥＲ Ａ Ｐ． Ｕｐｐｅｒ ａｎｄ ｌｏｗｅｒ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｉｎｆｅｒｅｎｃｅｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ａ ｓａｍｐｌｅ ｆｒｏｍ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｕｎｉｖａｒｉａｔｅ ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ［ Ｊ］． Ｂｉｏｍｅｔｒｉｋａ， １９６７， ５４（３ ／ ４）： ５１５－５２８． ［１３］ＳＨＡＦＥＲ Ｇ． Ａ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｅｖｉｄｅｎｃｅ［Ｊ］． Ｔｅｃｈｎ⁃ ｏｍｅｔｒｉｃｓ， １９７８， ２０（１）： ２４２． ［１４］ ＬＩＮ Ｇｕｏｐｉｎｇ， ＬＩＡＮＧ Ｊｉｙｅ， ＱＩＡＮ Ｙｕｈｕａ． Ａｎ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｆｕｓｉｏｎ ａｐｐｒｏａｃｈ ｂｙ ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ ｍｕｌｔｉｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｅｖｉｄｅｎｃｅ ｔｈｅｏｒｙ［Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｃｉｅｎｃｅｓ， ２０１５， ３１４： １８４－１９９． ［１５］林国平． 覆盖广义粗糙集与信任函数［ Ｊ］． 漳州师范学 院学报： 自然科学版， ２０１０（２）： １－４． ＬＩＮ Ｇｕｏｐｉｎｇ． Ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｃｏｖｅｒｉｎｇ ｇｅｎｅｒｉｚａｔｉｏｎ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ａｎｄ ｄｅｍｐｓｔｅｒ⁃ｓｈａｆｅｒ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｅｖｉｄｅｎｃｅ［Ｊ］． Ｊｏｕｒ⁃ ｎａｌ ｏｆ Ｚｈａｎｇｚｈｏｕ ｎｏｒｍａｌ ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ： ｎａｔｕｒａｌ ｓｃｉｅｎｃｅ， ２０１０ （２）： １－４． ［１６］ ＷＵ Ｗｅｉｚｈｉ， ＭＩ Ｊｕｓｈｎｅｇ． Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｉｎ ｉｎｃｏｍ⁃ ｐｌｅｔｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｄｅｍｐｓｔｅｒ⁃ｓｈａｆｅｒ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｅｖｉｄｅｎｃｅ［Ｍ］ ／ ／ ＷＡＮＧ Ｇｕｏｙｉｎｇ， ＰＥＴＥＲＳ Ｊ Ｆ， ＳＫＯＷ⁃ ＲＯＮ Ａ， ｅｔ ａｌ． Ｒｏｕｇｈ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ． Ｂｅｒ⁃ ｌｉｎ Ｈｅｉｄｅｌｂｅｒｇ： Ｓｐｒｉｎｇｅｒ， ２００６： ２５４－２６１． ［１７］ＹＡＯ Ｙ Ｙ， ＬＩＮＧＲＡＳ Ｐ Ｊ． Ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｂｅｌｉｅｆ ｆｕｎｃ⁃ ｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ［ Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｃｉｅｎｃｅｓ， １９９８， １０４（１ ／ ２）： ８１－１０６． ［１８］ ＣＨＥＮ Ｄｅｇａｎｇ， ＺＨＡＮＧ Ｘｉａｏｘｉａ， ＬＩ Ｗａｎｌｕ． Ｏｎ ｍｅａｓｕｒｅ⁃ ｍｅｎｔｓ ｏｆ ｃｏｖｅｒｉｎｇ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｇｒａｎｕｌｅｓ ａｎｄ ｅｖｉｄｅｎｃｅ ｔｈｅｏｒｙ［Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｃｉｅｎｃｅｓ， ２０１５， ３１７： ３２９－３４８． ［１９］ＣＨＥＮ Ｄｅｇａｎｇ， ＬＩ Ｗａｎｌｕ， ＺＨＡＮＧ Ｘｉａｏ， ｅｔ ａｌ． Ｅｖｉｄｅｎｃｅ⁃ ｔｈｅｏｒｙ⁃ｂａｓｅｄ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｏｆ ａｔｔｒｉｂｕｔｅ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｎｅｉｇｈｂｏｒｈｏｏｄ⁃ｃｏｖｅｒｉｎｇ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ［ Ｊ ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ， ２０１４， ５５（３）： ９０８－９２３． ［２０］ＷＵ Ｗｅｉｚｈｉ， ＬＥＵＮＧ Ｙ， ＺＨＡＮＧ Ｗｅｎｘｉｕ． Ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｓ ｂｅ⁃ ｔｗｅｅｎ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ｄｅｍｐｓｔｅｒ⁃Ｓｈａｆｅｒ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｅｖｉ⁃ ｄｅｎｃｅ［Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｇｅｎｅｒａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ， ２００２， ３１（４）： ４０５－４３０． ［２１］吴伟志， 米据生， 李同军． 无限论域中的粗糙近似空间 与信任结构［Ｊ］． 计算机研究与发展， ２０１２， ４９（２）： ３２７ －３３６． ＷＵ Ｗｅｉｚｈｉ， ＭＩ Ｊｕｓｈｅｎｇ， ＬＩ Ｔｏｎｇｊｕｎ． Ｒｏｕｇｈ ａｐｐｒｏｘｉｍａ⁃ ｔｉｏｎ ｓｐａｃｅｓ ａｎｄ ｂｅｌｉｅｆ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｉｎ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｕｎｉｖｅｒｓｅｓ ｏｆ ｄｉｓ⁃ ｃｏｕｒｓｅ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｒｅｓｅａｒｃｈ ａｎｄ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ， ２０１２， ４９（２）： ３２７－３３６． ［２２］ＴＡＮ Ａｎｈｕｉ， ＷＵ Ｗｅｉｚｈｉ， ＬＩ Ｊｉｎｊｉｎ， ｅｔ ａｌ． Ｅｖｉｄｅｎｃｅ⁃ｔｈｅｏ⁃ ｒｙ⁃ｂａｓｅｄ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｕｌｔｉ⁃ｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ｉｎ ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］． Ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１６， ２９４： １８－３５． ［２３］ ＺＡＫＯＷＳＫＩ Ｂ Ｗ． Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｓｐａｃｅ （ ｕ， π） ［Ｊ］． Ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｏ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ， １９８３， １６（３）： ７６１－７６９． 作者简介： 车晓雅，女， １９９１ 年生， 硕士研究 生， 主要研究方向为人工智能的数学基 础。 李磊军，男，１９８５ 年生，讲师，博士， 主要研究方向为粗糙集，概念格，粒计 算与集成学习等，已发表学术论文 １０ 余 篇，其中被 ＳＣＩ 检索 ５ 篇。 ·４８６· 智 能 系 统 学 报 第 １１ 卷