【智能系统】区间值模糊决策序信息系统的部分一致约简

第11卷第4期 智能系统学报 Vol.11 No.4 2016年8月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Aug.2016 D0I:10.11992/is.201606013 网络出版地址：http:/www.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20160808.0831.030.html 区间值模糊决策序信息系统的部分一致约简 史德容，徐伟华 (重庆理工大学数学与统计学院，重庆400054) 摘要：实际问题中，事物的一些属性值介于某个范围之间，常被用来刻画信息系统中的不确定信息。为了表达这 种情况，属性值通常用模糊区间来表示，这种信息系统就是区间值模糊信息系统。本文通过在带有决策的区间值模 糊信息系统中引入优势关系，建立区间值模糊决策序信息系统。在此基础上构造部分一致函数来简化知识的表达， 并获得部分一致约简的判定定理，通过可辨识属性集和可辨识矩阵提供不协调的区间值模糊序信息系统的部分一 致约简的具体方法，并结合投资风险这一具体案例的求解分析，进一步阐述了对部分一致约简研究的意义，丰富了 区间值模糊序决策信息系统中的粗糙集方法。 关键词：粗糙集：序信息系统：部分一致约简：辨识矩阵：区间值 中图分类号：TP18文献标志码：A文章编号：1673-4785(2016)04-0469-06 中文引用格式：史德容，徐伟华.区间值模糊决策序信息系统的部分一致约简[J].智能系统学报，2016,11(4)：469-474. 英文引用格式：SHI Derong,XU Weihua..Partially consistent reduction in interval--valued fuzzy ordered decision information system [J].CAAI Transactions on Intelligent Systems,2016,11(4):469-474. Partially consistent reduction in interval-valued fuzzy ordered decision information system SHI Derong,XU Weihua (School of Mathematics and Statistics,Chongqing University of Technology,Chongqing 400054,China) Abstract:In practical problems,some attribute-values of things are within a certain range and this is often used to describe uncertainties in an information system.The attribute-value is often expressed by a fuzzy interval,and the information system in this case is then called an interval-valued fuzzy information system.This paper establishes an interval-valued fuzzy decision ordered information system by introducing dominance relationships.This partially con- sistent function was built to simplify knowledge expression.A judgment theorem for partially consistent reduction was obtained,and from the recognizable attribute set and recognizable matrix,a partially consistent reduction meth- od for an inconsistent interval-valued fuzzy ordered information system was derived.Furthermore,by combination with a specific case study on venture investment,the significance of partially consistent reduction is explained.This experiment enriches the rough set method for interval-valued fuzzy ordered decision information systems. Keywords:rough set;ordered information system;partially consistent reduction;recognizable matrix;interval-val- ued 粗糙集理论1-2]最早由波兰数学家Pawlak于 集合论的一种推广形式，其主要思想是在保持分类 1982年提出，是数据分析的一种数学工具，是经典不变的情况下，经过属性约简推出问题的决策准则。 目前，国内对粗糙集的理论基础及应用3)研究取 收稿日期：2016-06-03.网络出版日期：2016-08-08. 基金项目：国家自然科学基金项目(61105041,61472463,61402064)：重 得了很大的进步，许多学者已在该领域出版了相应 庆市自然科学基金项目(cst2015 jeyjA1390):重庆理工大学的专著，同时也发表了数百篇的论文。当然粗糙集 研究生创新基金项目(YCX2015227) 通信作者：史德容.E-mail:1306123384@qq.com. 的应用[56)不仅仅是限制在知识理论方面，它也在

第 １１ 卷第 ４ 期 智 能 系 统 学 报 Ｖｏｌ．１１ №．４ ２０１６ 年 ８ 月 ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ａｕｇ． ２０１６ ＤＯＩ：１０．１１９９２ ／ ｔｉｓ．２０１６０６０１３ 网络出版地址：ｈｔｔｐ： ／ ／ ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ ／ ｋｃｍｓ／ ｄｅｔａｉｌ ／ ２３．１５３８．ＴＰ．２０１６０８０８．０８３１．０３０．ｈｔｍｌ 区间值模糊决策序信息系统的部分一致约简 史德容，徐伟华 （重庆理工大学 数学与统计学院，重庆 ４０００５４） 摘 要：实际问题中，事物的一些属性值介于某个范围之间，常被用来刻画信息系统中的不确定信息。 为了表达这 种情况，属性值通常用模糊区间来表示，这种信息系统就是区间值模糊信息系统。 本文通过在带有决策的区间值模 糊信息系统中引入优势关系，建立区间值模糊决策序信息系统。 在此基础上构造部分一致函数来简化知识的表达， 并获得部分一致约简的判定定理，通过可辨识属性集和可辨识矩阵提供不协调的区间值模糊序信息系统的部分一 致约简的具体方法， 并结合投资风险这一具体案例的求解分析，进一步阐述了对部分一致约简研究的意义，丰富了 区间值模糊序决策信息系统中的粗糙集方法。 关键词：粗糙集；序信息系统；部分一致约简；辨识矩阵；区间值 中图分类号： ＴＰ１８ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３－４７８５（２０１６）０４－０４６９－０６ 中文引用格式：史德容，徐伟华． 区间值模糊决策序信息系统的部分一致约简［Ｊ］． 智能系统学报， ２０１６， １１（４）： ４６９－４７４． 英文引用格式：ＳＨＩ Ｄｅｒｏｎｇ， ＸＵ Ｗｅｉｈｕａ． Ｐａｒｔｉａｌｌｙ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｉｎ ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅｄ ｆｕｚｚｙ ｏｒｄｅｒｅｄ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ［Ｊ］． ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１６， １１（４）： ４６９－４７４． Ｐａｒｔｉａｌｌｙ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｉｎ ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅｄ ｆｕｚｚｙ ｏｒｄｅｒｅｄ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ＳＨＩ Ｄｅｒｏｎｇ， ＸＵ Ｗｅｉｈｕａ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ， Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ ４０００５４， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｐｒｏｂｌｅｍｓ， ｓｏｍｅ ａｔｔｒｉｂｕｔｅ⁃ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｉｎｇｓ ａｒｅ ｗｉｔｈｉｎ ａ ｃｅｒｔａｉｎ ｒａｎｇｅ ａｎｄ ｔｈｉｓ ｉｓ ｏｆｔｅｎ ｕｓｅｄ ｔｏ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｉｅｓ ｉｎ ａｎ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ． Ｔｈｅ ａｔｔｒｉｂｕｔｅ⁃ｖａｌｕｅ ｉｓ ｏｆｔｅｎ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ｂｙ ａ ｆｕｚｚｙ ｉｎｔｅｒｖａｌ， ａｎｄ ｔｈｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ｉｎ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ ｉｓ ｔｈｅｎ ｃａｌｌｅｄ ａｎ ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅｄ ｆｕｚｚｙ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ． Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｓ ａｎ ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅｄ ｆｕｚｚｙ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｏｒｄｅｒｅｄ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ｂｙ ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ ｄｏｍｉｎａｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｓ． Ｔｈｉｓ ｐａｒｔｉａｌｌｙ ｃｏｎ⁃ ｓｉｓｔｅｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗａｓ ｂｕｉｌｔ ｔｏ ｓｉｍｐｌｉｆｙ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ． Ａ ｊｕｄｇｍｅｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ ｆｏｒ ｐａｒｔｉａｌｌｙ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｗａｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ， ａｎｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｒｅｃｏｇｎｉｚａｂｌｅ ａｔｔｒｉｂｕｔｅ ｓｅｔ ａｎｄ ｒｅｃｏｇｎｉｚａｂｌｅ ｍａｔｒｉｘ， ａ ｐａｒｔｉａｌｌｙ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈ⁃ ｏｄ ｆｏｒ ａｎ ｉｎｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅｄ ｆｕｚｚｙ ｏｒｄｅｒｅｄ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ｗａｓ ｄｅｒｉｖｅｄ． Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ， ｂｙ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ａ ｓｐｅｃｉｆｉｃ ｃａｓｅ ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｖｅｎｔｕｒｅ ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ， ｔｈｅ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ ｏｆ ｐａｒｔｉａｌｌｙ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｉｓ ｅｘｐｌａｉｎｅｄ． Ｔｈｉｓ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ｅｎｒｉｃｈｅｓ ｔｈｅ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅｄ ｆｕｚｚｙ ｏｒｄｅｒｅｄ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ； ｏｒｄｅｒｅｄ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ； ｐａｒｔｉａｌｌｙ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ； ｒｅｃｏｇｎｉｚａｂｌｅ ｍａｔｒｉｘ； ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌ⁃ ｕｅｄ 收稿日期：２０１６－０６－０３． 网络出版日期：２０１６－０８－０８． 基金项目：国家自然科学基金项目（６１１０５０４１，６１４７２４６３，６１４０２０６４）；重 庆市自然科学基金项目（ ｃｓｔｃ２０１５ｊｃｙｊＡ１３９０）；重庆理工大学 研究生创新基金项目（ＹＣＸ２０１５２２７）． 通信作者：史德容．Ｅ⁃ｍａｉｌ：１３０６１２３３８４＠ ｑｑ．ｃｏｍ． 粗糙集理论［１－２］ 最早由波兰数学家 Ｐａｗｌａｋ 于 １９８２ 年提出，是数据分析的一种数学工具，是经典 集合论的一种推广形式，其主要思想是在保持分类 不变的情况下，经过属性约简推出问题的决策准则。 目前，国内对粗糙集的理论基础及应用［３－４］ 研究取 得了很大的进步，许多学者已在该领域出版了相应 的专著，同时也发表了数百篇的论文。 当然粗糙集 的应用［５－６］不仅仅是限制在知识理论方面，它也在

·470 智能系统学报 第11卷 人工智能、故障检测、数据挖掘、地震预报、数据分 任意的a∈AT,在区间值模糊信息系统中可对属性 析、模式识别、智能信息处理等领域得到了普遍的应 值进行比较，定义 用。众所周知，粗糙集理论的核心问题之一就是知 f(x,a)≤f八x,a)台 识约简[-]。约简就是知识库中所描述的知识的属 (Va∈AT)[a(x:)≤a(x),a'(x:)≤a'(x)] 性并不都是同等重要的，甚至有些属性是多余的。 f八x:,a）≥f(x,a)台 所谓知识约简，就是从知识库中去掉一些不重要的 (Ha∈AT)[a(x:)≥a(x),a'(x:)≥a'(x)] 属性，使得知识得以简化，又不丢失其主要信息。 式中：“≤”和“≥”可在区间值模糊信息系统中分 在粗糙集理论中，信息系统[1]是对知识进行表 别构建一个递增的偏序和一个递减的偏序。如果区 达的重要工具。常常因为信息系统的复杂性和不确 间值模糊信息系统中属性的值域为递增的或者递减 定性，事物的属性值难以用精确的数值来表达，而是 的偏序，那么称该属性是区间值模糊信息系统中的 采用模糊区间形式[]表示，本文就这一问题引进 一个准则。本文中只考虑由递增偏序构成的优势关 了一种优势关系[3-]，在此基础上建立不协调的区 系的情景，递减的偏序情形可以类似地得到相同的 间值模糊决策序信息系统[5)。在不协调的区间值 结论。 模糊序信息系统中引进了部分一致约简1的函数， 定义2设I=(U,AT U DT,F,G)为区间值 得到部分一致约简的判定定理以及辨识属性集和辨 模糊决策信息系统，若1中所有条件属性都是准则， 识矩阵，提供了不协调的区间值模糊序信息系统的 则称I是区间值模糊决策序信息系统，记作P。称 部分一致约简的具体方法，同时通过例子验证此方 产=(U,AT,F)为区间值模糊序信息系统。 法的有效性，丰富了区间值模糊决策序信息系统中 在区间值模糊序信息系统中，设a∈AT为准 的粗糙集方法。 则，存在优势关系“≥。”，“x≥x”表示关于准 则a优于x:。设A二AT是准则集，那么 1基于区间值模糊的决策序信息系统 x≥x台(aEA)[x≥x],优势关系R可定 决策信息系统是既有条件属性又有决策属性的 义为 一种特殊信息系统。决策信息系统主要是研究条件 R={(x:,x)∈U×U1x≥.x:,a∈A}= 属性和决策属性之间的关系问题。为了便于理解， {(x:,x)∈U×U1(Ha∈A)[a(x:)≤ 下面先给出一些基本概念。 定义1s)称一个四元组I=(U,AT UDT,F, a(x),a(x:)≤a(x)]} G)为一个决策信息系统，其中I=(U,AT,F)是信 由区间值模糊优势关系R诱导的[x:】为 息系统，AT称为条件属性集，DT称为目标属性集， [x:]={x∈U1(x,x)∈R}= 其中：U是有限对象集，U={x1,x2,…,x}； {xeU1(a∈A)[a(x:)≤a(x), AT是有限条件属性集，AT={a1,a2,,a,}: a'(x)≤a(x)]} DT是有限决策属性集，DT={d1,d2,…,d,}; 称为区间值模糊优势类，简称为优势类。用 F是U与AT的关系集，其中F={f:U一Va, U/R={[x]Ix∈U}表示论域U上由区间值模 a∈DT},V。为a的有限值域； 糊优势关系R诱导的区间值模糊优势类全体。一 G是U与DT的关系集，其中G={g:U→V4 般地，U/R中的优势类不一定构成U上的一个划 deDT;,Va为d的有限值域。 分，而是仅仅构成U上的一个覆盖。 设I=(U,AT UDT,F,G)为一个决策信息系 定义3设≥=(U,ATU{d),F,G)为区间 统，若对任意f∈F,a∈AT和x:∈U都有 值模糊决策序信息系统，如果R二R,则称该区间 f(x,a)=[a(x:),a'(x)] 值模糊决策序信息系统是协调的，否则为不协调的。 则称I=(U,AT,F)为区间值模糊信息系统，I= 本文仅仅考虑比不协调区间值模糊决策序信息 (U,AT U DT,F,G)为区间值模糊决策信息系统。 系统。 其中：a(x:),a(x:)∈[0,1]并且有a(x:)≤ a(x:),f八x:,a)是x:在属性a下的属性值范围（区 2区间值模糊决策序信息系统的部分 间数)。特别地，当a(x)三a"(x,)的时候，f八x, 一致约简 α)就退化成了一个模糊数。因此区间值模糊信息 系统是一般形式，单值模糊信息系统是其特殊形式。 我们已经知道了序信息系统中属性约简理论定 设1=(U,AT,F)为区间值模糊信息系统。对 义的部分一致函数，下面将给出区间值模糊序信息

人工智能、故障检测、数据挖掘、地震预报、数据分 析、模式识别、智能信息处理等领域得到了普遍的应 用。 众所周知，粗糙集理论的核心问题之一就是知 识约简［７－９］ 。 约简就是知识库中所描述的知识的属 性并不都是同等重要的，甚至有些属性是多余的。 所谓知识约简，就是从知识库中去掉一些不重要的 属性，使得知识得以简化， 又不丢失其主要信息。 在粗糙集理论中，信息系统［１０］ 是对知识进行表 达的重要工具。 常常因为信息系统的复杂性和不确 定性，事物的属性值难以用精确的数值来表达，而是 采用模糊区间形式［１１－１２］表示，本文就这一问题引进 了一种优势关系［１３－１５］ ，在此基础上建立不协调的区 间值模糊决策序信息系统［１５］ 。 在不协调的区间值 模糊序信息系统中引进了部分一致约简［１６］ 的函数， 得到部分一致约简的判定定理以及辨识属性集和辨 识矩阵， 提供了不协调的区间值模糊序信息系统的 部分一致约简的具体方法， 同时通过例子验证此方 法的有效性， 丰富了区间值模糊决策序信息系统中 的粗糙集方法。 １ 基于区间值模糊的决策序信息系统 决策信息系统是既有条件属性又有决策属性的 一种特殊信息系统。 决策信息系统主要是研究条件 属性和决策属性之间的关系问题。 为了便于理解， 下面先给出一些基本概念。 定义 １ ［１５］ 称一个四元组 Ｉ ＝ （Ｕ，ＡＴ ∪ ＤＴ，Ｆ， Ｇ） 为一个决策信息系统，其中 Ｉ ＝ (Ｕ，ＡＴ，Ｆ) 是信 息系统， ＡＴ 称为条件属性集， ＤＴ 称为目标属性集， 其中： Ｕ 是有限对象集， Ｕ ＝ ｛ｘ１ ，ｘ２ ，…，ｘｎ ｝ ； ＡＴ 是有限条件属性集， ＡＴ ＝ ｛ａ１ ，ａ２ ，…，ａｐ｝ ； ＤＴ 是有限决策属性集， ＤＴ ＝ ｛ｄ１ ，ｄ２ ，…，ｄｑ｝ ； Ｆ 是 Ｕ 与 ＡＴ 的关系集，其中 Ｆ ＝ ｛ｆ：Ｕ → Ｖａ ， ａ ∈ＤＴ｝ ， Ｖａ 为 ａ 的有限值域； Ｇ 是 Ｕ 与 ＤＴ 的关系集，其中 Ｇ ＝ ｛ｇ：Ｕ → Ｖｄ ， ｄ ∈ＤＴ｝ ， Ｖｄ 为 ｄ 的有限值域。 设 Ｉ ＝ (Ｕ，ＡＴ ∪ ＤＴ，Ｆ，Ｇ) 为一个决策信息系 统，若对任意 ｆ ∈ Ｆ ， ａ ∈ ＡＴ 和 ｘｉ ∈ Ｕ 都有 ｆ（ｘｉ，ａ） ＝ ［ａ Ｌ （ｘｉ），ａ Ｕ （ｘｉ）］ 则称 Ｉ ＝ (Ｕ，ＡＴ，Ｆ) 为区间值模糊信息系统， Ｉ ＝ (Ｕ，ＡＴ ∪ ＤＴ，Ｆ，Ｇ) 为区间值模糊决策信息系统。 其中： ａ Ｌ （ｘｉ），ａ Ｕ （ｘｉ） ∈ ［０，１］ 并 且 有 ａ Ｌ （ｘｉ） ≤ ａ Ｕ （ｘｉ）， ｆ（ｘｉ，ａ） 是 ｘｉ 在属性 ａ 下的属性值范围（区 间数）。 特别地，当 ａ Ｌ ｘｉ ( ) ≡ ａ Ｕ ｘｉ ( ) 的时候， ｆ（ｘｉ， ａ） 就退化成了一个模糊数。 因此区间值模糊信息 系统是一般形式，单值模糊信息系统是其特殊形式。 设 Ｉ ＝ (Ｕ，ＡＴ，Ｆ) 为区间值模糊信息系统。 对 任意的 ａ ∈ＡＴ ，在区间值模糊信息系统中可对属性 值进行比较，定义 ｆ（ｘｉ，ａ） ≤ ｆ（ｘｊ，ａ）⇔ （∀ａ ∈ ＡＴ）［ａ Ｌ （ｘｉ） ≤ ａ Ｌ （ｘｊ），ａ Ｕ （ｘｉ） ≤ ａ Ｕ （ｘｊ）］ ｆ（ｘｉ，ａ） ≥ ｆ（ｘｊ，ａ）⇔ （∀ａ ∈ ＡＴ）［ａ Ｌ （ｘｉ） ≥ ａ Ｌ （ｘｊ），ａ Ｕ （ｘｉ） ≥ ａ Ｕ （ｘｊ）］ 式中： “≤” 和 “≥” 可在区间值模糊信息系统中分 别构建一个递增的偏序和一个递减的偏序。 如果区 间值模糊信息系统中属性的值域为递增的或者递减 的偏序，那么称该属性是区间值模糊信息系统中的 一个准则。 本文中只考虑由递增偏序构成的优势关 系的情景，递减的偏序情形可以类似地得到相同的 结论。 定义 ２ 设 Ｉ ＝ (Ｕ，ＡＴ ∪ ＤＴ，Ｆ，Ｇ) 为区间值 模糊决策信息系统，若 Ｉ 中所有条件属性都是准则， 则称 Ｉ 是区间值模糊决策序信息系统，记作 Ｉ ≥ 。 称 Ｉ ≥ ＝ (Ｕ，ＡＴ，Ｆ) 为区间值模糊序信息系统。 在区间值模糊序信息系统中，设 ａ ∈ ＡＴ 为准 则，存在优势关系 “≥ａ ” ， “ｘｊ ≥ａ ｘｉ” 表示 ｘｊ 关于准 则 ａ 优 于 ｘｉ 。 设 Ａ ⊆ ＡＴ 是 准 则 集， 那 么 ｘｊ ≥Ａ ｘｉ⇔（∀ａ ∈ Ａ）［ｘｊ ≥ａ ｘｉ］ ，优势关系 Ｒ ≥ Ａ 可定 义为 Ｒ ≥ Ａ ＝ ｛（ｘｉ，ｘｊ） ∈ Ｕ × Ｕ ｜ ｘｊ ≥ａ ｘｉ，∀ａ ∈ Ａ｝ ＝ ｛（ｘｉ，ｘｊ） ∈ Ｕ × Ｕ ｜ （∀ａ ∈ Ａ）［ａ Ｌ （ｘｉ） ≤ ａ Ｌ （ｘｊ），ａ Ｕ （ｘｉ） ≤ ａ Ｕ （ｘｊ）］｝ 由区间值模糊优势关系 Ｒ ≥ Ａ 诱导的 ｘｉ [ ] ≥ Ａ 为 ｘｉ [ ] ≥ Ａ ＝ ｛ｘｊ ∈ Ｕ ｜ （ｘｉ，ｘｊ） ∈ Ｒ ≥ Ａ ｝ ＝ ｛ｘｊ ∈ Ｕ ｜ （∀ａ ∈ Ａ）［ａ Ｌ （ｘｉ） ≤ ａ Ｌ （ｘｊ）， ａ Ｕ （ｘｉ） ≤ ａ Ｕ （ｘｊ）］｝ 称为区间值模糊优势类，简称为优势类。 用 Ｕ／ Ｒ ≥ Ａ ＝｛［ｘ］ ≥ Ａ ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ 表示论域 Ｕ 上由区间值模 糊优势关系 Ｒ ≥ Ａ 诱导的区间值模糊优势类全体。 一 般地， Ｕ／ Ｒ ≥ Ａ 中的优势类不一定构成 Ｕ 上的一个划 分，而是仅仅构成 Ｕ 上的一个覆盖。 定义 ３ 设 Ｉ ≥ ＝ (Ｕ，ＡＴ ∪ {ｄ} ，Ｆ，Ｇ) 为区间 值模糊决策序信息系统，如果 Ｒ ≥ ＡＴ ⊆Ｒ ≥ ＤＴ ，则称该区间 值模糊决策序信息系统是协调的，否则为不协调的。 本文仅仅考虑比不协调区间值模糊决策序信息 系统。 ２ 区间值模糊决策序信息系统的部分 一致约简 我们已经知道了序信息系统中属性约简理论定 义的部分一致函数，下面将给出区间值模糊序信息 ·４７０· 智 能 系 统 学 报 第 １１ 卷

第4期 史德容，等：区间值模糊决策序信息系统的部分一致约简 471. 系统中的部分一致函数的定义方式。 [y],则8ar(x)∩8r(y)=δAr(x),即[y]S 定义4设户=(U,ATU{d},F,G)为区间 [x]成立推出δr(x)δAr(y)成立。 值模糊单决策序信息系统。对于任意的A二AT, 任取Dee8Ar(x),需证[x]CDk。不妨设 x∈U,记 y∈[x],则有[y]C[x],可得8ar(x)S U/R={[x]Ix∈U 6ar(y)。因此D∈δAr(y),即[y]CD,于是 U/R={D1,D2,…,D,} y∈D:,由y的任意性可得[x]CD从而 δ，(x)={DI[x]D,x∈U Or(x)CoA(x)成立，充分性得证。 我们称δ，(x)为论域U上关于准则集A的部分一致 函数。 3区间值模糊决策序信息系统的部分 定义5s设a=(a1,a2,…,an)和B=(b1,b2, 一致约简方法 …,bn)为两个n维向量，若a:=b.(i=1,2,…,n)称 向量x等于向量B,记作x=B;若a:≤b.(i=1,2, 第3节中给出了不协调的区间值模糊决策序信 …,n)称向量x小于等于向量B,记作x≤B;否 息系统的部分一致协调集，这是判断准则集是否协 则如果存在某个io,(i。∈{1,2，…，n}),使得a。> 调的理论所在，这节介绍部分一致约简的方法，先给 bo,称向量a不小于等于向量B,记作&丈B。 出辨识属性集以及辨识属性矩阵的相关概念。 显然由以上定义可立即得到下面命题。 定义7设I产=(U,ATU{d),F,G)为区间 定理1设P=(U,ATU{d),F,G)为区间值 值模糊序信息系统，记 模糊决策序信息系统。对于任意的A二AT, Dr=()1 8xr()C8xr() 1)对Hx∈U,当BCA时，有8B(x)C8(x): Dis'AT((x:,x)={a∈ATI(x:,x)∈DAr}= 2)对Hx,y∈U,当[y]C[x]时，有 {a∈AT1a(x:)>a(x) 84(x)C6,(y)。 或a(x)>a(x)} 定义6设≥=(U,ATU{d},F,G)为区间 值模糊决策序信息系统。A二AT,对于任意的x∈ 称Disr(x:,x)为IP中x,x,关于区间值模糊优势 U,如果有6，(x)=8r(x),则称A是户中关于区 关系R元的部分一致可辨识属性集。记 间值模糊优势关系R的部分一致协调集，如果A Disar=(Dissar(x,)) 的任何真子集均不是部分一致协调集，则称A是户 称DisA灯为I户中x:,x关于区间值模糊优势关 中关于区间值模糊优势关系R的部分一致约简。 系R的部分一致可辨识矩阵。特别地，对任意x:, 下面具体给出区间值模糊决策序信息系统的部 ,∈U有 分一致约简的判定定理。 Dis2Ar(x:,x:)=☑ 定理2设P=(U,ATU{d),F,G)为区间 定理3设产=(U,ATU{d},F,G)为区间 值模糊决策序信息系统，A≤AT,则A是部分一致 值模糊决策序信息系统，A二AT,A是部分一致协 协调集当且仅当对Hx,y∈U,若δAn(x)∩ 调集当且仅当对任意(x,y)∈Dr都有A∩ 8,(y)≠δAn(y),则[x]∩[y]≠[y]。 Disr(x,y)≠⑦。 证明必要性。反证法。假设当6r(x)∩ 证明必要性。对任意(x,y)∈D心r,有 δAr(y)≠δA(x)时有[x]n[y]≠[y]不成 OAr(y）COAr(x),则OAr(x)∩OAr（y)≠r(x)。 立，此时[x]n[y]=[y]则有[y]c[x], 因A是部分一致协调集，由定理2得[x]∩[y]≠ 由定理1可知8，(x)C8,(y)。由A是部分一致协 [y],因此[x]与[y]的关系有3种情况： 调集得8Ar(x)C8Ar(y),即有6Ar(x)n8Ar(y)= 1)[x]C [y]; δr(x),矛盾。必要性成立。 2)1=(U,AT U{d),F,G) 充分性。由定理1知6，(x)二8T(x),只证 3)[x]n [y]C [x][]n [y]C 8r(x)Cδ(x)即可。对Hx,y∈U,如果 [y]a。 8ar(x)∩δr(y)≠δr(x),则[x]∩[y]≠ 下证3种情祝下均有A∩Dis(x,y）≠成立。 [y]。因此对Hx,yeU,若[x]n[y]= 1)如果[x]C[y]云则至少存在一个z∈

系统中的部分一致函数的定义方式。 定义 ４ 设 Ｉ ≥ ＝ （Ｕ，ＡＴ ∪ ｛ｄ｝，Ｆ，Ｇ） 为区间 值模糊单决策序信息系统。 对于任意的 Ａ ⊆ ＡＴ ， ｘ ∈Ｕ ，记 Ｕ／ Ｒ ≥ Ａ ＝ ｛［ｘ］ ≥ Ａ ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ Ｕ／ Ｒ ≥ ｄ ＝ ｛Ｄ１ ，Ｄ２ ，…，Ｄｒ｝ δＡ（ｘ） ＝ ｛Ｄｊ ｜ ［ｘ］ ≥ Ａ ⊆ Ｄｊ，ｘ ∈ Ｕ｝ 我们称 δＡ（ｘ） 为论域 Ｕ 上关于准则集 Ａ 的部分一致 函数。 定义 ５ ［１５］设 α ＝ （ａ１ ，ａ２ ，…，ａｎ ） 和 β ＝ （ｂ１ ，ｂ２ ， …，ｂｎ ） 为两个 ｎ 维向量，若 ａｉ ＝ ｂｉ（ｉ ＝ １，２，…，ｎ） 称 向量 α 等于向量 β ，记作 α ＝ β ； 若 ａｉ ≤ｂｉ（ｉ ＝ １，２， …，ｎ） 称向量 α 小于等于向量 β ，记作 α ≤ β ； 否 则如果存在某个 ｉ ０ ，（ｉ ０ ∈ ｛１，２，…，ｎ｝） ，使得 ａｉ０ ＞ ｂｉ０ ， 称向量 α 不小于等于向量 β ，记作 α ≮ β 。 显然由以上定义可立即得到下面命题。 定理 １ 设 Ｉ ≥ ＝ (Ｕ，ＡＴ ∪ {ｄ} ，Ｆ，Ｇ) 为区间值 模糊决策序信息系统。 对于任意的 Ａ ⊆ ＡＴ ， １）对 ∀ｘ ∈ Ｕ ，当 Ｂ ⊆ Ａ 时，有 δ Ｂ（ｘ） ⊆ δ Ａ（ｘ）； ２） 对 ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ ， 当 ［ｙ］ ≥ Ａ ⊆ ［ｘ］ ≥ Ａ 时， 有 δ Ａ（ｘ） ⊆δ Ａ（ｙ） 。 定义 ６ 设 Ｉ ≥ ＝ (Ｕ，ＡＴ ∪ {ｄ} ，Ｆ，Ｇ) 为区间 值模糊决策序信息系统。 Ａ ⊆ ＡＴ ，对于任意的 ｘ ∈ Ｕ， 如果有 δ Ａ（ｘ） ＝ δ ＡＴ（ｘ） ， 则称 Ａ 是 Ｉ ≥ 中关于区 间值模糊优势关系 Ｒ ≥ ＡＴ 的部分一致协调集，如果 Ａ 的任何真子集均不是部分一致协调集，则称 Ａ 是 Ｉ ≥ 中关于区间值模糊优势关系 Ｒ ≥ ＡＴ 的部分一致约简。 下面具体给出区间值模糊决策序信息系统的部 分一致约简的判定定理。 定理 ２ 设 Ｉ ≥ ＝ (Ｕ，ＡＴ ∪ {ｄ} ，Ｆ，Ｇ) 为区间 值模糊决策序信息系统， Ａ ⊆ ＡＴ ，则 Ａ 是部分一致 协调 集 当 且 仅 当 对 ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ ， 若 δ ＡＴ（ｘ） ∩ δ Ａ（ｙ） ≠δ ＡＴ（ｙ） ，则 ［ｘ］ ≥ Ａ ∩ ［ｙ］ ≥ Ａ ≠ ［ｙ］ ≥ Ａ 。 证明 必要性。 反证法。 假设当 δ ＡＴ（ｘ） ∩ δ ＡＴ（ｙ） ≠ δ ＡＴ（ｘ） 时有 ［ｘ］ ≥ Ａ ∩ ［ｙ］ ≥ Ａ ≠ ［ｙ］ ≥ Ａ 不成 立，此时 ［ｘ］ ≥ Ａ ∩ ［ｙ］ ≥ Ａ ＝ ［ｙ］ ≥ Ａ 则有 ［ｙ］ ≥ Ａ ⊆ ［ｘ］ ≥ Ａ ， 由定理 １ 可知 δ Ａ（ｘ） ⊆ δ Ａ（ｙ） 。 由 Ａ 是部分一致协 调集得 δ ＡＴ（ｘ） ⊆ δ ＡＴ（ｙ） ，即有 δ ＡＴ（ｘ） ∩ δ ＡＴ（ｙ） ＝ δ ＡＴ（ｘ） ，矛盾。 必要性成立。 充分性。 由定理 １ 知 δ Ａ（ｘ） ⊆ δ ＡＴ（ｘ） ，只证 δ ＡＴ（ｘ） ⊆ δ Ａ（ｘ） 即 可。 对 ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ ， 如 果 δ ＡＴ（ｘ） ∩δ ＡＴ（ｙ） ≠ δ ＡＴ（ｘ） ， 则 ［ｘ］ ≥ Ａ ∩ ［ｙ］ ≥ Ａ ≠ ［ｙ］ ≥ Ａ 。 因此对 ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ ， 若 ［ｘ］ ≥ Ａ ∩ ［ｙ］ ≥ Ａ ＝ ［ｙ］ ≥ Ａ ，则 δ ＡＴ（ｘ） ∩ δ ＡＴ（ｙ） ＝ δ ＡＴ（ｘ） ，即 ［ｙ］ ≥ Ａ ⊆ ［ｘ］ ≥ Ａ 成立推出 δ ＡＴ（ｘ） ⊆ δ ＡＴ（ｙ） 成立。 任取 Ｄｋ ∈ δ ＡＴ（ｘ） ，需证 ［ｘ］ ≥ Ａ ⊆ Ｄｋ 。 不妨设 ｙ ∈ ［ｘ］ ≥ Ａ ， 则有 ［ｙ］ ≥ Ａ ⊆ ［ｘ］ ≥ Ａ ， 可得 δ ＡＴ（ｘ） ⊆ δ ＡＴ（ｙ） 。 因此 Ｄｋ ∈ δ ＡＴ（ｙ） ，即 ［ｙ］ ≥ ＡＴ ⊆ Ｄｋ ，于是 ｙ ∈Ｄｋ ， 由 ｙ 的 任 意 性 可 得 ［ｘ］ ≥ Ａ ⊆ Ｄｋ 从 而 σ ＡＴ（ｘ） ⊆σＡ（ｘ） 成立，充分性得证。 ３ 区间值模糊决策序信息系统的部分 一致约简方法 第 ３ 节中给出了不协调的区间值模糊决策序信 息系统的部分一致协调集，这是判断准则集是否协 调的理论所在，这节介绍部分一致约简的方法，先给 出辨识属性集以及辨识属性矩阵的相关概念。 定义 ７ 设 Ｉ ≥ ＝ (Ｕ，ＡＴ ∪ {ｄ} ，Ｆ，Ｇ) 为区间 值模糊序信息系统，记 Ｄ δ ≥ＡＴ ＝ ｛（ｘｉ，ｘｊ） ｜ δＡＴ（ｘｉ） ⊂ δＡＴ（ｘｊ）｝ Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ（ｘｉ，ｘｊ） ＝ ｛ａ ∈ ＡＴ ｜ （ｘｉ，ｘｊ） ∈ Ｄ δ ≥ＡＴ ｝ ＝ ｛ａ ∈ ＡＴ ｜ ａ Ｌ （ｘｉ） ＞ ａ Ｌ （ｘｊ） 或 ａ Ｕ （ｘｉ） ＞ ａ Ｕ （ｘｊ）｝ 称 Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ（ｘｉ，ｘｊ） 为 Ｉ ≥ 中 ｘｉ，ｘｊ 关于区间值模糊优势 关系 Ｒ ≥ ＡＴ 的部分一致可辨识属性集。 记 Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ ＝ （Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ（ｘｉ，ｘｊ）） Ｕ × Ｕ 称 Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ 为 Ｉ ≥ 中 ｘｉ，ｘｊ 关于区间值模糊优势关 系 Ｒ ≥ ＡＴ 的部分一致可辨识矩阵。 特别地，对任意 ｘｉ， ｘｊ ∈ Ｕ 有 Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ ｘｉ，ｘｉ ( ) ＝ ⌀ 定理 ３ 设 Ｉ ≥ ＝ (Ｕ，ＡＴ ∪ {ｄ} ，Ｆ，Ｇ) 为区间 值模糊决策序信息系统， Ａ ⊆ ＡＴ ， Ａ 是部分一致协 调集当且仅当对任意 （ｘ，ｙ） ∈ Ｄ δ ≥ＡＴ 都 有 Ａ ∩ Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ （ｘ，ｙ） ≠ ⌀ 。 证明 必 要 性。 对 任 意 （ｘ，ｙ） ∈ Ｄ δ ≥ＡＴ ， 有 σＡＴ（ｙ） ⊂ σＡＴ（ｘ） ，则 σＡＴ（ｘ） ∩ σＡＴ（ｙ） ≠ σＡＴ（ｘ） 。 因 Ａ 是部分一致协调集，由定理２ 得 ［ｘ］ ≥ Ａ ∩［ｙ］ ≥ Ａ ≠ ［ｙ］ ≥ Ａ ，因此 [ｘ] ≥ Ａ 与 [ｙ] ≥ Ａ 的关系有 ３ 种情况： １） [ｘ] ≥ Ａ ⊂ [ｙ] ≥ Ａ ； ２） Ｉ ≥ ＝ (Ｕ，ＡＴ ∪ {ｄ} ，Ｆ，Ｇ) ； ３） [ｘ] ≥ Ａ ∩ [ｙ] ≥ Ａ ⊂ [ｘ] ≥ Ａ 且 [ｘ] ≥ Ａ ∩ [ｙ] ≥ Ａ ⊂ [ｙ] ≥ Ａ 。 下证３种情况下均有Ａ ∩Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ （ｘ，ｙ） ≠⌀成立。 １）如果 [ｘ] ≥ Ａ ⊂ [ｙ] ≥ Ａ 则至少存在一个 ｚ ∈ 第 ４ 期 史德容，等：区间值模糊决策序信息系统的部分一致约简 ·４７１·

·472· 智能系统学报 第11卷 [y],但z[x],由z任[x]可知，至少存在 “低”，统计数据如表1所示。 一个aeA,使得f(x,a)>fy,a)。因为ze 表1风险投资的区间值模糊序决策信息系统 [y],所以f(y,a)≤fz,a)。于是得到f(x,a)> Table 1 Interval-valued fuzzy ordered decision in- fy,a),因此a∈Disn(x,y）,即有A0Dis(x, formATion systems y)≠0。 U 0 a 2)如果[x]∩[y]=☑，必然至少存在 [0.1.0.3][0.2,0.3] [0.1,0.4] 3 一个a∈A使得f(x,a)>f(y,a),即An 5 [0.3.0.5] 「0.2.0.61 [0.2.0.8] 2 Disr(x,y)≠O。否则，若对于所有的aEA [0.1,0.5][0.1,0.4][0.2,0.7] 1 都有fx,a)≤f(y,a),则y∈[x],与 [0.2.0.7][0.1.0.5][0.3.0.7] 2 [x]n[y]=☑矛盾。 [0.3,0.6][0.3,0.7][0.2,0.9] 3 3)如果[x]n[y]C[x]且[x]n [0.3.0.9][0.2,0.7][0.3.0.8] [y]C[y]京，证明与(1)相同。因为此时也至少 由表1可得到 存在一个z∈[y]云，但是z生[x]。由此必要性 [x1]={x1,x2,x5,x6; 即证。 [2]={x2x5x6; 充分性。如果对所有的(x,y)eDis.有An [x]2=x2,x3x4x5x6: Disn(x,y）≠，则必定存在aeA并且有ae [x4]={x4,x6; Disn(x,y）,故有fx,a)>y,a）,所以y [x]={x: [x]。因此[x]含∩[y]含≠[y]B。另外，由 [x6]={x6f: (x,y）EDis,得r(x)δr(y),于是 [x]=[x]={1x; δAT(x)∩δr(y)≠δA(x)。当8AT(x)∩8AT(y)≠ [x2]=[x4]={x1,x2,4,x; δr(x)时有[x]n[y]≠[y]。由定理2知A 是部分一致协调集，充分性得证。 [x3]=[x6]={x1,2,x34x5,x6 定义8设户=(U,ATU{d),F,G)为区间 显然，R?￠R。因此该区间值模糊序决策信 值模糊决策序信息系统，部分一致可辨识矩阵为 息系统是不协调的。 Disr。称 对于表1给出的关于风险投资的区间值模糊序 MAr= 决策信息系统，求部分一致约简。 情形1利用定义6求解。 A{V{ala∈Dis°ar(x,x)}IVx:,∈U} 在该系统中记 为该区间值模糊决策序信息系统的部分一致可辨识 公式。 D1=[x]=[x] 定理4设☑为区间值模糊决策序信息系统， D2=[x2]i=[x4] 部分一致可辨识公式M,的极小析取范式为 D3=[x3]=[x6] 由部分一致函数δ，(x)定义可得 Mmin=(八a,),若记B.={a,s=1,2,…, k=1s=1 8,(x1）=6(2）=8(x3)= 9},则{B,k=1,2,…,p}是所有部分一致约简构 6(x4)=δ(x6)={D3} 成的集合。 8(x5)={D1,D2,D3} 当取B={a2,a3}时，容易验证对于HxeU 4区间值模糊决策序信息系统的部分 有：[x]=[x]B,因此有δ(x)=64(x)。故B= 一致约简方法 {a2,a3}是部分一致协调集。 当取B'={a1,a3}有 实例分析设户=(U,ATU{d),F,G)为区 间值模糊序决策信息系统，U={x1,x2,…,x6}为论 [x1]={x1,x2,x3,x4,x5,x6} 域，代表6个投资对象，A={a1,a2,a3},分别代表 [x2]2={x2x5,x6} 着市场风险、技术风险、管理风险，{为决策属 [x3]g={x2,x3,x5,x6 性，表示风险，其中3表示“高”，2表示“中”，1表示 [x]2={x4,6}

[ｙ] ≥ Ａ ，但 ｚ ∉ [ｘ] ≥ Ａ ，由 ｚ ∉ [ｘ] ≥ Ａ 可知，至少存在 一个 ａ ∈ Ａ ，使得 ｆ（ｘ，ａ） ＞ ｆ（ｙ，ａ） 。 因为 ｚ ∈ ［ｙ］ ≥ Ａ ，所以 ｆ（ｙ，ａ） ≤ ｆ（ｚ，ａ） 。 于是得到 ｆ（ｘ，ａ） ＞ ｆ（ｙ，ａ） ，因此 ａ ∈ Ｄｉｓ δ ≤ＡＴ （ｘ，ｙ） ，即有 Ａ ∩ Ｄｉｓ δ ≤ＡＴ （ｘ， ｙ） ≠ ⌀ 。 ２）如果 [ｘ ] ≥ Ａ ∩ [ｙ ] ≥ Ａ ＝ ⌀ ，必然至少存在 一 个 ａ ∈ Ａ 使 得 ｆ（ ｘ，ａ） ＞ ｆ（ ｙ，ａ） ， 即 Ａ ∩ Ｄｉｓ δ ≤ＡＴ （ ｘ，ｙ） ≠ ⌀ 。 否则，若对于所有的 ａ ∈ Ａ 都 有 ｆ（ ｘ，ａ） ≤ ｆ（ ｙ，ａ） ， 则 ｙ ∈ ［ ｘ］ ≥ Ａ ， 与 [ｘ ] ≥ Ａ ∩ [ｙ ] ≥ Ａ ＝ ⌀ 矛盾。 ３） 如果 [ｘ] ≥ Ａ ∩ [ｙ] ≥ Ａ ⊂ [ｘ] ≥ Ａ 且 [ｘ] ≥ Ａ ∩ [ｙ] ≥ Ａ ⊂ [ｙ] ≥ Ａ ，证明与（１）相同。 因为此时也至少 存在一个 ｚ ∈ [ｙ] ≥ Ａ ，但是 ｚ ∉ [ｘ] ≥ Ａ 。 由此必要性 即证。 充分性。 如果对所有的 （ｘ，ｙ） ∈ Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ 有 Ａ ∩ Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ （ｘ，ｙ） ≠ ⌀ ，则必定存在 ａ ∈ Ａ 并且有 ａ ∈ Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ （ｘ，ｙ） ，故 有 ｆ（ｘ，ａ） ＞ ｆ（ｙ，ａ） ， 所 以 ｙ ∉ [ｘ] ≥ Ａ 。 因此 [ｘ] ≥ Ｂ ∩ [ｙ] ≥ Ｂ ≠ [ｙ] ≥ Ｂ 。 另外，由 （ｘ，ｙ） ∈ Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ ， 得 δ ＡＴ（ｘ） ⊃ δ ＡＴ（ｙ） ， 于 是 δ ＡＴ（ｘ） ∩δ ＡＴ（ｙ） ≠ δ ＡＴ（ｘ） 。 当 δ ＡＴ（ｘ） ∩ δ ＡＴ（ｙ） ≠ δ ＡＴ（ｘ） 时有 ［ｘ］ ≥ Ａ ∩ ［ｙ］ ≥ Ａ ≠ ［ｙ］ ≥ Ａ 。 由定理 ２ 知 Ａ 是部分一致协调集，充分性得证。 定义 ８ 设 Ｉ ≥ ＝ (Ｕ，ＡＴ ∪ {ｄ} ，Ｆ，Ｇ) 为区间 值模糊决策序信息系统，部分一致可辨识矩阵为 Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ 。 称 Ｍ δ ≥ＡＴ ＝ ∧ ｛∨ ｛ａ ｜ ａ ∈ Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ（ｘｉ，ｘｊ）｝ ｜ ∀ｘｉ，ｘｊ ∈ Ｕ｝ 为该区间值模糊决策序信息系统的部分一致可辨识 公式。 定理 ４ 设 ⌀ 为区间值模糊决策序信息系统， 部分一 致 可 辨 识 公 式 Ｍ δ ≥ＡＴ 的 极 小 析 取 范 式 为 Ｍ δ ≥ ｍｉｎ ＝ ∨ ｐ ｋ ＝ １ （ ∧ ｑｋ ｓ ＝ １ ａｓ） ，若记 Ｂｋ ＝ ｛ａｓ，ｓ ＝ １，２，…， ｑｋ｝， 则 ｛Ｂｋ，ｋ ＝ １，２，…，ｐ｝ 是所有部分一致约简构 成的集合。 ４ 区间值模糊决策序信息系统的部分 一致约简方法 实例分析 设 Ｉ ≥ ＝ (Ｕ，ＡＴ ∪ {ｄ} ，Ｆ，Ｇ) 为区 间值模糊序决策信息系统， Ｕ ＝ ｛ｘ１ ，ｘ２ ，…，ｘ６ ｝ 为论 域，代表 ６ 个投资对象， Ａ ＝ ｛ａ１ ，ａ２ ，ａ３ ｝ ，分别代表 着市场风险、技术风险、管理风险， {ｄ} 为决策属 性，表示风险，其中 ３ 表示“高”，２ 表示“中”，１ 表示 “低”，统计数据如表 １ 所示。 表 １ 风险投资的区间值模糊序决策信息系统 Ｔａｂｌｅ １ Ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅｄ ｆｕｚｚｙ ｏｒｄｅｒｅｄ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｉｎ⁃ ｆｏｒｍＡＴｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍｓ Ｕ ａ１ ａ２ ａ３ ｄ ｘ１ ［０．１，０．３］ ［０．２，０．３］ ［０．１，０．４］ ３ ｘ２ ［０．３，０．５］ ［０．２，０．６］ ［０．２，０．８］ ２ ｘ３ ［０．１，０．５］ ［０．１，０．４］ ［０．２，０．７］ １ ｘ４ ［０．２，０．７］ ［０．１，０．５］ ［０．３，０．７］ ２ ｘ５ ［０．３，０．６］ ［０．３，０．７］ ［０．２，０．９］ ３ ｘ６ ［０．３，０．９］ ［０．２，０．７］ ［０．３，０．８］ １ 由表 １ 可得到 ［ｘ１ ］ ≥ Ａ ＝ ｛ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ５ ，ｘ６ ｝； ［ｘ２ ］ ≥ Ａ ＝ ｛ｘ２ ，ｘ５ ，ｘ６ ｝； ［ｘ３ ］ ≥ Ａ ＝ ｛ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ４ ，ｘ５ ，ｘ６ ｝； ［ｘ４ ］ ≥ Ａ ＝ ｛ｘ４ ，ｘ６ ｝； ［ｘ５ ］ ≥ Ａ ＝ ｛ｘ５ ｝； ［ｘ６ ］ ≥ Ａ ＝ ｛ｘ６ ｝； ［ｘ１ ］ ≥ ｄ ＝ ［ｘ５ ］ ≥ ｄ ＝ ｛ｘ１ ，ｘ５ ｝； ［ｘ２ ］ ≥ ｄ ＝ ［ｘ４ ］ ≥ ｄ ＝ ｛ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ４ ，ｘ５ ｝； ［ｘ３ ］ ≥ ｄ ＝ ［ｘ６ ］ ≥ ｄ ＝ ｛ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ４ ，ｘ５ ，ｘ６ ｝ 显然， Ｒ ≥ Ａ ⊄ Ｒ ≥ ｄ 。 因此该区间值模糊序决策信 息系统是不协调的。 对于表 １ 给出的关于风险投资的区间值模糊序 决策信息系统，求部分一致约简。 情形 １ 利用定义 ６ 求解。 在该系统中记 Ｄ１ ＝ ［ｘ１ ］ ≥ ｄ ＝ ［ｘ５ ］ ≥ ｄ Ｄ２ ＝ ［ｘ２ ］ ≥ ｄ ＝ ［ｘ４ ］ ≥ ｄ Ｄ３ ＝ ［ｘ３ ］ ≥ ｄ ＝ ［ｘ６ ］ ≥ ｄ 由部分一致函数 δＡ（ｘ） 定义可得 δＡ（ｘ１ ） ＝ δＡ（ｘ２ ） ＝ δＡ（ｘ３ ） ＝ δＡ（ｘ４ ） ＝ δＡ（ｘ６ ） ＝ ｛Ｄ３ ｝ δＡ（ｘ５ ） ＝ ｛Ｄ１ ，Ｄ２ ，Ｄ３ ｝ 当取 Ｂ ＝ ｛ａ２ ，ａ３ ｝ 时，容易验证对于 ∀ｘ ∈ Ｕ 有： ［ｘ］ ≥ Ａ ＝ ［ｘ］ ≥ Ｂ ，因此有 δＢ（ｘ） ＝ δＡ（ｘ） 。 故 Ｂ ＝ ｛ａ２ ，ａ３ ｝ 是部分一致协调集。 当取 Ｂ′ ＝ ｛ａ１ ，ａ３ ｝ 有 ［ｘ１ ］ ≥ Ｂ ′ ＝ ｛ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ４ ，ｘ５ ，ｘ６ ｝ ［ｘ２ ］ ≥ Ｂ ′ ＝ ｛ｘ２ ，ｘ５ ，ｘ６ ｝ ［ｘ３ ］ ≥ Ｂ ′ ＝ ｛ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ５ ，ｘ６ ｝ ［ｘ４ ］ ≥ Ｂ ′ ＝ ｛ｘ４ ，ｘ６ ｝ ·４７２· 智 能 系 统 学 报 第 １１ 卷

第4期 史德容，等：区间值模糊决策序信息系统的部分一致约简 ·473· [x]2={x 显然在该决策问题中技术和管理风险因子是对象的 [x6]2={x6 肯定决策不变的属性。两种求解方法不同，所费的 于是 时间不一样。从求解过程来看，情形1过程较复杂， 84(x1)=6(x2)=6(x3)= 相对情形2时间较少，因此在求部分一致约简时，利 8,(x4)=64(x6)={D3} 用情形2求解具有明显的时间优势。 8(x5)={D,D2,D3} 5结论 因此对于Hx∈U有8g(x)=δ(x)。B'={a1, 本文针对区间值模糊序决策信息系统的条件属 a3}是部分一致协调集。 性与决策属性的不协调性，着重研究了改系统的部 当取B"={a1,a2}时有 分一致约简。主要取得如下结论： [x]2={x1,x2,x5x6} 1)通过分析部分一致约简的性质得到了对应 [x2]2={x2,x5,x6 的判定定理； []2={x2出，x4,5,x6} 2)在上述基础上建立了辨识矩阵，给出了获取 [x]2={x4,x} 部分一致约简的具体方法，并且用两种情形对实例 [xs]=xs 进行了对比分析。 [x6]2={x6 3)通过比较可以知道，本文对部分一致约简进 则有 行了更精确地刻画，可以简化在时间上的求解过程。 6,(x1)=6,(x2)=6(x3)= 参考文献： 8(x4)=64(x6)={D3} [1]PAWLAK Z.Rough sets:theoretical aspects of reasoning a- 6(x5)={D1,D2,D3} bout data[M].Boston:Kluwer Academic Publishers,1991. 对于Hx∈U有8g(x)=8(x)。故B”={a1, [2]PAWLAK Z,GRZYMALA-BUSSE J,SLOWINSKI R,et a2}也是部分一致协调集。 al.Rough sets[J].Communications of the ACM,1995,38 进一步可以计算{a2}、{a3}均是部分一致协 (11):89-95. 调集，并且可以计算出，{a,}不是部分一致协调 [3]王珏，苗夺谦，周育健.关于Rough Set理论与应用的综 集。因此该区间值模糊决策序信息系统有两个部分 述[J].模式识别与人工智能，1996,9(4)：337-344. 一致约简，即{a2}和{a3}。 WANG Jue,MIAO Duoqian,ZHOU Yujian.Rough set the- 情形2利用定理3求解。 ory and its application:a survey[J.Pattern recognition and artificial intelligence,1996,9(4):337-344. 可以计算该信息系统的部分一致可辨识矩阵如 [4]苗夺谦，王珏.基于粗糙集的多变量决策树构造方法 表2所示。 [J].软件学报，1997,8(6)：425-431. 表2区间值模糊序决策信息系统的部分一致可辨识矩阵 MIAO Duoqian,WANG Jue.Rough sets based approach for Table 2 Discernibility matrix of partially consistent multivariate decision tree construction[J].Journal of soft- reduction ware,1997,8(6):425-431. Dis' x345 [5]张小红，裴道武，代建华.模糊数学与Rough集理论 ⊙ 0 0 ① 0 [M].北京：清华大学出版社，2013. ZHANG Xiaohong,PEI Daowu,DAI Jianhua.Fuzzy mathe- X2 0 0 0 0 a 0 matics and the rough set theory[M].Beijing:Tsinghua Uni- 0 0 0 0 0 0 versity Press,2013. XA ① 0 0 0 0 0 [6]徐伟华，张先韬，王巧荣.序信息系统中变精度粗糙集 A A A 0 a2,a3 属性约简的MATLAB实现[J)].重庆理工大学学报：自 o ☑ 0 0 中 0 然科学版，2013,27(1)：107-115. XU Weihua,ZHANG Xiantao,WANG Qiaorong.Experi- 由定义8可得 mental computing on attribute reduction by Matlab in domi- M=(a V a:V as)A (a:V as)=a2 V a3 nance-based variable precision rough set[J].Journal of 因此{a,}和{a}是该区间值模糊决策序信 Chongging university of technology:natural science,2013, 息系统的所有部分一致约简。 27(1):107-115. 上述情形1和情形2所求得的结果是一致的， [7]张文修，米据生，吴伟志.不协调目标信息系统的知识

［ｘ５ ］ ≥ Ｂ ′ ＝ ｛ｘ５ ｝ ［ｘ６ ］ ≥ Ｂ ′ ＝ ｛ｘ６ ｝ 于是 δＡ（ｘ１ ） ＝ δＡ（ｘ２ ） ＝ δＡ（ｘ３ ） ＝ δＡ（ｘ４ ） ＝ δＡ（ｘ６ ） ＝ ｛Ｄ３ ｝ δＡ（ｘ５ ） ＝ ｛Ｄ１ ，Ｄ２ ，Ｄ３ ｝ 因此对于 ∀ｘ ∈ Ｕ 有 δＢ′（ｘ） ＝ δＡ（ｘ） 。 Ｂ′ ＝ ｛ａ１ ， ａ３ ｝ 是部分一致协调集。 当取 Ｂ″ ＝ ｛ａ１ ，ａ２ ｝ 时有 ［ｘ１ ］ ≥ Ｂ″ ＝ ｛ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ５ ，ｘ６ ｝ ［ｘ２ ］ ≥ Ｂ″ ＝ ｛ｘ２ ，ｘ５ ，ｘ６ ｝ ［ｘ３ ］ ≥ Ｂ″ ＝ ｛ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ４ ，ｘ５ ，ｘ６ ｝ ［ｘ４ ］ ≥ Ｂ″ ＝ ｛ｘ４ ，ｘ６ ｝ ［ｘ５ ］ ≥ Ｂ″ ＝ ｛ｘ５ ｝ ［ｘ６ ］ ≥ Ｂ″ ＝ ｛ｘ６ ｝ 则有 δＡ（ｘ１ ） ＝ δＡ（ｘ２ ） ＝ δＡ（ｘ３ ） ＝ δＡ（ｘ４ ） ＝ δＡ（ｘ６ ） ＝ ｛Ｄ３ ｝ δＡ（ｘ５ ） ＝ ｛Ｄ１ ，Ｄ２ ，Ｄ３ ｝ 对于 ∀ｘ ∈ Ｕ 有 δＢ″（ｘ） ＝ δＡ（ｘ） 。 故 Ｂ″ ＝ ｛ａ１ ， ａ２ ｝ 也是部分一致协调集。 进一步可以计算 ａ２ { } 、 ａ３ { } 均是部分一致协 调集，并且可以计算出， ａ１ { } 不是部分一致协调 集。 因此该区间值模糊决策序信息系统有两个部分 一致约简，即 ａ２ { } 和 ａ３ { } 。 情形 ２ 利用定理 ３ 求解。 可以计算该信息系统的部分一致可辨识矩阵如 表 ２ 所示。 表 ２ 区间值模糊序决策信息系统的部分一致可辨识矩阵 Ｔａｂｌｅ ２ Ｄｉｓｃｅｒｎｉｂｉｌｉｔｙ ｍａｔｒｉｘ ｏｆ ｐａｒｔｉａｌｌｙ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ Ｄｉｓ μ ≥Ａ ｘ１ ｘ２ ｘ３ ｘ４ ｘ５ ｘ６ ｘ１ ⌀ ⌀ ⌀ ⌀ ⌀ ⌀ ｘ２ ⌀ ⌀ ⌀ ⌀ ⌀ ⌀ ｘ３ ⌀ ⌀ ⌀ ⌀ ⌀ ⌀ ｘ４ ⌀ ⌀ ⌀ ⌀ ⌀ ⌀ ｘ５ Ａ Ａ Ａ Ａ ⌀ ａ２ ，ａ３ ｘ６ ⌀ ⌀ ⌀ ⌀ ⌀ ⌀ 由定义 ８ 可得 Ｍ σ ≥ＡＴ ＝ （ａ１ ∨ ａ２ ∨ ａ３ ） ∧ ａ２ ∨ ａ３ ( ) ＝ ａ２ ∨ ａ３ 因此 ａ２ { } 和 ａ３ { } 是该区间值模糊决策序信 息系统的所有部分一致约简。 上述情形 １ 和情形 ２ 所求得的结果是一致的， 显然在该决策问题中技术和管理风险因子是对象的 肯定决策不变的属性。 两种求解方法不同，所费的 时间不一样。 从求解过程来看，情形 １ 过程较复杂， 相对情形 ２ 时间较少，因此在求部分一致约简时，利 用情形 ２ 求解具有明显的时间优势。 ５ 结论 本文针对区间值模糊序决策信息系统的条件属 性与决策属性的不协调性，着重研究了改系统的部 分一致约简。 主要取得如下结论： １）通过分析部分一致约简的性质得到了对应 的判定定理； ２）在上述基础上建立了辨识矩阵，给出了获取 部分一致约简的具体方法，并且用两种情形对实例 进行了对比分析。 ３）通过比较可以知道，本文对部分一致约简进 行了更精确地刻画，可以简化在时间上的求解过程。 参考文献： ［１］ＰＡＷＬＡＫ Ｚ． Ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ： ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ａｓｐｅｃｔｓ ｏｆ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ ａ⁃ ｂｏｕｔ ｄａｔａ［Ｍ］． Ｂｏｓｔｏｎ： Ｋｌｕｗｅｒ Ａｃａｄｅｍｉｃ Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ， １９９１． ［２］ ＰＡＷＬＡＫ Ｚ， ＧＲＺＹＭＡＬＡ⁃ＢＵＳＳＥ Ｊ， ＳＬＯＷＩＮＳＫＩ Ｒ， ｅｔ ａｌ． Ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ［Ｊ］． Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ＡＣＭ， １９９５， ３８ （１１）： ８９－９５． ［３］王珏， 苗夺谦， 周育健． 关于 Ｒｏｕｇｈ Ｓｅｔ 理论与应用的综 述［Ｊ］． 模式识别与人工智能， １９９６， ９（４）： ３３７－３４４． ＷＡＮＧ Ｊｕｅ， ＭＩＡＯ Ｄｕｏｑｉａｎ， ＺＨＯＵ Ｙｕｊｉａｎ． Ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ｔｈｅ⁃ ｏｒｙ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ： ａ ｓｕｒｖｅｙ［Ｊ］． Ｐａｔｔｅｒｎ ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ ａｎｄ ａｒｔｉｆｉｃｉａｌ ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ， １９９６， ９（４）： ３３７－３４４． ［４］苗夺谦， 王珏． 基于粗糙集的多变量决策树构造方法 ［Ｊ］． 软件学报， １９９７， ８（６）： ４２５－４３１． ＭＩＡＯ Ｄｕｏｑｉａｎ， ＷＡＮＧ Ｊｕｅ． Ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ｂａｓｅｄ ａｐｐｒｏａｃｈ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｔｒｅｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ［ Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｓｏｆｔ⁃ ｗａｒｅ， １９９７， ８（６）： ４２５－４３１． ［５］张小红， 裴道武， 代建华． 模糊数学与 Ｒｏｕｇｈ 集理论 ［Ｍ］． 北京： 清华大学出版社， ２０１３． ＺＨＡＮＧ Ｘｉａｏｈｏｎｇ， ＰＥＩ Ｄａｏｗｕ， ＤＡＩ Ｊｉａｎｈｕａ． Ｆｕｚｚｙ ｍａｔｈｅ⁃ ｍａｔｉｃｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｙ［Ｍ］． Ｂｅｉｊｉｎｇ： Ｔｓｉｎｇｈｕａ Ｕｎｉ⁃ ｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ， ２０１３． ［６］徐伟华， 张先韬， 王巧荣． 序信息系统中变精度粗糙集 属性约简的 ＭＡＴＬＡＢ 实现［ Ｊ］． 重庆理工大学学报： 自 然科学版， ２０１３， ２７（１）： １０７－１１５． ＸＵ Ｗｅｉｈｕａ， ＺＨＡＮＧ Ｘｉａｎｔａｏ， ＷＡＮＧ Ｑｉａｏｒｏｎｇ． Ｅｘｐｅｒｉ⁃ ｍｅｎｔａｌ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｏｎ ａｔｔｒｉｂｕｔｅ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｂｙ Ｍａｔｌａｂ ｉｎ ｄｏｍｉ⁃ ｎａｎｃｅ⁃ｂａｓｅｄ ｖａｒｉａｂｌｅ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔ ［ Ｊ ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ： ｎａｔｕｒａｌ ｓｃｉｅｎｃｅ， ２０１３， ２７（１）： １０７－１１５． ［７］张文修， 米据生， 吴伟志． 不协调目标信息系统的知识 第 ４ 期 史德容，等：区间值模糊决策序信息系统的部分一致约简 ·４７３·

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