·536· 智能系统学报 第11卷 C2,…,C.描述下的悲观多粒度覆盖粗糙集，否则称 {1,2,3,4,7,8} X是可定义集。 PΣ6(X)=11,2},PΣG(X)={1,2 下面给出一个算例对以上定义进行解释说明。 例1给定U,C>,其中U={1,2,3,4,5,6,7 下面讨论3种模型的一些基本性质。 8,9},C1,C2∈C,C1={{1,2,4,5,7,8},{2,5, 定理1设〈U,C>是一个覆盖近似空间，其中 8},{3,5,6,9}C2={{1,2,3},{4,5,6,7,8},{7, C是U的覆盖的集合。对给定C1,C2,…,Cn∈C, 8,9}。则根据定义，有 0≤B<a≤1及任意的XCU,则有 mdc,(1)=mdc,(4)=mdc,(7)={{1,2,4,5,7,8}} 1)MΣ.s(0)=0，MΣ.6（0)=0； mdc,(2)=mdc(8)={{2,5,8}} MΣsa(U)=U,Mz4(U)=U mdc(5)=112,5,8},{3,5,6,9}} mdc(3)=mdc(6)=mdc,(9)={{3,5,6,9}} MΣ.a(X)）GME.,4(X) mdc,(1)=mdc,(2)=mdc,(3)={1,2,3}} 20E.6(0)=0,0E.6(0)=0; mde,(4)=mdc,(5)=md,(6)={4,5,6,7,8}{ md,(7)=mdc(8)=1{4,5,6,7,8},{7,8,9}} i(U)=U mdc,(9)={{7,8,9} 0Σ.(U)=U 若X={1,2,5,8},则 对于C: 0Σ.6a(X)c0Σ.G(X) P(XIU mdc,(1))= 3)PΣsa(0)=0,P4(0)=: .4 P(x (Umdc (1)))9 2 Pi(U)=U P(U mdc,(1)) 63 Pi.c(U)=U P(X|Umdc,(2))=1 P.6a(X)∈PΣ.G(X) P(X|Umdc,(3)=1/4 定理2设〈U,C>是一个覆盖近似空间，其中 P(X|Umdc,(4))=2/3 C是U的覆盖的集合。对给定C,C2,…,Cn∈C, P(X|Umdc,(5))-1/2 0≤B<a≤1及任意的XSU,则有 P(XIU mdc,(6))=1/4 1)当a=1时，有 P(X|Umdc(7))=2/3 0Σc,a(X)=Fc(X) P(XIU mdc,(8))=1 P(XIU mdc,(9))=1/4 PE.Ga(X)=SΣ.6(X) 对于C2: 2)当B=0时，有 P(X|Umdc,(1))=2/3 0Σ4(X)=SE6(X) P(XIU mdc,(2))=2/3 P(X|Umdc,(3))=2/3 P(X)=F(X) P(X|Umdc,(4))=2/5 证明限于篇幅证明略。 P(XIU mdc,(5))=2/5 定理3给定覆盖近似空间<U,C),如果C1, P(x|Umdc,(6))=2/5 C2,…,Cn∈C,且C1={C1,C2,…,Cp}，C2= P(X|Umdc,(7)=1/3 {C21,C2,…,C2},…,C。={Cn1,Cn2,…,Cm}其中 P(X|Umdc,(8))=1/3 p,9,…,r均为自然数。则对任意C∈{C,C2, P(XIU mdc,(9))=1/3 …,Cp,C1,C2,…,C2g,…,Cal,C2,…,Cnm},ij为自 若设a=2/3,B=1/2则有 然数，对给定0≤B<a≤1，下列等式不一定成立。 MΣ.4X)=1,2 1)MΣi.sa(Cw)=Cw,lΣ.4(C)=Cw MΣ.6(X)=11,2,5,8 2)(C)=Ci(C)=C 0Σ.6(X)={1,2,3,4,7,8}0Σ.6(X)= 3)P(C)=Cij,P(C)=CijoＣ２ ，…，Ｃｎ 描述下的悲观多粒度覆盖粗糙集，否则称 Ｘ 是可定义集。 下面给出一个算例对以上定义进行解释说明。 例 １ 给定 􀎮Ｕ，Ｃ􀎯 ，其中 Ｕ ＝ ｛１，２，３，４，５，６，７ ８，９｝ ， Ｃ１ ，Ｃ２ ∈ Ｃ ， Ｃ１ ＝ ｛｛１，２，４，５，７，８｝， ｛２，５， ８｝， ｛３，５，６，９｝｝ Ｃ２ ＝ ｛｛１，２，３｝，｛４，５，６，７，８｝，｛７， ８，９｝｝ 。 则根据定义，有 ｍｄＣ１ （１） ＝ ｍｄＣ１ （４） ＝ ｍｄＣ１ （７） ＝ ｛｛１，２，４，５，７，８｝｝ ｍｄＣ１ （２） ＝ ｍｄＣ１ （８） ＝ ｛｛２，５，８｝｝ ｍｄＣ１ （５） ＝ ｛｛２，５，８｝，｛３，５，６，９｝｝ ｍｄＣ１ （３） ＝ ｍｄＣ１ （６） ＝ ｍｄＣ１ （９） ＝ ｛｛３，５，６，９｝｝ ｍｄＣ２ （１） ＝ ｍｄＣ２ （２） ＝ ｍｄＣ２ （３） ＝ ｛｛１，２，３｝｝ ｍｄＣ２ （４） ＝ ｍｄＣ２ （５） ＝ ｍｄＣ２ （６） ＝ ｛｛４，５，６，７，８｝｝ ｍｄＣ２ （７） ＝ ｍｄＣ２ （８） ＝ ｛｛４，５，６，７，８｝，｛７，８，９｝｝ ｍｄＣ２ （９） ＝ ｛｛７，８，９｝｝ 若 Ｘ ＝ ｛１，２，５，８｝ ，则 对于 Ｃ１ ： Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （１）） ＝ Ｐ（Ｘ ∩ （∪ ｍｄＣ１ （１））） Ｐ（∪ ｍｄＣ１ （１）） ＝ ４ ９ ６ ９ ＝ ２ ３ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （２）） ＝ １ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （３）） ＝ １ ／ ４ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （４）） ＝ ２ ／ ３ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （５）） ＝ １ ／ ２ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （６）） ＝ １ ／ ４ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （７）） ＝ ２ ／ ３ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （８）） ＝ １ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （９）） ＝ １ ／ ４ 对于 Ｃ２ ： Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ２ （１）） ＝ ２ ／ ３ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ２ （２）） ＝ ２ ／ ３ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ２ （３）） ＝ ２ ／ ３ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ２ （４）） ＝ ２ ／ ５ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ２ （５）） ＝ ２ ／ ５ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ２ （６）） ＝ ２ ／ ５ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ２ （７）） ＝ １ ／ ３ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ２ （８）） ＝ １ ／ ３ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ２ （９）） ＝ １ ／ ３ 若设 α ＝ ２ ／ ３， β ＝ １ ／ ２ 则有 Ｍ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ ２ ３ （Ｘ） ＝ ｛１，２｝ Ｍ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ １ ２ （Ｘ） ＝ ｛１，２，５，８｝ Ｏ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ ２ ３ （Ｘ） ＝ ｛１，２，３，４，７，８｝ Ｏ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ １ ２ （Ｘ） ＝ ｛１，２，３，４，７，８｝ Ｐ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ ２ ３ （Ｘ） ＝ ｛１，２｝ ， Ｐ∑２ ｉ ＝ １ Ｃｉ １ ２ （Ｘ） ＝ ｛１，２｝ 下面讨论 ３ 种模型的一些基本性质。 定理 １ 设 􀎮Ｕ，Ｃ􀎯 是一个覆盖近似空间，其中 Ｃ 是 Ｕ 的覆盖的集合。 对给定 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ ∈ Ｃ ， ０ ≤β ＜ α ≤ １ 及任意的 Ｘ ⊆ Ｕ ， 则有 １） Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（⌀） ＝ ⌀ ， Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （⌀） ＝ ⌀ ； Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｕ） ＝ Ｕ ， Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｕ） ＝ Ｕ Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ⊆ Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） ２） Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（⌀） ＝ ⌀ ， Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （⌀） ＝ ⌀ ； Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｕ） ＝ Ｕ Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｕ） ＝ Ｕ Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ⊆ Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） ３） Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（⌀） ＝ ⌀ ， Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （⌀） ＝ ⌀ ； Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｕ） ＝ Ｕ Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｕ） ＝ Ｕ Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ⊆ Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） 定理 ２ 设 􀎮Ｕ，Ｃ􀎯 是一个覆盖近似空间，其中 Ｃ 是 Ｕ 的覆盖的集合。 对给定 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ ∈ Ｃ ， ０ ≤β ＜ α ≤ １ 及任意的 Ｘ ⊆ Ｕ ， 则有 １）当 α ＝ １ 时，有 Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ＝ Ｆ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ （Ｘ） Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ＝ Ｓ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ （Ｘ） ２）当 β ＝ ０ 时，有 Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） ＝ Ｓ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ （Ｘ） Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） ＝ Ｆ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ （Ｘ） 证明 限于篇幅证明略。 定理 ３ 给定覆盖近似空间 􀎮Ｕ，Ｃ􀎯 ， 如果 Ｃ１ ， Ｃ２ ，…，Ｃｎ ∈ Ｃ ，且 Ｃ１ ＝ ｛Ｃ１１ ，Ｃ１２ ，…，Ｃ１ｐ｝ ， Ｃ２ ＝ ｛Ｃ２１ ，Ｃ２２ ，…，Ｃ２ｑ｝ ，… ， Ｃｎ ＝ ｛Ｃｎ１ ，Ｃｎ２ ，…，Ｃｎｒ｝ 其中 ｐ ， ｑ ，…， ｒ 均为自然数。 则对任意 Ｃｉ，ｊ ∈ ｛Ｃ１１ ，Ｃ１２ ， …，Ｃ１ｐ，Ｃ２１ ，Ｃ２２ ，…，Ｃ２ｑ，…，Ｃｎ１ ，Ｃｎ２ ，…，Ｃｎｒ｝ ， ｉ，ｊ 为自 然数，对给定 ０ ≤ β ＜ α ≤ １， 下列等式不一定成立。 １） Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｃｉ，ｊ） ＝ Ｃｉ，ｊ ， Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｃｉ，ｊ） ＝ Ｃｉ，ｊ； ２） Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｃｉ，ｊ） ＝ Ｃｉ，ｊ ， Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｃｉ，ｊ） ＝ Ｃｉ，ｊ； ３） Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｃｉ，ｊ） ＝ Ｃｉ，ｊ ， Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｃｉ，ｊ） ＝ Ｃｉ，ｊ。 ·５３６· 智 能 系 统 学 报 第 １１ 卷