第4期 刘财辉，等：元素最小描述并集下的多粒度覆盖粗糙集模型 ·535· 研究了覆盖近似空间下的多粒度粗糙集模型等。 SΣ.，6(X)={x∈Ul(Umd,(x)nX≠⑦or 1经典多粒度粗糙集的基本概念 (Umdc,(x))nX≠g or…(Umdc(x))nX≠☑} 定义1)给定覆盖近似空间〈U,C),U是 论域，C是U的一个覆盖。对任意的x∈U,称 2基于最小描述并集的多粒度覆盖粗 md(x)={K∈Clx∈KA(HSeC∧x∈S 糙集及性质 x∈S A S C K→K=S)}为x的最小描述。 定义2[山设U是论域，集函数P:2”→[0， 本节利用元素最小描述并集，给出了3种多粒 1]称为概率测度，若：1)P(U)=1:2)若A∩B= 度覆盖粗糙集，对模型的性质进行了深入分析和研 O,有P(AUB)=P(A)+P(B)。若P是U上的概 究，并探讨了3种模型在α、B变化条件下的演化。 率测度，则称P(MB)=P(AB)为事件B发生的 定义7设〈U,C)是一个覆盖近似空间，其中 P(B) C是U的覆盖的集合。对给定的C1,C2,…,C。∈C 情况下事件A发生的条件概率。 和0≤B<a≤1，X二U在C1,C2,…,Cn描述下的 本文约定，ACU的概率定义为P(A)= A 平均多粒度覆盖粗糙下近似和上近似定义为 U· MΣsa(X)={x∈Ul(P(X|Umde(x)）+ 其中·|表示集合的元素个数。 定义3[山给定K=(U,R),其中R是等价关 P(Umdc,.(x))+…+P(X|Umdc(x))/n≥a 系簇。对任意给定的P,Q∈R和XCU,则X关于 MΣ(X)=U-{x∈Ul(P(X|Umdc,(x)+ P和Q的乐观多粒度下近似和上近似定义如下： P(X|Umdc(x))+…+P(X|Umde(x))/n≤B吲 P+Q0(X)=IxE UI[x]pXor [x]o 若MΣ.6(X)≠MΣ6(X),则称X是C,C2 X}P+Q°(X)=~P+Q(~X) …,C。描述下的平均多粒度覆盖粗糙集，否则称X 式中~X表示X在U上的补集。 是可定义集。 定义4[1给定K=(U,R),其中R是U上等 定义8设〈U,C)是一个覆盖近似空间，其中 价关系簇。对任意给定的P,Q∈R和XCU,则X C是U的覆盖的集合。对给定C1,C2,…,Cn∈C和 关于P和Q的悲观多粒度下近似和上近似定义为 0≤B<a≤1，概念XCU在C1,C2,…,Cn描述下 P+Qp(X)=xUI[x]pX and [x]oX 的乐观多粒度覆盖粗糙下近似和上近似定义为 P+Q(X)=~P+Q(~X) 0Σi.sa(X)=ix e UIP(X|Umdc,(x)≥a 为了后续工作的方便，先给出以下2个定义。 or…orP(X|Umdc.(x))≥af 定义5设〈U,C)是一个覆盖近似空间，其中 C是U的覆盖的集合。对给定的C1,C2,…,C。∈ 0E.a(X)=U-{x∈UP(IUmd,(x)≤B and…andP(XUmdc..(x)≤B} C,则概念XCU在C1,C2,…,Cn描述下的乐观多 粒度覆盖粗糙下近似和上近似定义为 若0Σ.Sa(X)≠0Σ.6(X),则称X是C, FΣ，s(X)={x∈UUmde,(x)CXor C2,…,C.描述下的乐观多粒度覆盖粗糙集，否则称 Umdc(x)CX or ...U mdc.(x) X是可定义集。 Fic(X)={x∈U(Umdc(x)）nX≠and 定义9设〈U,C)>是一个覆盖近似空间，其中 C是U的覆盖的集合。对给定C1,C2,…,Cn∈C和 (Umdc,(x))nX≠☑and… 0≤B<a≤1，概念XCU在C1,C2,…,Cn描述下 (Umdc(x))nX≠g} 的悲观多粒度覆盖粗糙下近似和上近似定义为 定义6设〈U,C>是一个覆盖近似空间，其中 Pi.sa(X)={x∈UlP(X|Umde,(x)≥aand C是U的覆盖的集合。对给定的C1,C2,…,Cn∈ …andP(XU mdc.(x))≥a} C,则概念XSU在C,C2,…,Cn描述下的悲观多 粒度覆盖粗糙下近似和上近似定义为 PEG(X)=U-{x∈U1P(xIU SΣc(X)={x∈UlU mde(x)Xand mdc(x))≤Bor…orP(XIU mdc.(x))≤B Umdc.(x)CX and...Umde.(x)X 若PE.G(X)≠PΣ.6(X),则称X是C,研究了覆盖近似空间下的多粒度粗糙集模型等。 １ 经典多粒度粗糙集的基本概念 定义 １ ［１２］ 给定覆盖近似空间 􀎮Ｕ，Ｃ􀎯 ， Ｕ 是 论域， Ｃ 是 Ｕ 的一个覆盖。 对任意的 ｘ ∈ Ｕ ，称 ｍｄ（ｘ） ＝ ｛Ｋ ∈ Ｃ ｘ ∈ Ｋ ∧ （∀Ｓ ∈ Ｃ ∧ ｘ ∈ Ｓ ∧ ｘ ∈Ｓ ∧ Ｓ ⊆ Ｋ⇒Ｋ ＝ Ｓ）｝ 为 ｘ 的最小描述。 定义 ２ ［１１］ 设 Ｕ 是论域，集函数 Ｐ：２ Ｕ → ［０， １］ 称为概率测度，若：１） Ｐ（Ｕ） ＝ １；２）若 Ａ ∩ Ｂ ＝ ⌀，有 Ｐ（Ａ ∪ Ｂ） ＝ Ｐ（Ａ） ＋ Ｐ（Ｂ）。 若 Ｐ 是 Ｕ 上的概 率测度，则称 Ｐ（Ａ Ｂ） ＝ Ｐ（Ａ ∩ Ｂ） Ｐ（Ｂ） 为事件 Ｂ 发生的 情况下事件 Ａ 发生的条件概率。 本文约定， Ａ ⊆ Ｕ 的概率定义为 Ｐ（Ａ） ＝ Ａ Ｕ ， 其中 · 表示集合的元素个数。 定义 ３ ［１］ 给定 Ｋ ＝ （Ｕ，Ｒ） ，其中 Ｒ 是等价关 系簇。 对任意给定的 Ｐ，Ｑ ∈ Ｒ 和 Ｘ ⊆ Ｕ ， 则 Ｘ 关于 Ｐ 和 Ｑ 的乐观多粒度下近似和上近似定义如下： Ｐ ＋ ＱＯ（Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ ［ｘ］ Ｐ ⊆ Ｘｏｒ ［ｘ］ Ｑ ⊆ Ｘ｝ Ｐ ＋ Ｑ Ｏ （Ｘ） ＝ ～ Ｐ ＋ ＱＯ（ ～ Ｘ） 式中 ～ Ｘ 表示 Ｘ 在 Ｕ 上的补集。 定义 ４ ［１］ 给定 Ｋ ＝ （Ｕ，Ｒ） ，其中 Ｒ 是 Ｕ 上等 价关系簇。 对任意给定的 Ｐ，Ｑ ∈ Ｒ 和 Ｘ ⊆ Ｕ ， 则 Ｘ 关于 Ｐ 和 Ｑ 的悲观多粒度下近似和上近似定义为 Ｐ ＋ ＱＰ（Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ ［ｘ］ Ｐ ⊆ Ｘ ａｎｄ ［ｘ］ Ｑ ⊆ Ｘ｝ Ｐ ＋ Ｑ Ｐ （Ｘ） ＝ ～ Ｐ ＋ ＱＰ（ ～ Ｘ） 为了后续工作的方便，先给出以下 ２ 个定义。 定义 ５ 设 􀎮Ｕ，Ｃ􀎯 是一个覆盖近似空间，其中 Ｃ 是 Ｕ 的覆盖的集合。 对给定的 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ ∈ Ｃ ， 则概念 Ｘ ⊆ Ｕ 在 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ 描述下的乐观多 粒度覆盖粗糙下近似和上近似定义为 Ｆ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ （Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ ∪ ｍｄＣ１ （ｘ） ⊆ Ｘ ｏｒ ∪ ｍｄＣ２ （ｘ） ⊆ Ｘ ｏｒ … ∪ ｍｄＣｎ （ｘ） ⊆ Ｘ｝ Ｆ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ （Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ （∪ ｍｄＣ１ （ｘ）） ∩ Ｘ ≠ ⌀ ａｎｄ （∪ ｍｄＣ２ （ｘ）） ∩ Ｘ ≠ ⌀ ａｎｄ… （∪ ｍｄＣｎ （ｘ）） ∩ Ｘ ≠ ⌀｝ 定义 ６ 设 􀎮Ｕ，Ｃ􀎯 是一个覆盖近似空间，其中 Ｃ 是 Ｕ 的覆盖的集合。 对给定的 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ ∈ Ｃ ， 则概念 Ｘ ⊆ Ｕ 在 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ 描述下的悲观多 粒度覆盖粗糙下近似和上近似定义为 Ｓ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ （Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ ∪ ｍｄＣ１ （ｘ） ⊆ Ｘ ａｎｄ ∪ ｍｄＣ２ （ｘ） ⊆ Ｘ ａｎｄ… ∪ ｍｄＣｎ （ｘ） ⊆ Ｘ｝ Ｓ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ （Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ （∪ ｍｄＣ１ （ｘ）） ∩ Ｘ ≠ ⌀ ｏｒ （∪ ｍｄＣ２ （ｘ）） ∩ Ｘ ≠ ⌀ ｏｒ…（∪ ｍｄＣｎ （ｘ）） ∩ Ｘ ≠ ⌀｝ ２ 基于最小描述并集的多粒度覆盖粗 糙集及性质 本节利用元素最小描述并集，给出了 ３ 种多粒 度覆盖粗糙集，对模型的性质进行了深入分析和研 究，并探讨了 ３ 种模型在 α 、 β 变化条件下的演化。 定义 ７ 设 􀎮Ｕ，Ｃ􀎯 是一个覆盖近似空间，其中 Ｃ 是 Ｕ 的覆盖的集合。 对给定的 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ ∈ Ｃ 和 ０ ≤ β ＜ α ≤ １， Ｘ ⊆ Ｕ 在 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ 描述下的 平均多粒度覆盖粗糙下近似和上近似定义为 Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ （Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （ｘ）） ＋ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ２ （ｘ）） ＋ … ＋ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣｎ （ｘ））） ／ ｎ ≥ α｝ Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） ＝ Ｕ － ｛ｘ ∈ Ｕ （Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （ｘ）） ＋ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ２ （ｘ）） ＋ … ＋ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣｎ （ｘ））） ／ ｎ ≤ β｝ 若 Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ≠ Ｍ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） ， 则称 Ｘ 是 Ｃ１ ，Ｃ２ ， …，Ｃｎ 描述下的平均多粒度覆盖粗糙集，否则称 Ｘ 是可定义集。 定义 ８ 设 􀎮Ｕ，Ｃ􀎯 是一个覆盖近似空间，其中 Ｃ 是 Ｕ 的覆盖的集合。 对给定 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ ∈ Ｃ 和 ０ ≤β ＜ α ≤ １，概念 Ｘ ⊆ Ｕ 在 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ 描述下 的乐观多粒度覆盖粗糙下近似和上近似定义为 Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （ｘ）） ≥ α ｏｒ …ｏｒ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣｎ （ｘ）） ≥ α｝ Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） ＝ Ｕ － ｛ｘ ∈ Ｕ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （ｘ）） ≤ β ａｎｄ…ａｎｄＰ（Ｘ ∪ ｍｄＣｎ （ｘ）） ≤ β｝ 若 Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ≠ Ｏ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） ，则称 Ｘ 是 Ｃ１ ， Ｃ２ ，…，Ｃｎ 描述下的乐观多粒度覆盖粗糙集，否则称 Ｘ 是可定义集。 定义 ９ 设 􀎮Ｕ，Ｃ􀎯 是一个覆盖近似空间，其中 Ｃ 是 Ｕ 的覆盖的集合。 对给定 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ ∈ Ｃ 和 ０ ≤β ＜ α ≤ １，概念 Ｘ ⊆ Ｕ 在 Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃｎ 描述下 的悲观多粒度覆盖粗糙下近似和上近似定义为 Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣ１ （ｘ）） ≥ α ａｎｄ … ａｎｄ Ｐ（Ｘ ∪ ｍｄＣｎ （ｘ）） ≥ α｝ Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） ＝ Ｕ － ｛ｘ ∈ Ｕ ｜ Ｐ（Ｘ ｜ ∪ ｍｄＣ１ （ｘ）） ≤β ｏｒ… ｏｒ Ｐ（Ｘ ｜ ∪ ｍｄＣｎ （ｘ）） ≤ β｝ 若 Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ α（Ｘ） ≠ Ｐ∑ｎ ｉ ＝ １ Ｃｉ β （Ｘ） ，则称 Ｘ 是 Ｃ１ ， 第 ４ 期 刘财辉，等：元素最小描述并集下的多粒度覆盖粗糙集模型 ·５３５·