高维微分学——相关分析结论 复旦力学谢锡麟 2016年3月15日 知识要素 11多元函数可微性的一个充分性条件 对于多元函数的可微性有如下充分性结论 af 定理1.1.Df(x)axr,,r 2(a)∈Rm,∈B(0)%且a()∈R在a 点连续(1≤i≤m),则∫(x)∈R在co点可微 证明按可微性定义,需估计 If(a+h)-f(a)-Dfo(a)hl=f(a+h)-f(a af anr(a)hb+…+an()h 就此,考虑 f(a+h)-f(a)=f(a+hi1+.+hmim)-f(a) f(a+hi nim)-f(a+hi2+.+him) +f(x+h2i2+…+ h'ni)-f(x+h3i3+…+hmin)+ +f(x+hi2+…+h"in)-f(x+h+i+1+…+hm"in)+ +f(a+h im)-f(a 由此需考虑 f(x+hi2+…+h"in)-f(x+h+l+1+…+him) f(a+thii+h*ii+1+.+h"im) d2(t):阳0,11t→→o1(t)全f(x+thi1+h+i+1+…+hin)∈R 考虑 (t+△t)-(t) f(a+thii+hi+ii+1 hmim+△th2i1)-f(x+th2i2+h+i+1+…+hmim) f(x+th2i+h+1i+1+…+hmim+△th2i)-f(x +th;+hi+1i1+1+…+h2m).h △th2 (a th'ii th微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学——相关分析结论 复旦力学 谢锡麟 2016 年 3 月 15 日 1 知识要素 1.1 多元函数可微性的一个充分性条件 对于多元函数的可微性有如下充分性结论 定理 1.1. ∃Df(x) , [ ∂f ∂x1 , · · · , ∂f ∂xm ](x) ∈ R 1×m, ∀x ∈ Bλ(x0) ⊂ Dx 且 ∂f ∂xi (x) ∈ R 在 x0 点连续 (1 6 i 6 m), 则 f(x) ∈ R 在 x0 点可微. 证明 按可微性定义, 需估计 |f(x + h) − f(x) − Dfα (x)h| =     f(x + h) − f(x) − ( ∂f ∂x1 (x)h 1 + · · · + ∂f ∂xm (x)h m )    . 就此, 考虑 f(x + h) − f(x) = f ( x + h 1 i1 + · · · + h mim ) − f(x) = f(x + h 1 i1 + · · · + h mim) − f(x + h 2 i2 + · · · + h mim) + f(x + h 2 i2 + · · · + h mim) − f(x + h 3 i3 + · · · + h mim) + · · · + f(x + h i ii + · · · + h mim) − f(x + h i+1ii+1 + · · · + h mim) + · · · + f(x + h mim) − f(x), 由此需考虑 f ( x + h i ii + · · · + h mim ) − f ( x + h i+1ii+1 + · · · + h mim ) = f(x + thi ii + h i+1ii+1 + · · · + h mim)   1 t=0 . 令 ϕi(t) : [0, 1] ∋ t 7−→ ϕi(t) , f(x + thi ii + h i+1ii+1 + · · · + h mim) ∈ R 考虑 ϕi(t + △t) − ϕi(t) △t = f(x + thi ii + h i+1ii+1 + · · · + h mim + △thi ii) − f(x + thi ii + h i+1ii+1 + · · · + h mim) △t = f(x + thi ii + h i+1ii+1 + · · · + h mim + △thi ii) − f(x + thi ii + h i+1ii+1 + · · · + h mim) △thi · h i → ∂f ∂xi (x + thi ii + h i+1ii+1 + · · · + h mim) · h i as △t → 0, 1