高维微分学—相关分析结论 谢锡麟 上述最后极限存在可基于3a(x)∈R,vm∈B(mo) 按上所述,如有彐1(t)∈R,t∈[0,1,故由 Lagrange中值定理有 f(x+th2i1+h2+i+1+…+him)=0=o(t)=0=(O) af (a +ihi im)h,b;∈(0,1) 由此,有 f(o+h)-f(ao)=r(o +0,h'i1+.+hmim)hl (x0+2h2i2+…+hmin)h2+ af (Eco +0ih'ii+ oh of im)h ∈(0,1),ⅵi=1,…,m 进一步,有 If(o+h)-f(ao)-Df(ao)hl af ≤a(a0+61hin+…+h"im) /Ox(ao+0, hii+.+h"im) asio) 0am(=zo+emh"im)-Ozi (zol) Ih"ml 考虑到 z(m)=a(m0)∈R 彐.lim(xo+b2h2iz+…+h"in h→0∈Rm 按复合向量值映照极限定理,有 mmn(x0+6hx+…+b"m)=ar(o)∈R 综上,可有 ∫(xo+h)=f(xo)+Df(co)h+o(h)∈R. 对于向量值映照∫(x):Rm%x3x→∫(x)∈R”在ao∈intx点可微等价于因变量 的所有分量f(x):Rm2%x3x+f(x)∈R在x0点可微微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 相关分析结论 谢锡麟 上述最后极限存在可基于 ∃ ∂f ∂xi (x) ∈ R, ∀x ∈ Bλ(x0). 按上所述, 如有 ∃ · ϕi (t) ∈ R, ∀ t ∈ [0, 1], 故由 Lagrange 中值定理有 f(x + thi ii + h i+1ii+1 + · · · + h mim )| 1 t=0 = ϕi(t)| 1 t=0 = · ϕi (θi) = ∂f ∂xi (x + θih i ii + h i+1ii+1 + · · · + h mim)h i , θi ∈ (0, 1). 由此, 有 f(x0 + h) − f(x0) = ∂f ∂x1 (x0 + θ1h 1 i1 + · · · + h mim)h 1 + ∂f ∂x2 (x0 + θ2h 2 i2 + · · · + h mim)h 2 + · · · + ∂f ∂xi (x0 + θih i ii + · · · + h mim)h i + · · · + ∂f ∂xm (x0 + θmh mim)h m, θi ∈ (0, 1), ∀i = 1, · · · , m. 进一步, 有 |f(x0 + h) − f(x0) − Df(x0)h| 6     ∂f ∂x1 (x0 + θ1h 1 i1 + · · · + h mim) − ∂f ∂x1 (x0)     · |h 1 | + · · · +     ∂f ∂xi (x0 + θih i ii + · · · + h mim) − ∂f ∂xi (x0)     · |h i | + · · · +     ∂f ∂xm (x0 + θmh mim) − ∂f ∂xi (x0)     · |h m|. 考虑到    ∃ lim x→x0∈Rm ∂f ∂xi (x) = ∂f ∂xi (x0) ∈ R ∃ lim h→0∈Rm (x0 + θih i ii + · · · + h mim) = x0 ∈ R m , 按复合向量值映照极限定理, 有 ∃ lim h→0∈Rm ∂f ∂xi (x0 + θih i ii + · · · + h mim) = ∂f ∂xi (x0) ∈ R. 综上, 可有 f(x0 + h) = f(x0) + Df(x0)h + o(h) ∈ R. 对于向量值映照 f(x) : R m ⊃ Dx ∋ x 7→ f(x) ∈ R n 在 x0 ∈ intDx 点可微等价于因变量 的所有分量 f α(x) : R m ⊃ Dx ∋ x 7→ f α(x) ∈ R 在 x0 点可微. 2