高维微分学—相关分析结论 谢锡麟 1.2多元函数偏导数可以交换次序的一个充分性条件 定理12(混合偏导数可交换次序定理) 3a25),bmbs(ar)∈R,v∈BA(0) 且两者均在xo点连续,则有 a2f )∈R. 证明作函数 A(, 4): =f(ao+Aii +uii)-f(ao+ Aii)-f(ao +uii)+ f(ao) 引入 o(t): [0,1]+f(ao+t) )-f(ao +tAii) 则有 (A,p)=(1)-(0)=:d(t)b 考虑到 o(t+△t)-(t) =fx0+1+p+1)-f(a0+1+)2x-f(x0+1x+p)二f(0+Ax (o+tAii tHii)-o(o+tAi △t→0 则有 (,)=()h=6(0)=(x0+0)x+) ar2 再引入 (t):0,13t+v(t af 0Ai+tpi)∈R 可有 △(x,A)=x(t)b=Aahn(x0+A+b1)0,0∈(0,1) 综上,有 △(A,p)a2f Au xiaxi (xo+0Ai;+uii), 考虑到 a- 8- lim(=o +aIi+Opi) 按复合向量值映照的极限定理,有 彐lim △(A.,p) (A,p)→0∈R2 2megh(x0+0)x+1)=ab=(0)微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 相关分析结论 谢锡麟 1.2 多元函数偏导数可以交换次序的一个充分性条件 定理 1.2 (混合偏导数可交换次序定理). ∃ ∂ 2f ∂xj∂xi (x), ∂ 2f ∂xi∂xj (x) ∈ R, ∀x ∈ Bλ(x0) 且两者均在 x0 点连续, 则有 ∂ 2f ∂xj∂xi (x0) = ∂ 2f ∂xi∂xj (x0) ∈ R. 证明 作函数 △(λ, µ) := f(x0 + λii + µij ) − f(x0 + λii) − f(x0 + µij ) + f(x0). 引入 ϕe(t) : [0, 1] ∋ t 7→ f(x0 + tλii + µij ) − f(x0 + tλii) ∈ R, 则有 △(λ, µ) = ϕe(1) − ϕe(0) =: ϕe(t)| 1 0 . 考虑到 ϕe(t + △t) − ϕe(t) △t = f(x0 + tλii + µij + △tλii) − f(x0 + tλii + µij ) △tλ λ − f(x0 + tλii + µii) − f(x0 + tλii) △tλ λ → [ ∂f ∂xi (x0 + tλii + µij ) − ∂f ∂xi (x0 + tλii) ] · λ =: ˙ ϕe(t), as △t 7→ 0 则有 △(λ, µ) = ϕe(t)| 1 0 = ˙ ϕe(θ) = [ ∂f ∂xi (x0 + θλii + µij ) − ∂f ∂xi (x0 + θλii) ] λ. 再引入 ψe(t) : [0, 1] ∋ t 7→ ψe(t) = ∂f ∂xi (x0 + θλii + tµij ) ∈ R, 可有 △(λ, µ) = λ · ψe(t)| 1 0 = λµ ∂ 2f ∂xj∂xi (x0 + θλii + θµe ij ) θ, θe∈ (0, 1). 综上, 有 △(λ, µ) λµ = ∂ 2f ∂xj∂xi (x0 + θλii + θµe ij ), 考虑到    ∃ lim x→x0∈Rm ∂ 2f ∂xj∂xi (x) = ∂ 2f ∂xj∂xi (x0) ∃ lim (λ, µ)→0∈R2 (x0 + θλii + θµe ij ) = x0 ∈ R m , 按复合向量值映照的极限定理, 有 ∃ lim (λ, µ)→0∈R2 △(λ, µ) λµ = lim (λ, µ)→0∈R2 ∂ 2f ∂xj∂xi (x0 + θλii + θµe ij ) = ∂ 2f ∂xj∂xi (x0). 3