高维微分学—相关分析结论 谢锡麟 类似于上述分析,引入 o(t): [0, 1]tHo(t)=f(o+Aii+tui; )-f(ao+tuii), 可有 △(X,p)=o(1b=o()[0f af ax] (xo+Ai2+612)-ax (xo+61t) 再引入 c0):1→B(m+1+)∈R 可有 △(x)=0(b=p()=1、25(0+21+1ni) ax axs 综上,有 △(入,185A2+2A+61) 入 ax ax 考虑到 x→x0∈RmOx2Oxr a-f(ao) F. lim (o +B2Aii + B1uij)=oE R 按复合向量值映照的极限定理,有 (xp)0∈2(A)0∈R2Onn(a0+2Ai2+1)≈、0 彐lim △(A,p) 02f 2应用事例 3建立路径 主要的分析思想表现为将多元函数f(x):Rm>%x3→f(x)∈R限制在直线段 a,b:={a+t(b-a)|tc0,1}上,就此可以引入一元函数 o(t):0,13t→f(a+t(b-a)∈R 如果∫(x)在{a,b]上连续,且在直线段内部存在关于b-a的方向导数,则对o(t)在[0,1上可 利用 Lagrange中值定理 f(b)-fa)=0()-0)=d(0)=0fa+0.(b-a)b-alam,bc(0,) 式中 am2·上述分析可隶属数学通识微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 相关分析结论 谢锡麟 类似于上述分析, 引入 ϕb(t) : [0, 1] ∋ t 7→ ϕb(t) , f(x0 + λii + tµij ) − f(x0 + tµij ), 可有 △(λ, µ) = ϕb(t)| 1 0 = ˙ ϕb(θ1) = [ ∂f ∂xj (x0 + λii + θ1µij ) − ∂f ∂xj (x0 + θ1µij ) ] µ. 再引入 ψb(t) : [0, 1] ∋ t 7→ ψb(t) , ∂f ∂xj (x0 + tλii + θ1µij ) ∈ R, 可有 △(λ, µ) = µψb(t) 1 0 = µ ˙ ψb(θ2) = λµ ∂ 2f ∂xi∂xj (x0 + θ2λii + θ1µij ). 综上, 有 △(λ, µ) λµ = ∂ 2f ∂xi∂xj (x0 + θ2λii + θ1µij ), 考虑到    ∃ lim x→x0∈Rm ∂ 2f ∂xi∂xj (x) = ∂ 2f ∂xi∂xj (x0) ∃ lim (λ, µ)→0∈R2 (x0 + θ2λii + θ1µij ) = x0 ∈ R m , 按复合向量值映照的极限定理, 有 ∃ lim (λ, µ)→0∈R2 △(λ, µ) λµ = lim (λ, µ)→0∈R2 ∂ 2f ∂xi∂xj (x0 + θ2λii + θ1µij ) = ∂ 2f ∂xi∂xj (x0). 2 应用事例 3 建立路径 主要的分析思想表现为将多元函数 f(x) : R m ⊃ Dx ∋ x 7→ f(x) ∈ R 限制在直线段 [a, b] := {a + t(b − a)|t ⊂ [0, 1]} 上, 就此可以引入一元函数 ϕ(t) : [0, 1] ∋ t 7→ f(a + t(b − a)) ∈ R. 如果 f(x) 在 [a, b] 上连续, 且在直线段内部存在关于 b − a 的方向导数, 则对 ϕ(t) 在 [0, 1] 上可 利用 Lagrange 中值定理 f(b) − f(a) = ϕ(1) − ϕ(0) = ϕ˙(θ) = ∂f ∂e (a + θ · (b − a))|b − a|Rm, θ ⊂ (0, 1), 式中 e := b − a |b − a|Rm . 上述分析可隶属数学通识. 4