d 极坐标系中的计算法 如果二重积分的被积函数和积分区域(G)的边界方程均由极坐标的形式给出,那末我们如何计算 呢?下面我们给出极坐标系中二重积分的计算公式 如果极点O在(o)的外部,区域(用不等式表示为R1(p≤R()≤s多,则积分公式如下 f /(0, B)pdadB=rIg (a, b) adade 如果极点O在(G)的内部,区域()的边界方程为p=R(O,0≤02x,则积分公式如下 ∫f( f(,的pip 如果极点O在(o)的边界上边界方程为p=R()1ss2,则积分公式如下 [s(o, adade=pf f(o, D)adode (a) 有了上面这些公式,一些在直角坐标系中不易积出而在极坐标系中易积出的函数,我们就可以 把它转化为在极坐标系中的积分即可,反之依然 注:直角坐标与极坐标的转换公式为 x= Pcosb,y=psin日 r=』(x2+y2)da 例题:求 ,其中(o是圆环a2sx2+y2sb2 解答:由于积分域由同心圆围成以及被积函数的形式,显然,这个二重积分化为极坐标计算比 较方便。 x=pcosB, y=p B ,do=pdpd代入,即可转化为极坐标系的积分形式。如下 ( o 在对其进行累次积分计算 d日 三重积分及其计算法 二重积分的被积函数是一个二元函数,它的积分域是一平面区域如果考虑三元函数f(x,yz)在 空间区域(V)上的积分,就可得到三重积分的概念。 三重积分的概念 设函数u=f(xy,z)在空间有界闭区域(V)任意划分成n个子域(△V)(△V2)(△V3),,(△Va)它们 的体积分别记作△V(k=1,2,,n)在每一个子域上任取一点5k,mk”5k,并作和数极坐标系中的计算法 如果二重积分的被积函数和积分区域(σ)的边界方程均由极坐标的形式给出,那末我们如何计算 呢?下面我们给出极坐标系中二重积分的计算公式. 如果极点 O 在(σ)的外部,区域(σ)用不等式表示为 R1(θ)≤ρ≤R2(θ),α≤θ≤β,则积分公式如下: 如果极点 O 在(σ)的内部,区域(σ)的边界方程为 ρ=R(θ),0≤θ≤2π,则积分公式如下: 如果极点 O 在(σ)的边界上,边界方程为 ρ=R (θ),θ1≤θ≤θ2,则积分公式如下: 有了上面这些公式，一些在直角坐标系中不易积出而在极坐标系中易积出的函数，我们就可以 把它转化为在极坐标系中的积分即可，反之依然。 注：直角坐标与极坐标的转换公式为： 例题：求 ，其中(σ)是圆环 a 2≤x2+y2≤b2 解答：由于积分域由同心圆围成以及被积函数的形式，显然，这个二重积分化为极坐标计算比 较方便。 把 ，dσ=ρdρdθ 代入，即可转化为极坐标系的积分形式。如下： 在对其进行累次积分计算： 三重积分及其计算法 二重积分的被积函数是一个二元函数，它的积分域是—平面区域.如果考虑三元函数 f(x,y,z)在一 空间区域(V)上的积分，就可得到三重积分的概念。 三重积分的概念 设函数 u=f(x,y,z)在空间有界闭区域(V)任意划分成 n 个子域(△V1),(△V2),(△V3),…,(△Vn),它们 的体积分别记作△Vk(k=1,2,…,n).在每一个子域上任取一点 ，并作和数