故，函数在点x=1处取得极大值号，在点x=2处取得极小值) 3 4.己知f(x)=anx+bx2+x在x=1与x=2处有极值，试求常数a,b. f'(1)=a+2b+1=0, 解由于在x=1与x=2处有极值，并且可导，则 f0=9+4b+1=0, 解方程组得 2 2 5.试问a取何值时，函数f(x)=asinx+ S血3x在x=了处取得极值，它是极大值还是极 3 小值？并求此极值。 解由于f)=cos+-c0s3x,又函数在x=号处取得极，值所以了孕-号-1=0.得 a=2.此时f"()=-5<0,所以f(马)=√3为极大值 6.用面积为A的一块铁皮做成一个有盖圆柱形油桶，问油桶的直径是多少时，油桶的容积最 大？这时油桶的高是多少？ A 解设油桶底面半径为r,高h.则表面积A=2πr2+2πh,故h= 一P,油桶的体积为 2πr r)=nh=)r-r3v>0). 求导，并令V')=1-32=0,得到唯一驻点r= A 由实际问题可以确定，当r= 6元 N6 A 即油桶的直径为2， 时容积最大，此时油桶的高h= 6π 6π 7.要制作一个下部为矩形，上部为半圆形的窗户，半圆的直径等于矩形的宽，要求窗户的周 长为1，问矩形的宽和高各为多少时，窗户的面积最大？ 解设矩形的宽为x,高为h.则窗户的周长1=2h+x+x故h=-x-交y),窗户的 1 2 2 2 面积 50=h+-专4--4x>0-】 令S"()=21-元x-4)=0,得到唯一驻点x=2 44·此处S”=-二（π+4）<0，面积S取有 4 最大值.故矩形的宽为21， 十4，高为1。时，窗户的面积最大 π+4 8.在抛物线y=x2上找一点，使它到直线2x-y-4=0的距离最短. 解由于抛物线上点均在直线的上侧.则根据点到直线距离公式，抛物线上点(x,x)到直线的 1111 故，函数在点 x  1 处取得极大值 3 2 ，在点 x  2 处取得极小值 3 1 ． 4．已知 f x  a x  bx  x 2 ( ) ln 在 x  1 与 x  2 处有极值，试求常数 a ，b ． 解 由于在 x  1 与 x  2 处有极值，并且可导，则 (1) 2 1 0, (1) 4 1 0, 2 f a b a f b                解方程组得 3 2 a   ， 6 1 b   ． 5．试问 a 取何值时，函数 f x a x sin 3x 3 1 ( )  sin  在 3  x  处取得极值，它是极大值还是极 小值？并求此极值． 解 由于 f x a x x ( ) cos cos3   ，又函数在 3  x  处取得极值，所以 ( ) 1 0 3 2 a f      ，得 a  2 ．此时 ( ) 3 0 3 f      ，所以 ) 3 3 (   f 为极大值． 6．用面积为 A 的一块铁皮做成一个有盖圆柱形油桶，问油桶的直径是多少时，油桶的容积最 大？这时油桶的高是多少？ 解 设油桶底面半径为 r ，高 h ．则表面积 2 A r rh   2 2   ，故 2 A h r r   ，油桶的体积为 2 3 ( ) 2 A V r r h r r      ( 0) r  ． 求导，并令 2 ( ) 3 0 2 A V r r      ，得到唯一驻点 6 A r   ．由实际问题可以确定，当 6 A r   ， 即油桶的直径为 2 6 A  时容积最大，此时油桶的高 2 6 h A   ． 7．要制作一个下部为矩形，上部为半圆形的窗户，半圆的直径等于矩形的宽，要求窗户的周 长为 l ，问矩形的宽和高各为多少时，窗户的面积最大？ 解 设矩形的宽为 x ，高为 h ．则窗户的周长 2 , 2 l h x x     故 1 ( ) 2 2 h l x x     ，窗户的 面积 2 2 2 1 ( ) ( ) (4 4 ) ( 0) 2 2 8 x S x xh lx x x x         ．］ 令 1 ( ) (2 4 ) 0 4 S x l x x       ，得到唯一驻点 2 4 l x    ．此处 1 ( 4) 0 4 S      ，面积 S 取得 最大值．故矩形的宽为 4 2   l ，高为 2 4 l   时，窗户的面积最大． 8． 在抛物线 2 y  x 上找一点，使它到直线 2 4 0 x y    的距离最短． 解 由于抛物线上点均在直线的上侧．则根据点到直线距离公式，抛物线上点 2 ( , ) x x 到直线的