北京航空航天大学毕业设计（论文） 第页 1绪论 在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一问题苦思冥 想而不得其解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功。用逆向思 维方法从问题的反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。它不仅 是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地。数 学是在归纳、发现、推广中发展的。反例在数学的发展中功不可没。反例不但在 数学的发展和证明中有同等重要的作用，而且，在学习、领会和深入钻研数学的 时候，也离不开反例。因为条件的强弱，使用范围的宽窄，都需要用反例作对比， 才能加深理解，如果命题有错误，证明有漏洞，也只有靠反例去证实，并从反例 中得到修补的启示。举反例是一种重要的反证手段。重要的反例往往会成为数学 殿堂的基石。学会构造反例是一种重要的数学技能，应该成为数学教学的基本训 练内容而渗透于教学过程之中。反例的重要性要想充分的发挥出来，关键还在于 具体的作出所需的反例。至于反例的作法，也如证明一样，因题而异，方式多变。 1.1课题背景及意义 数学分析是一门很重要的课程，在自然课程中占有绝对基础地位。数学分析 中存在大量的反例，用命题形式给出一个数学问题，要判断它是错误的，利用只 满足命题的条件但是结论不成立的例证，就足以否定这个命题。帮助人们深入地 理解有关数学对象性质之外，还赋予了推动数学科学发展，促进人的辩证思维方 式的形成等潜在的深刻涵义。 美国数学家B·R·盖尔鲍姆和J·M·H·奥姆斯特德指出：“数学由两大 类一一证明和反例组成。而数学发现也是朝着两个主要目标一一提出证明和 构造反例。从科学性来讲，反例就是推翻错误命题的有效手段。从教学上而 言，反例能够加深对正确结论的全面理解。”“一个数学问题用一个反例予 以解决给人的刺激犹如一出好的戏剧。”四充分利用反例是培养创造性思维的有 效途径。波利亚说，“类比和反例是发明的伟大源泉，通过类比，可以获得一系 列猜想，当猜想是谬误时，反例是最简捷的说明方法。”四18~19世纪有突出贡北京航空航天大学毕业设计(论文) 第 页 1 绪 论 在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一问题苦思冥 想而不得其解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功。用逆向思 维方法从问题的反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。它不仅 是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地。数 学是在归纳、发现、推广中发展的。反例在数学的发展中功不可没。反例不但在 数学的发展和证明中有同等重要的作用，而且，在学习、领会和深入钻研数学的 时候，也离不开反例。因为条件的强弱，使用范围的宽窄，都需要用反例作对比， 才能加深理解，如果命题有错误，证明有漏洞，也只有靠反例去证实，并从反例 中得到修补的启示。举反例是一种重要的反证手段。重要的反例往往会成为数学 殿堂的基石。学会构造反例是一种重要的数学技能，应该成为数学教学的基本训 练内容而渗透于教学过程之中。反例的重要性要想充分的发挥出来，关键还在于 具体的作出所需的反例。至于反例的作法，也如证明一样，因题而异，方式多变。 1.1 课题背景及意义 数学分析是一门很重要的课程，在自然课程中占有绝对基础地位。数学分析 中存在大量的反例，用命题形式给出一个数学问题，要判断它是错误的，利用只 满足命题的条件但是结论不成立的例证，就足以否定这个命题。帮助人们深入地 理解有关数学对象性质之外，还赋予了推动数学科学发展，促进人的辩证思维方 式的形成等潜在的深刻涵义。 美国数学家 B·R·盖尔鲍姆和 J·M·H·奥姆斯特德指出:“数学由两大 类——证明和反例组成。而数学发现也是朝着两个主要目标——提出证明和 构造反例。从科学性来讲，反例就是推翻错误命题的有效手段。从教学上而 言，反例能够加深对正确结论的全面理解。”“一个数学问题用一个反例予 以解决给人的刺激犹如一出好的戏剧。”[1]充分利用反例是培养创造性思维的有 效途径。波利亚说，“类比和反例是发明的伟大源泉，通过类比，可以获得一系 列猜想，当猜想是谬误时，反例是最简捷的说明方法。” [2]18～19 世纪有突出贡