Schrodinger方程 7.量子力学的表象 我们在上一节已经谈到,一个粒子的量子状态可以用波函数(F,1)来描写,而通过 Fourier变换 Φ(p,)=G,D n d3 (2mh)3 H(F,1)可以转换到Φ(p,1),反过来说,Φ(p,1)还可以再转换回(F,1): H(F,1)=Φ(p i.F/h 所以,我们应该说ΦO(p,1)和(r,1)包含同样多的信息,同样有“资格”描写粒子的状态。我们称用 H(F,)来描写粒子的状态是量子力学的“坐标表象”,而用Φ(p,1)描写粒子的状态是量子力学的“动 量表象”,或者称Φ(p,1)是动量表象中的“波函数” 刚才我们又谈到了非定态情况下的一般波函数为 H(,1)=∑cEvE(T)eE1, 它是定态(即能量本征态)的线性组合。在全体能量本征函数vg(F)e1被解出以后,表征系统的状 态的任务就是由那些系数cE来完成的。我们称这样做是采用了“能量表象”,而{cE}就是能量表象中的 波函数”,或者“态函数”,或者“态矢量”。 至于量子力学的更一般的表象的构成,我们会在以后做详细的介绍。 8.量子力学中的测量,波包坍缩 任何物理理论都只有在得到了实验的验证以后才能被认为是正确的。所以,理论必须回答这样的问 题:对于理论所预言的结果如何进行实验测量? 这个问题在经典物理中的回答几乎是不言自明的,而且经典物理中的测量具有两个特点:(1)测量 过程的动力学遵循与经典物理本身相同的规律;(2)测量过程对于测量对象状态的干扰可以忽略不计 但是量子力学中的测量具有完全不同的性质。 首先,量子力学的测量结果是几率性的。比如,我们要测量一个非定态的能量,为明确起见,把该 状态的波函数写为 H(F,1)=∑cnvn(F)e -iE/n 其中{En(n=1,2,3…)}是一系列分立的(离散的)能量值。那么,每一次测量能量所得的结果,都可 能是E1,E2,E32…中的任何一个,对此我们无法准确预言。我们能够预期的只是在进行了足够多次的 测量以后,测得能量值为E的几率是|c1P,测得能量值为E2的几率是|c2P,等等。所以,这个状态 根本没有唯一的能量值。这种情形在经典物理中当然是不会出现的。 其次,在进行测量以前,系统的状态是许许多多本征态的叠加,而进行一次测量只能给出其中的 个本征值,所以,测量的过程就是从那许许多多的本征态中随机地提取出一个来把它的本征值显示为仪 器读数的过程,换句话说,测量过程完成的时候,也就是系统的状态从线性组合态变成单一本征态的时 ∑cnne5l/-测量并读数→vel, 其中E;就是本次测量所得到的那个本征值。在量子力学里通常把前者称为“波包”(相对地,后者称为 “单色波”),而上述过程被称为“波包坍缩”( von neuman,1932年)。所以,量子测量的过程是波包 坍缩的过程 随之而来的问题是:既然测量(并且读出)必然导致波包坍缩,也就是说进行过测量之后的态已经 不再是原来的态,那么再对它进行测量已经没有任何意义了。我们必须另拿一个“同样的”波包来进行 另一次新的测量。而为了得到全部本征值的几率分布,这一次次重新开始的测量必须进行许许多多次 所以,在原则上说,为了完成一个量子测量,我们必须制备对象系统的给定状态的无穷多个全同副本 这些全同副本的集合称为一个“量子系综”( A. EJoxhHueB,1944年)。所以,量子测量是对量子系综的 测量 最后一个(也是最根本的一个)问题是:波包坍缩的实质是什么?换句话说,波包坍缩的动力学是5 Schrödinger 方程。 7. 量子力学的表象 我们在上一节已经谈到，一个粒子的量子状态可以用波函数 ( , ) r t 来描写，而通过 Fourier 变换 i / 3 3 1 ( , ) ( , ) e , (2 ) p r p t r t d r  −    =  ( , ) r t 可以转换到 ( , ) p t ，反过来说， ( , ) p t 还可以再转换回 ( , ) r t ： i / 3 3 1 ( , ) ( , ) e . (2 ) p r r t p t d p     =   所以，我们应该说 ( , ) p t 和 ( , ) r t 包含同样多的信息，同样有“资格”描写粒子的状态。我们称用 ( , ) r t 来描写粒子的状态是量子力学的“坐标表象”，而用 ( , ) p t 描写粒子的状态是量子力学的“动 量表象”，或者称 ( , ) p t 是动量表象中的“波函数”。 刚才我们又谈到了非定态情况下的一般波函数为 i / ( , ) ( )e , E t E E E r t c r  −  = 它是定态（即能量本征态）的线性组合。在全体能量本征函数 i / ( )e Et E  r − 被解出以后，表征系统的状 态的任务就是由那些系数 E c 来完成的。我们称这样做是采用了“能量表象”，而 { }E c 就是能量表象中的 “波函数”，或者“态函数”，或者“态矢量”。 至于量子力学的更一般的表象的构成，我们会在以后做详细的介绍。 8. 量子力学中的测量，波包坍缩 任何物理理论都只有在得到了实验的验证以后才能被认为是正确的。所以，理论必须回答这样的问 题：对于理论所预言的结果如何进行实验测量？ 这个问题在经典物理中的回答几乎是不言自明的，而且经典物理中的测量具有两个特点：（1）测量 过程的动力学遵循与经典物理本身相同的规律；（2）测量过程对于测量对象状态的干扰可以忽略不计。 但是量子力学中的测量具有完全不同的性质。 首先，量子力学的测量结果是几率性的。比如，我们要测量一个非定态的能量，为明确起见，把该 状态的波函数写为 i / ( , ) ( )e , E t n n n n r t c r  −  = 其中 { ( 1, 2, 3, )} E n n = 是一系列分立的（离散的）能量值。那么，每一次测量能量所得的结果，都可 能是 1 2 3 E E E , , , 中的任何一个，对此我们无法准确预言。我们能够预期的只是在进行了足够多次的 测量以后，测得能量值为 E1 的几率是 2 1 | | c ，测得能量值为 E2 的几率是 2 2 | | c ，等等。所以，这个状态 根本没有唯一的能量值。这种情形在经典物理中当然是不会出现的。 其次，在进行测量以前，系统的状态是许许多多本征态的叠加，而进行一次测量只能给出其中的一 个本征值，所以，测量的过程就是从那许许多多的本征态中随机地提取出一个来把它的本征值显示为仪 器读数的过程，换句话说，测量过程完成的时候，也就是系统的状态从线性组合态变成单一本征态的时 候，即 i / i / e e , E t E t n i n n i n c    − − ⎯⎯⎯⎯⎯→ 测量并读数 其中 Ei 就是本次测量所得到的那个本征值。在量子力学里通常把前者称为“波包”（相对地，后者称为 “单色波”），而上述过程被称为“波包坍缩”（von Neumann，1932 年）。所以，量子测量的过程是波包 坍缩的过程。 随之而来的问题是：既然测量（并且读出）必然导致波包坍缩，也就是说进行过测量之后的态已经 不再是原来的态，那么再对它进行测量已经没有任何意义了。我们必须另拿一个“同样的”波包来进行 另一次新的测量。而为了得到全部本征值的几率分布，这一次次重新开始的测量必须进行许许多多次。 所以，在原则上说，为了完成一个量子测量，我们必须制备对象系统的给定状态的无穷多个全同副本。 这些全同副本的集合称为一个“量子系综”（Д.И.Блохинцев，1944 年）。所以，量子测量是对量子系综的 测量。 最后一个（也是最根本的一个）问题是：波包坍缩的实质是什么？换句话说，波包坍缩的动力学是