这样的波函数称为定态波函数,它所描写的粒子状态称为定态。由于 hr 正是粒子的总能量(动能加势能)算符,所以常数E的物理意义就是粒子的能量,而定态就是体系的能 量有确定值的状态 形如 算符作用于波函数=常数乘以这波函数 的方程称为该算符的本征方程,常数称为本征值,方程的解称为(该算符的属于该本征值的)本征函数 由于定态 Schrodinger方程就是 VE(=EVE( 所以它也就是能量本征方程,而波函数vE(F)也就是能量值为E的能量本征函数 可以证明:在定态(也就是波函数具有y(F,1)=etbv(F)的形式)时,体系的各种力学性质都 不随时间而改变,这是“定态”这个名词的本来含义。 5.非定态 必须注意,定态波函数只是(含时间的) Schrodinger方程的特解。不难证明: Schrodinger方程的 般解是定态波函数的线性组合,即 平,1)=∑cEvE(F)e 其中C是复常数(直接代入方程即可验证),这样的状态称为非定态。记得对于任何状态,能量的平均 值是(如果(F,1)是归一化的) E=∫Y(,n)甲()d 代入上面的解,我们就发现(如果vg(F)已经归一化) E=∑|cEPE 所以|c是在状态甲(F,1)下任意时刻能量值E出现的几率。虽然甲(F,1)与时间有关,这个几率却是 不随时间而改变的。 所以我们可以说,在V(F)与时间无关的情况下,求出了定态 Schrodinger方程的全部解,其实也就 求出了含时 Schrodinger方程的全部解 6.一般系统的 Schrodinger方程 从经典力学(采用正则形式,即 Hamiltonian形式)的角度来说,一个系统的物理特征完全由它的 Hamiltonian(哈密顿量)来描写,在这个系统中发生的动力学过程也完全由它来决定(请回忆经典力学 中的正则运动方程)。这一点在量子力学中也类似,也就是说,任何量子系统都有一个 Hamiltonian算符 H,这个系统的含时间的 Schrodinger方程就是 y 平 这就是 Schrodinger方程的一般形式。如果H不显含时间,那么它就有定态解 Y=e-IEtIn 其中v与时间无关并且满足定态 Schrodinger方程 y=Ey 比如多粒子系统的 Hamiltonian算符是 =2(+U)+P v2+U()+(,… 其中m是第i个粒子的质量,V2是对第i个粒子的坐标的 Laplace(拉普拉斯)算符,U()是第;个 粒子受到的外部作用势能,V(,…)是各个粒子之间的相互作用势能。由此就不难写出它的4 这样的波函数称为定态波函数，它所描写的粒子状态称为定态。由于 2 2 ˆ ˆ ˆ ( ) 2 H T V V r m  + = −  + 正是粒子的总能量（动能加势能）算符，所以常数 E 的物理意义就是粒子的能量，而定态就是体系的能 量有确定值的状态。 形如 算符作用于波函数 = 常数乘以这波函数 的方程称为该算符的本征方程，常数称为本征值，方程的解称为（该算符的属于该本征值的）本征函数。 由于定态 Schrödinger 方程就是 ˆ ( ) ( ), H r E r   E E = 所以它也就是能量本征方程，而波函数 ( ) E  r 也就是能量值为 E 的能量本征函数。 可以证明：在定态（也就是波函数具有 i / ( , ) e ( ) E t r t r  −  = 的形式）时，体系的各种力学性质都 不随时间而改变，这是“定态”这个名词的本来含义。 5. 非定态 必须注意，定态波函数只是（含时间的）Schrödinger 方程的特解。不难证明：Schrödinger 方程的一 般解是定态波函数的线性组合，即 i / ( , ) ( )e , E t E E E r t c r  −  = 其中 E c 是复常数（直接代入方程即可验证），这样的状态称为非定态。记得对于任何状态，能量的平均 值是（如果 ( , ) r t 是归一化的） 3 ˆ E r t H r t d r ( , ) ( , ) ,   =    代入上面的解，我们就发现（如果 ( ) E  r 已经归一化） 2 | | , E E E c E = 所以 2 | | E c 是在状态 ( , ) r t 下任意时刻能量值 E 出现的几率。虽然 ( , ) r t 与时间有关，这个几率却是 不随时间而改变的。 所以我们可以说，在 V r( ) 与时间无关的情况下，求出了定态 Schrödinger 方程的全部解，其实也就 求出了含时 Schrödinger 方程的全部解。 6. 一般系统的 Schrödinger 方程 从经典力学（采用正则形式，即 Hamiltonian 形式）的角度来说，一个系统的物理特征完全由它的 Hamiltonian（哈密顿量）来描写，在这个系统中发生的动力学过程也完全由它来决定（请回忆经典力学 中的正则运动方程）。这一点在量子力学中也类似，也就是说，任何量子系统都有一个 Hamiltonian 算符 H ˆ ，这个系统的含时间的 Schrödinger 方程就是 ˆ i . H t  =   这就是 Schrödinger 方程的一般形式。如果 H ˆ 不显含时间，那么它就有定态解 i / e , E t  −  = 其中  与时间无关并且满足定态 Schrödinger 方程 ˆ H E   = . 比如多粒子系统的 Hamiltonian 算符是 ( ) 2 2 1 1 1 ˆ ˆ ( ) ( , , ), 2 N N i i i i i N i i i H T U V U r V r r = = m   = + + = −  + +       其中 mi 是第 i 个粒子的质量， 2 i 是对第 i 个粒子的坐标的 Laplace（拉普拉斯）算符， ( ) U r i i 是第 i 个 粒子受到的外部作用势能， 1 ( , , ) V r rN 是各个粒子之间的相互作用势能。由此就不难写出它的