第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 内射流边界 外射流边界 n, I 外射流边界 D 内射流边界 5.R(n,s, 1)cosn X(x)Dm×R”3(x1={0→(x(x)+2=x2(x0)5.R(n)smn 图1边界可作有限变形运动的射流其当前物理构形所对应曲线坐标系的选取 为研究边界的有限变形运动对介质运动的影响,我们对于当前物理构形引入显含时间的 曲线坐标系,表现为时空空间中的微分同胚。通过构造适当的曲线坐标系可将物理空间中几 何形态不规则且随时间变化的运动区域微分同胚至参数空间中的几何形态规则且不随时间变 化的参数区域。如图1所示,对于研究出口边界可作有限变形运动的射流场,其当前物理构 形显得极其复杂,但我们可以考虑如图所示的对应于当前物理构形的显含时间的曲线坐标系 使得当前参数构形不仅几何形态规则而且不随时间变化[3]。进一步将连续介质运动的控制方 程按曲线坐标系的局部基展开就可获得定义于参数区域上的控制方程。特别地,可基于非完 整系理论系统获得控制方程在一般单位正交系(非完整系)下的分量方程,也适用于按时均 分解的湍流控制方程。我们亦可将把相关方法推广至张量梯度的多点表示形式 以上所述,一定程度上归纳了现代张量分析在现代连续介质力学中有关应用的基本思想 及方法。本文将叙述巸 uclid空间上张量场分析、二维曲面( Riemann流形)上的张量场分析 的相关知识体系要点,以及作为应用的可变形边界局部动力学有关研究的理论基础 2 Euclid空间上的张量场分析 ◆曲线坐标系第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 2 - 1 X o  DPar   1 2 H o 2 X 3 X DPhy 外射流边界 内射流边界 R t   , r t   , 外射流边界 内射流边界              1 + 2 3 , , cos X , : , , X , , , , , , sin , r r X Rt x t D xt t xt t X xt t R t t X                                                                        图 1 边界可作有限变形运动的射流其当前物理构形所对应曲线坐标系的选取 为研究边界的有限变形运动对介质运动的影响，我们对于当前物理构形引入显含时间的 曲线坐标系，表现为时空空间中的微分同胚。通过构造适当的曲线坐标系可将物理空间中几 何形态不规则且随时间变化的运动区域微分同胚至参数空间中的几何形态规则且不随时间变 化的参数区域。如图 1 所示，对于研究出口边界可作有限变形运动的射流场，其当前物理构 形显得极其复杂，但我们可以考虑如图所示的对应于当前物理构形的显含时间的曲线坐标系， 使得当前参数构形不仅几何形态规则而且不随时间变化[3]。进一步将连续介质运动的控制方 程按曲线坐标系的局部基展开就可获得定义于参数区域上的控制方程。特别地，可基于非完 整系理论系统获得控制方程在一般单位正交系（非完整系）下的分量方程，也适用于按时均 分解的湍流控制方程。我们亦可将把相关方法推广至张量梯度的多点表示形式。 以上所述，一定程度上归纳了现代张量分析在现代连续介质力学中有关应用的基本思想 及方法。本文将叙述 Euclid 空间上张量场分析、二维曲面（Riemann 流形）上的张量场分析 的相关知识体系要点，以及作为应用的可变形边界局部动力学有关研究的理论基础。 2 Euclid 空间上的张量场分析  曲线坐标系