第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 g3(x) Curvilinear-coordiante g3xa X(x)∈C"(D2D,) 81(xa g <Ilocal Co variant-Basis DX(x)=[8,g2](x) 图2三维 Euclid空间中一般曲线坐标系示意图 可基于有限维 Euclid空间中微分同胚的映照理解曲线坐标系X(x)∈C(D,D,)如图 2所示,曲线坐标系的 Jacobian矩阵的每列直接定义的局部协变基向量。按线性代数,即得 对任一局部协变基{g},存在唯一的局部逆变基{g),满足(g,g)2=。以此,按有限 维Ecid空间中的微分学,即可引入m1se1符号的定义:R3()=g 张量函数空间的范数 张量场一般定义如下所述: d(x):R923x中(x)会:(x),8g88(x)∈T(R") 此处,不失一般性以三阶张量为例。我们可以考虑建立张量赋范线性空间,亦即引入张量范 数 ") Φ∈T 对于简单张量,则有:1n⑧5g)=xm-1。籍此,可基于一般赋范线性空间 上的微分学研究张量场以及一般张量映照的相关性质。 张量场可微性 按微分学,可估计因位置发生微小变化,而引起的张量的变化 (x+1)=(x)+:(x)gg8g:(x)+0(1-)er(R") ag k 此处口中(x)=(x)+I中;-中∷+,即为一般定义的张量分量的协变第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 3 - 1 x 2 x 3 x X1 X3 X2 b c a f g e h d a b c d e f g h 1   a g x 2   a g x 3   a g x 1 x 2 x 3 x o     ; p x y Curvilinear coordiante Xx C DD       123   var : ,, local Co iant Basis DX x g g g x   1 x 3 x 1   d g x 3   d g x 2   d g x 3 x 1 x 图 2 三维 Euclid 空间中一般曲线坐标系示意图 可基于有限维 Euclid 空间中微分同胚的映照理解曲线坐标系     , p X x y x C DD  。如图 2 所示，曲线坐标系的 Jacobian 矩阵的每列直接定义的局部协变基向量。按线性代数， 即得 对任一局部协变基gi ，存在唯一的局部逆变基  j g ，满足  3 , j j i i g g    。以此，按有限 维 Euclid 空间中的微分学，即可引入 Christoffel 符号的定义：   3 , : i s i js j s ji s g g x x g         。  张量函数空间的范数 张量场一般定义如下所述：           3 : m ik j m ji k        x x x xg g g x T      此处，不失一般性以三阶张量为例。我们可以考虑建立张量赋范线性空间，亦即引入张量范 数：   1 1 p p m p i i      T i i      ，   p m T  对于简单张量，则有：   3 m m mm T            。籍此，可基于一般赋范线性空间 上的微分学研究张量场以及一般张量映照的相关性质。  张量场可微性 按微分学，可估计因位置发生微小变化，而引起的张量的变化：           3 m ik j l m lj i k           x h x xg g g x h oh T      此处     i k ik i sk s ik k is j l j ls j lj s ls j l x x x                   ，即为一般定义的张量分量的协变