第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 导数。进一步,可有: dgp (x)(b)=[a0;(x)g,⑧g88g(x)][hg(x)]=(8a)(x)H =[hg(x)][ac:(x)g8g;.g8]=H()x) 由此,张量场梯度可以认为是张量场导数的内蕴表达形式。 ◆张量场方向导数 基于张量场可微性,可以定义张量场方向导数: lim (x+2)-中(x) =口Φ;(x)g⑧g⑧8(4):0t a￥(x)∈T(R 由此,可基于形式运算,定义任意张量场的任意场论运算 ◇场论恒等式推导基本要素 一般 Euclid空间中,场论恒等式的推导,可基于以下三方面要素 ①置换符号同 Kroneck符号之间的关系 8k-6 此处e以及6分别代表置换符号以及 Kronecker符号;∈为 Eddington张量的逆变分量。 ) Ricci引理 (E(x)8, 8g, @g(x)=V,e(x)8, @g, @ g(x) a(x)=0(8()8g(x)=Vs()gg(x)=0 亦即, Eddington张量场e(x)g8g,8g4(x)以及度量张量场gn(x)g'g(x)对所有 的方向导数均为零。 ③张量场分量之协变导数作用可以交换次序 V=V 本性质直接反映了 Euclid空间或 Euclid流形的基本几何特性。 ◇非完整系理论基本要素 ①完整系中定义的张量场梯度及其整体表示的不变性 v8中(x)=Vp;(x)ggg8g(x)=Votm(x)g08g8g880(x)第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 4 - 导数。进一步，可有：                    : : ik j l q lj i k q q ik l j q lj i k d x h x g g g g x hg x x H dx hg x x g g g g H x                                        由此，张量场梯度可以认为是张量场导数的内蕴表达形式。  张量场方向导数 基于张量场可微性，可以定义张量场方向导数：           3 0 lim : l ik j m lj i k l xi x xg g g x x T  x                    由此，可基于形式运算，定义任意张量场的任意场论运算：   l l l l g gx x x                     场论恒等式推导基本要素 一般 Euclid 空间中，场论恒等式的推导，可基于以下三方面要素： ① 置换符号同 Kroneck 符号之间的关系 ijk j k k j ijk ipq p q p q ipq         e e 此处 ijk e 以及 k q  分别代表置换符号以及 Kronecker 符号； ijk  为 Eddington 张量的逆变分量。 ② Ricci 引理                 0 0 ijk ijk l l i jk l i jk ij ij l l ij l ij x xg g g x xg g g x x x G x g xg g x g xg g x x x                         亦即，Eddington 张量场     ijk i jk   x g g gx 以及度量张量场    i j ij g xg g x  对所有 的方向导数均为零。 ③ 张量场分量之协变导数作用可以交换次序 pq qp    本性质直接反映了 Euclid 空间或 Euclid 流形的基本几何特性。  非完整系理论基本要素 ① 完整系中定义的张量场梯度及其整体表示的不变性                         : :   ik l j lj i k x xg g g g x xg g g g x                     