·1220· 北京科技大学学报 第34卷 特性，那么H。(z)和H1(z)是对称的，而H2(z)是反 不可能的 对称的.并且相关的多相位矩阵(1)可以表示成为 引理4紧支正交对称三带小波尺度滤波器 H。(z)具有m阶消失矩，并且满足等式(5)的分解， Ho.o(z） Ho.1() Ho.o(z） 那么分解因式Q(z)的阶n与消失矩m满足如下 H(z)= H.o(e） H1.1(z) H..(2) 关系： (2m+n,3)=1, LH2.o(2) H2.1(z) -H2.o(z) 且如果m≥2，有 其中，Ho()=z-”Ho(z),i=0,1,2,并且称 n≥2m-1. (7) L-1为多相位矩阵的阶.三带小波的消失矩是构造 引理4的证明参考文献5] 小波需要考虑的另一个重要因素，小波消失矩的大 1.2格结构理论 小对应着索伯列夫空间的光滑性，并且能够间接的 格结构(lattice structure)是一种重要的设计与 反应出相应的尺度函数与小波函数的光滑性，因此 实现滤波器组的方法，其主要思想是把滤波器组分 有如下的引理30 解成一系列层叠的结构单元(building block),而每 引理3紧支正交三带小波尺度函数中(t)具 一个结构单元都足够简单且满足设计所需要的性 有m阶消失矩，那么尺度滤波器冲击响应h。] 质.三带小波系统的多相位矩阵H(z)的每一个分 满足 量H,(z)是一个关于z的多项式，如果能够通过格 0h,=0,n=0,l,2l=0,l,…,m-l, 结构分解，把H(z)分解成一系列简单结构单元，那 么对于求解小波滤波器是有利的.然而，尽管己经 其中W=e-2/B. 对三带小波滤波器的长度N作了假设N=3L,L∈ 从这个引理似乎可以通过设置消失矩m得到 Z*,但是并不是所有满足这个长度要求的三带小波 些等式，但这只适用于消失矩为1的情况，消失矩 滤波器组都存在，文献0]己经证明，只存在奇数 大于1时情况将变得相当复杂.实际上，由引理3， 长三带小波系统，即L=2k+1,k∈Z.因此，可以 可以得到下式： 得出只有奇数长三带小波系统对应的多相位矩阵存 (5) 在格结构分解。 定理2对称完全可重建的仿西三带小波多相 其中，Q(）是一个不能够整除(1+z1+z2)的n阶 位矩阵可以分解为 多项式，且Q()1-1=1.从式(5)可以得到，尺度滤 H(2)=B-2(z）B-4(z）…B2(2)B(z)H。 (8) 波器冲击响应支集长度N=2m+n+1.由此，得到 1 下面的定理 其中，B:(a）=4RD(e)LD,(a),H。=RDo,并 定理1假设尺度滤波器H。(z)满足式(5)因 且相应的结构单位为 式分解，那么H。（z)是对称的当且仅当Q(z)是对 cose 称的 R6= sine cosH 0 证明：由H。(z)的对称性得 0 Ho(z)=2-(2m+)Ho(z-1), 代入式(5)，得 D,（z)= 1 L 整理得 Q(2)=2"0() (6) 式(6)意味着Q(:)也是对称的.反之亦成立. 这个定理说明，为了得到H。(z)的对称性，只需 要保证Q(z)的对称性即可.由公式(5)可知，很容 易就可以指定消失矩大小，然后可以通过减小Q(z) D 的阶次，得到具有紧支性的尺度滤波器，但是，这是北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 特性，那么 H0 ( z) 和 H1 ( z) 是对称的，而 H2 ( z) 是反 对称的． 并且相关的多相位矩阵( 1) 可以表示成为 H( z) = H0，0 ( z) H0，1 ( z) H0，0 ( z    ) H1，0 ( z) H1，1 ( z) H1，0 ( z    ) H2，0 ( z) H2，1 ( z) － H2，0 ( z                )  ． 其中，Hi，0 ( z    ) = z － ( L － 1) Hi，0 ( z － 1 ) ，i = 0，1，2，并且称 L － 1为多相位矩阵的阶． 三带小波的消失矩是构造 小波需要考虑的另一个重要因素，小波消失矩的大 小对应着索伯列夫空间的光滑性，并且能够间接的 反应出相应的尺度函数与小波函数的光滑性，因此 有如下的引理 3 ［9--10］. 引理 3 紧支正交三带小波尺度函数 ( t) 具 有 m 阶消失矩，那么尺度滤波器冲击响应 h0［k］ 满足 ∑k wnk kl h0［k］= 0，n = 0，1，2，l = 0，1，…，m － 1， 其中 w = e － j2ω/3 . 从这个引理似乎可以通过设置消失矩 m 得到 一些等式，但这只适用于消失矩为 1 的情况，消失矩 大于 1 时情况将变得相当复杂． 实际上，由引理 3， 可以得到下式: H0 ( z) = ( 1 + z － 1 + z － 2 ) 3 m Q( z) ． ( 5) 其中，Q( z) 是一个不能够整除( 1 + z － 1 + z － 2 ) 的 n 阶 多项式，且 Q( z) | z = 1 = 1． 从式( 5) 可以得到，尺度滤 波器冲击响应支集长度 N = 2m + n + 1． 由此，得到 下面的定理． 定理 1 假设尺度滤波器 H0 ( z) 满足式( 5) 因 式分解，那么 H0 ( z) 是对称的当且仅当 Q( z) 是对 称的． 证明: 由 H0 ( z) 的对称性得 H0 ( z) = z － ( 2m + n) H0 ( z － 1 ) ， 代入式( 5) ， ( 得 1 + z － 1 + z － 2 ) 3 m Q( z) = z － ( 2m + n ( ) 1 + z 1 + z 2 ) 3 m Q( z － 1 ) 整理得 Q( z) = z － n Q( z － 1 ) ． ( 6) 式( 6) 意味着 Q( z) 也是对称的． 反之亦成立． 这个定理说明，为了得到 H0 ( z) 的对称性，只需 要保证 Q( z) 的对称性即可． 由公式( 5) 可知，很容 易就可以指定消失矩大小，然后可以通过减小 Q( z) 的阶次，得到具有紧支性的尺度滤波器，但是，这是 不可能的． 引理 4 紧支正交对称三带小波尺度滤波器 H0 ( z) 具有 m 阶消失矩，并且满足等式( 5) 的分解， 那么分解因式 Q( z) 的阶 n 与消失矩 m 满足如下 关系: ( 2m + n，3) = 1， 且如果 m≥2，有 n≥2m － 1． ( 7) 引理 4 的证明参考文献［5］． 1. 2 格结构理论 格结构( lattice structure) 是一种重要的设计与 实现滤波器组的方法，其主要思想是把滤波器组分 解成一系列层叠的结构单元( building block) ，而每 一个结构单元都足够简单且满足设计所需要的性 质． 三带小波系统的多相位矩阵 H( z) 的每一个分 量 Hi，j ( z) 是一个关于 z 的多项式，如果能够通过格 结构分解，把 H( z) 分解成一系列简单结构单元，那 么对于求解小波滤波器是有利的． 然而，尽管已经 对三带小波滤波器的长度 N 作了假设 N = 3L，L∈ Z + ，但是并不是所有满足这个长度要求的三带小波 滤波器组都存在，文献［10］已经证明，只存在奇数 长三带小波系统，即 L = 2k + 1，k∈Z + ． 因此，可以 得出只有奇数长三带小波系统对应的多相位矩阵存 在格结构分解． 定理 2 对称完全可重建的仿酉三带小波多相 位矩阵可以分解为 H( z) = BL － 2 ( z) BL － 4 ( z) …B2 ( z) B1 ( z) H0 ( 8) 其中，Bk ( z) = 1 4 Rθk D1 ( z) Iak D2 ( z) ，H0 = Rθ0 D0，并 且相应的结构单位为 Rθk = cosθk sinθk 0 － sinθk cosθk 0          0 0 1 ， D1 ( z) = 1 + z － 1 0 1 － z － 1 0 2 0 1 － z － 1 0 1 + z         － 1 ， Iak = ak 0 0 0 ak 0 0 0 a          k  ， D2 ( z) = 1 + z － 1 0 1 － z － 1 0 2z － 1 0 1 － z － 1 0 1 + z           － 1 ， D0 = 1 0 1 0 槡2 0          － 1 0 1 ． ·1220·