第10期 沈政伟等：基于格结构的三带小波构造及在图像融合中的应用 ·1219· 行图像融合处理.而且，同时具有正交性、对称性 小波系统的多相位表示H(z)= H.4(2)z-, (线性相位)以及较高消失矩的小波滤波器在进行 小波变换时，能更准确地表征图像的细节、边界以及 0≤i≤2，其中H.()= ∑：h,(k+3).如果以 光谱等特征信息.比如，具有线性相位特性的小波 1=- 能有效避免图像重建时边界失真问题：而具有高消 矩阵形式表示上述多相位形式，则有 失矩的小波，则能更好地对图像提供稀疏表示，并且 「H()1 Ho.o (2) Ho.1(23) Ho.2(z3) 由于高消失矩小波对应的小波函数具有更好的正则 H(2) H.o(2) H.1(2) H12(2) 性，所以可以有效避免重构图像出现边界失真。 H (2) H2.(2) H21(23) H2.2(z) 然而，除Haar小波外，所有的二带小波不能同 定义 时具有正交性、对称性（线性相位）以及紧支性.三 「Ho.o(z) Ho.1(z） Ho.2(z)1 带小波克服了二带小波的这个缺点，能够同时保证 H(z)= H1.o(z）H.1(z H1.2(z) (1) 小波滤波器的正交性以及对称性.因此，三带小波 LH2.o(z)H2.1(z) H2.2(z） 更适合处理包含奇异性信息的信号，比如图像的边 为三带小波系统的多相位矩阵，其中关于z的多项 界或者机械设备检测信号中的故障信息等一维信号 式分量H,(z)的阶，称为H(z)的阶. 中的瞬变 类似于二带小波，三带紧支集正交小波的尺度 对M(M≥3)带小波系统的构造，文献5-7]中 函数中()与小波函数中：()满足二尺度方程 己有所涉及和研究.但是，文献5]中尺度与小波滤 波器的计算复杂度高，并且没有得到支集长度都为 中()=∑hk]Φ(3t-k) (2) 15的小波系统：文献[6]只是在理论上讨论了构造 和 具有正交、对称、高消失矩以及紧支特性的M(M≥ ,()=∑h,]b(3-k),i=12. (3) 3)带小波系统的可行性，但并没有给出具体的构造 e五 式(2)和(3)中， 方法与实例：文献8]虽然求出了完全对称和反对 称的三带小波系统，但是并没有给出确定的构造小 A4阴=3 波消失矩的方法，而且也仅仅对滤波器长度为9的 而且尺度滤波器的正交性还意味着如下平移正交性 情况进行了描述.本文在三带小波尺度滤波器的构 条件的成立， 造过程中，通过先确定尺度滤波器的支集长度与消 ∑因，B+30=38leZ. (4) 失矩，有效地减少了非线性方程组未知参数的个数， 其中，do.,是Kronecker符号.需要说明的是，条件 减少了计算复杂度，然后在确定尺度滤波器系数之 后，提出利用格结构(lattice structure)分解方法m, (4)只是尺度滤波器正交的必要条件，而非充分条 件.如果满足(4)条件的尺度滤波器，还能同时保证 给出了相应的小波滤波器的构造方法，最后把构造 等式(2)及(3)的收敛，那么条件(4)就是尺度滤波 的具有9个长与15个长的三带小波滤波器应用到 器正交的充分且必要条件.其实，多相位矩阵H(z) 图像融合中 的仿酉性意味着对应的小波系统的正交性，所以有 1三带小波及格结构理论 下面的引理) 引理1三带小波系统的H(z)是仿酉的，即 1.1三带小波理论 实系数三带完全可重建(perfect reconstruction) (可H(:)=dl,其中H(=H(z1),当且仅当小 有限冲击响应(FR)小波系统，对应的三个滤波器 波系统是正交的 冲击响应为h:],0≤i≤2.其中h。]是低通滤波 需要说明的是，有限冲击响应的正交三带小波 器，也称为尺度滤波器：而h:止]，1≤i≤2是其中的 系统的综合滤波器组f],0≤i≤2是分析滤波器 两个小波滤波器.滤波器冲击响应的z一变换定义为 组h:止]，0≤i≤2的时间反序，即后k]=h:N- 日=兮宫么圆：0≤12，其中N表示装波 W-1 1-k],0≤k≤N-1,N是滤波器的长度.关于三带 小波滤波器冲击响应的对称性/反对称性，有如下的 器长.本文只构造滤波器长度为3的倍数长的三带 引理2因 小波系统，所以如不作特别说明，本文中N都是3 引理2假设三带有限冲击响应小波滤波器组 的整数倍，即N=3L,L∈Z.由此，可以得到三带 H,(z),0≤i≤2具有线性相位、完全可重构及正交等第 10 期 沈政伟等: 基于格结构的三带小波构造及在图像融合中的应用 行图像融合处理． 而且，同时具有正交性、对称性 ( 线性相位) 以及较高消失矩的小波滤波器在进行 小波变换时，能更准确地表征图像的细节、边界以及 光谱等特征信息． 比如，具有线性相位特性的小波 能有效避免图像重建时边界失真问题; 而具有高消 失矩的小波，则能更好地对图像提供稀疏表示，并且 由于高消失矩小波对应的小波函数具有更好的正则 性，所以可以有效避免重构图像出现边界失真． 然而，除 Haar 小波外，所有的二带小波不能同 时具有正交性、对称性( 线性相位) 以及紧支性． 三 带小波克服了二带小波的这个缺点，能够同时保证 小波滤波器的正交性以及对称性． 因此，三带小波 更适合处理包含奇异性信息的信号，比如图像的边 界或者机械设备检测信号中的故障信息等一维信号 中的瞬变． 对 M( M≥3) 带小波系统的构造，文献［5--7］中 已有所涉及和研究． 但是，文献［5］中尺度与小波滤 波器的计算复杂度高，并且没有得到支集长度都为 15 的小波系统; 文献［6］只是在理论上讨论了构造 具有正交、对称、高消失矩以及紧支特性的 M( M≥ 3) 带小波系统的可行性，但并没有给出具体的构造 方法与实例; 文献［8］虽然求出了完全对称和反对 称的三带小波系统，但是并没有给出确定的构造小 波消失矩的方法，而且也仅仅对滤波器长度为 9 的 情况进行了描述． 本文在三带小波尺度滤波器的构 造过程中，通过先确定尺度滤波器的支集长度与消 失矩，有效地减少了非线性方程组未知参数的个数， 减少了计算复杂度，然后在确定尺度滤波器系数之 后，提出利用格结构( lattice structure) 分解方法［7］， 给出了相应的小波滤波器的构造方法，最后把构造 的具有 9 个长与 15 个长的三带小波滤波器应用到 图像融合中． 1 三带小波及格结构理论 1. 1 三带小波理论 实系数三带完全可重建( perfect reconstruction) 有限冲击响应( FIR) 小波系统，对应的三个滤波器 冲击响应为 hi ［k］，0≤i≤2． 其中 h0［k］是低通滤波 器，也称为尺度滤波器; 而 hi ［k］，1≤i≤2 是其中的 两个小波滤波器． 滤波器冲击响应的 z--变换定义为 Hi ( z) = 1 3 ∑ N－1 k = 0 hi ［k］z － k ，0≤i≤2，其中 N 表示滤波 器长． 本文只构造滤波器长度为 3 的倍数长的三带 小波系统，所以如不作特别说明，本文中 N 都是 3 的整数倍，即 N = 3L，L∈Z + ． 由此，可以得到三带 小波系统的多相位表示 Hi ( z) = ∑ 2 k = 0 Hi，k ( z 3 ) z － k ， 0≤i≤2，其中 Hi，k ( z) = ∑ ∞ l = －∞ z － l hi ( k + 3l) ． 如果以 矩阵形式表示上述多相位形式，则有 H0 ( z) H1 ( z) H2 ( z          )  = H0，0 ( z 3 ) H0，1 ( z 3 ) H0，2 ( z 3 ) H1，0 ( z 3 ) H1，1 ( z 3 ) H1，2 ( z 3 ) H2，0 ( z 3 ) H2，1 ( z 3 ) H2，2 ( z 3          )  1 z － 1 z         － 2 ， 定义 H( z) = H0，0 ( z) H0，1 ( z) H0，2 ( z) H1，0 ( z) H1，1 ( z) H1，2 ( z) H2，0 ( z) H2，1 ( z) H2，2 ( z          )  ( 1) 为三带小波系统的多相位矩阵，其中关于 z 的多项 式分量 Hi，j ( z) 的阶，称为 H( z) 的阶． 类似于二带小波，三带紧支集正交小波的尺度 函数 ( t) 与小波函数 ψi ( t) 满足二尺度方程 ( t) = ∑k∈Z h0［k］( 3t － k) ( 2) 和 ψi ( t) = ∑k∈Z hi ［k］( 3t － k) ，i = 1，2． ( 3) 式( 2) 和( 3) 中， ∑k∈Z h0［k］= 3， 而且尺度滤波器的正交性还意味着如下平移正交性 条件的成立， ∑k h0［k］h0［k + 3l］= 3δ0，l，l∈Z + ． ( 4) 其中，δ0，l 是 Kronecker 符号． 需要说明的是，条件 ( 4) 只是尺度滤波器正交的必要条件，而非充分条 件． 如果满足( 4) 条件的尺度滤波器，还能同时保证 等式( 2) 及( 3) 的收敛，那么条件( 4) 就是尺度滤波 器正交的充分且必要条件． 其实，多相位矩阵 H( z) 的仿酉性意味着对应的小波系统的正交性，所以有 下面的引理［9］． 引理 1 三带小波系统的 H( z) 是仿酉的，即 H 槇( z) H( z) = dI，其中H 槇( z) = HT ( z － 1 ) ，当且仅当小 波系统是正交的． 需要说明的是，有限冲击响应的正交三带小波 系统的综合滤波器组 fi ［k］，0≤i≤2 是分析滤波器 组 hi ［k］，0≤i≤2 的时间反序，即 fi ［k］= hi ［N － 1 － k］，0≤k≤N － 1，N 是滤波器的长度． 关于三带 小波滤波器冲击响应的对称性/反对称性，有如下的 引理 2 ［6］. 引理 2 假设三带有限冲击响应小波滤波器组 Hi ( z) ，0≤i≤2 具有线性相位、完全可重构及正交等 ·1219·